Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§17 ВЛАСТИВОСТІ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ ФУНКЦІЙ

Таблиця 21

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Знаки тригонометричних функцій

Знаки тригонометричних функцій легко визначити, виходячи з означення цих функцій.

Наприклад, sin а — це ордината відповідної точки Ра одиничного кола. Тоді значення sin а буде додатним, якщо точка Ра має додатну ординату, тобто, коли точка Рарозташована в І або II координатній чверті (рис. 17.1). Якщо точка Ра розташована в III або IV чверті, то її ордината від’ємна, і тому sin а теж від’ємний.

Аналогічно, ураховуючи, що cos а — це абсциса відповідної точки Ра, одержуємо, що cos a > 0 в І і IV чвертях (абсциса точки Ра додатна) і cosa < 0 в II і III чвертях (абсциса точки Р від’ємна) — рис. 17.2.

Оскільки tga = і ctga = . To tga > 0 і ctga > 0 там, де sin а і cos а мають однакові знаки, тобто в І і III чвертях, tga < 0 і ctga < 0 там, де sin а і cos а мають різні знаки, тобто в II і IV чвертях (рис. 17.3).

Рис. 17.1

Рис. 17.2

2. Парність і непарність тригонометричних функцій

Щоб дослідити тригонометричні функції на парність і непарність, зазначимо, що на одиничному колі точки Ра і Р розміщено симетрично відносно осі Ох (рис. 17.4).

Отже, ці точки мають однакові абсциси і протилежні ординати. Тоді

Таким чином, cosx — парна функція,

sinx — непарна функція.

Тоді

Отже, tgx і ctgx — непарні функції.

Парність і непарність тригонометричних функцій можна використовувати для обчислення значень тригонометричних функцій від’ємних кутів (чисел).

Наприклад,

Рис. 17.3

Рис. 17.4

Рис. 17.5

3. Періодичність тригонометричних функцій

Багато процесів і явищ, що відбуваються в природі й техніці, мають повторюваний характер (наприклад, рух Землі навколо Сонця, рух маховика). Для опису такого роду процесів використовують так звані періодичні функції.

Означення. Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т ≠ 0, якщо для будь-якого х з області визначення функції числа (х + Т) і (х - Т) також належать області визначення і виконується рівність

f(x + T) = f(x-T)= f(x).

Ураховуючи, що на одиничному колі числам (кутам) a і a + 2 k, де k ∈ Z, відповідає та сама точка (рис. 17.5), одержуємо sin(a + 2 k) = sina, cos(a + 27 k) = cosa.

Тоді 2 k (k ≠ 0) є періодом функцій sinx і cosx.

При k = 1 одержуємо, що Т = 2 — це найменший додатний період функцій sinx i cosx.

Обґрунтуйте інші властивості тригонометричних функцій, наведені в табл. 21, самостійно. У разі потреби зверніться до інтернет-підтримки підручника.

Зазначимо, що однією із властивостей періодичних функцій є така: через проміжок Т вигляд графіка періодичної функції буде повторюватися (див. обґрунтування в інтернет-підтримці підручника). Тому для побудови графіка періодичної функції з періодом Т достатньо побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною Т (наприклад, на проміжку [0; T]), а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ох на відстані kТ, де k — будь-яке натуральне число (рис. 17.6)

Рис. 17.6

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометричних функцій, знайдіть:

Коментар

1) Ураховуючи, що значення функції sinx повторюються, через період 2, виділимо в заданому аргументі число, кратне періоду (тобто 10), а потім скористаємося рівністю sin(a+ 27 k) = sina (k ∈ Z).

2) Спочатку враховуємо парність косинуса: cos(-a) = cos a, а потім його періодичність із періодом 2k = 360°: cos (a + 360°) = cos a.

3) Функція тангенс періодична з періодом , тому виділяємо в заданому аргументі число, кратне періоду (тобто 5), а потім використовуємо рівність tg(a + k) = tga.

4) Спочатку враховуємо непарність котангенса: ctg(-a) = -ctga, а потім його періодичність із періодом = 180°: ctg(a + 180° ∙ k) = ctga

Розв’язання

Приклад 2*

Доведіть твердження: якщо функція у = -f(x) періодична з періодом Т, то функція у = Af(kx + b) також періодична з періодом (A, k, b — деякі числа і k ≠ 0).

Коментар

За означенням функція (х) - Af(kx + b) буде періодичною з періодом якщо для будь-якого х з області визначення значення цієї функції в точках х і х + Т1 рівні, тобто (х + Т1) = (х). У ході обґрунтування враховано, що вираз при k > 0 дорівнює k ∙ = Т, а при k < 0 дорівнює k ∙ = -Т. Також ураховано, що функція f(x) за умовою періодична з періодом Т, і тому f(x1 ± T) = f(x1), де x1 = kx + b.

Використаємо твердження, доведене в прикладі 2, для знаходження періодів функцій. Наприклад,

1) якщо функція sinx має найменший додатний період Т = 2, то функція sin4x має найменший додатний період

2) якщо функція tgx має найменший додатний період Т = , то функція tg має найменший додатний період

Запитання

1. Назвіть і обґрунтуйте знаки тригонометричних функцій у кожній із координатних чвертей.

2. 1) Які з тригонометричних функцій є парними, а які — непарними? Наведіть приклади використання парності і непарності для обчислення значень тригонометричних функцій.

2) Обґрунтуйте парність чи непарність відповідних тригонометричних функцій.

3. 1) Яка функція називається періодичною? Наведіть приклади.

2) Обґрунтуйте періодичність тригонометричних функцій. Укажіть найменший додатний період для синуса, косинуса, тангенса і котангенса та обґрунтуйте, що в кожному випадку цей період дійсно є найменшим додатним періодом.

Вправи

17.1. Користуючись періодичністю, парністю і непарністю тригонометричної функції, знайдіть:

17.2*. Серед заданих функцій знайдіть періодичні й укажіть найменший додатний період для кожної з них:

1) f(x) = x2; 3) f(х) = |х|; 5) f(x)- 3.

2) f(x) = sin2x; 4) f(x) = tg3x;

17.3. Знайдіть найменший додатний період кожної із заданих функцій:

17.4. На кожному з рисунків 17.7-17.10 наведено частину графіка деякої періодичної функції з періодом Т. Продовжте графік на відрізок [-2T;3T].

Рис. 17.7

Рис. 17.9

Рис. 17.8

Рис. 17.10

Виявіть свою компетентність

17.5. Як, на вашу думку, періодичність функцій пов’язана з професійною діяльністю лікаря-кардіолога?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити