Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§18 ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА І КОТАНГЕНСА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ
18.1. Графік функції y = sinx та її властивості
Таблиця 22
ПОЯСНЕННЯ И ОБҐРУНТУВАННЯ
Характеризуючи властивості тригонометричних функцій, ми будемо виділяти такі їх характеристики: 1) область визначення; 2) область значень; 3) парність чи не- парність; 4) періодичність; 5) точки перетину з осями координат; 6) проміжки знакосталості; 7) проміжки зростання і спадання; 8) найбільше і найменше значення функції.
Зауваження. Абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох (тобто ті значення аргумента, при яких функція дорівнює нулю) називають нулями функції.
Наведемо обґрунтування властивостей функції y = sinx (обґрунтуваня властивостей інших тригонометричних функцій (див. табл. 23-25) проведіть самостійно, спираючись на інтернет-підтримку підручника).
Нагадаємо, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола (рис. 18.1.1). Оскільки ординату можна знайти для будь-якої точки одиничного кола, то область визначення функції y = sinx — усі дійсні числа. Це можна записати так: D(sinx) = R.
Для точок одиничного кола ординати набувають усіх значень від -1 до 1, отже, область значень функції y = sinx: y ∈ [-1;1]. Це можна записати так: E(sinx) = [-1; 1].
Як бачимо, найбільше значення функції sinx дорівнює одиниці. ЦЬОГО значення функція досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка А, тобто при х = + 2
k, k ∈ Z.
Найменше значення функції sinx дорівнює мінус одиниці, якого вона досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка В, тобто при х = - + 2
k, k ∈ Z.
Оскільки синус — непарна функція: sin(-x) = -sinx, її графік симетричний відносно початку координат.
У § 17 було обґрунтовано, що синус — періодична функція з найменшим додатним періодом Т = 2: sin(х + 2
) - sinx, отже, через проміжки довжиною 2п вигляд графіка функції sinx повторюється. Тому достатньо побудувати її графік на будь-якому проміжку довжиною 2
, а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ох на відстані kT = 2
k, де k — будь-яке натуральне число.
Рис. 18.1.1
Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, згадаємо, що на осі Оу значення х = 0 . Тоді у - sin0 = 0 , тобто графік функції у = sinx проходить через початок координат.
На осі Ох значення у = 0. Отже, нам потрібні такі значення х, при яких sinx, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, дорівнюватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола буде точка С або D (рис. 18.1.1), тобто при x = k, k ∈ Z.
Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 17, значення функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола додатна) у І і II координатних чвертях (рис. 18.1.2). Отже, sinx > 0 при х ∈ (0; ) , а також, ураховуючи період, при всіх х ∈ (2
k;
+ 2
k), k ∈ Z.
Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, sinx < 0 при х ∈ ( + 2
k; 2
+ 2
), k ∈ Z.
Проміжки зростання і спадання
• Ураховуючи періодичність функції sinx з періодом Т = 2, достатньо дослідити її на зростання і спадання на будь-якому проміжку довжиною 2
, наприклад
на проміжку Якщо
(рис. 18.1.3, а), то при збільшенні аргумента х (х2 > х1) ордината відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто sinx2 > sinx1, отже, у цьому проміжку функція sinx зростає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з проміжків
k ∈ Z .
Рис. 18.1.2
Рис. 18.1.3
Якщо (рис. 18.1.3, б), то при збільшенні аргумента х (х2 > х1) ордината відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто sinx2 < sinx1), отже, у цьому проміжку функція sinx спадає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків
k ∈ Z.
Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції y = sinx. Ураховуючи періодичність цієї функції (з періодом 2), достатньо спочатку побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною 2
, наприклад на проміжку [-
;
] . Для більш точної побуДОBИ точок графіка користуємося тим, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола. На рис. 18.1.4 показано побудову* графіка функції p = sinx на проміжку [0;
] . Ураховуючи непарність функції sinx (її графік симетричний відносно початку координат), для того щоб побудувати графік на проміжку [-
;0], відображуємо одержану криву симетрично відносно початку координат (рис. 18.1.5).
Рис. 18.1.5
Оскільки ми побудували графік на проміжку завдовжки 2, то, ураховуючи періодичність синуса (з періодом 2
), повторюємо вигляд графіка на кожному проміжку завдовжки 2
(тобто переносимо паралельно графік уздовж осі Ох на 2
k, де k — ціле число).
Одержуємо графік, наведений в табл. 22, який називають синусоїдою.
* В інтернет-підтримці підручника наведено динамічну ілюстрацію відповідної побудови.
Рис. 18.1.4
Зауваження. Тригонометричні функції широко застосовують у математиці, фізиці та техніці. Наприклад, багато процесів, таких як коливання струни, маятника, напруги в колі змінного струму тощо, описуються функцією, яку задають формулою у = A sin (ωх + φ). Такі процеси називають гармонічними коливаннями.
Графік функції у = Asin(cox + φ) можна одержати із синусоїди y = sinx стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне коливання є функцією часу t. Тоді його задають формулою у = Asin(ωt + φ), де А — амплітуда коливання, ω — кутова частота, φ — початкова фаза, — період коливання (як що А > 0, ω > 0, φ ≥ 0).
Наведіть інші приклади реальних процесів, які, на вашу думку, можуть бути описані тригонометричними функціями.
18.2. Графік функції у = cosx та її властивості
Таблиця 23
18.3. Графік функції y = tgx та її властивості
Таблиця 24
18.4. Графік функції y = ctgx та її властивості
Таблиця 25
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1
Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції та проміжки знакосталості функції:
1) y = 2sinx; 2) y = sin2x.
Коментар
Графіки всіх заданих функцій можна одержати за допомогою геометричних перетворень (табл. 4) графіка функції f(x) = sinx. Отже, графіком кожної з цих функцій буде синусоїда, одержана:
1) y = 2sinx = 2f(x) розтягуванням графіка y = sinx удвічі вздовж осі Оу;
2) y = sin2x = f(2х) стискуванням графіка y = sinx удвічі вздовж осі Ох.
Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.
Щоб записати проміжки знакосталості функції, зазначимо, що функція y = 2sinx періодична з періодом Т - 2, а функція у = sin 2х періодична з періодом Т =
=
.
Тому для кожної функції достатньо з’ясувати на одному періоді, де значення функції додатні (графік розташований вище осі Ох) і де від’ємні (графік розташований нижче осі Ох), а потім одержані проміжки повторити через період.
Розв’язання
1) Графік функції у = 2sinx одержуємо із графіка функції у = sinx розтягуванням його вдвічі вздовж осі Оу (рис. 18.4.1). Нулі функції: x = k, k ∈ Z.
Проміжки знакосталості:
2sinx > 0 при х ∈ (2k;
+ 2
k), k ∈ Z;
2sinx < 0 при х ∈ ( + 2
k; 2
+ 2
k), k ∈ Z.
Рис. 18.4.1
Рис. 18.4.2
2) Графік функції у = sin2x одержуємо із графіка функції у = sinx стискуванням його вдвічі вздовж осі Ох (рис. 18.4.2).
Нулі функції: х = , k ∈ Z.
Проміжки знакосталості: sin 2х > 0 при
Приклад 2
Розташуйте в порядку зростання числа: sin1,9; sin3; sin(-1); sin(-1,5).
Коментар
Для того щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання, з’ясуємо, які з них додатні, а які — від’ємні, а потім порівняємо між собою окремо додатні числа і окремо від’ємні, користуючись відомими проміжками зростання і спадання функції sin х.
Розв’язання
Числа sin 1,9 і sin 3 — додатні (точки Р1,9 і Р3 розташовані в II чверті), а числа sin(-1) і sin (-1,5) — від’ємні (Р-1 і Р-15 розташовані в IV чверті).
Ураховуючи, що <1,9 <
,
< 3 <
і що функція sin х спадає на проміжку
з нерівності 1,9 < 3 одержуємо sin1, 9 > sin 3 .
Також - <-1 < 0, -
< -1,5 < 0. Функція sinx на проміжку
зростає. Ураховуючи, що -1 > -1,5, одержуємо sin (-1) > sin (-1,5). Отже, у порядку зростання ці числа розташовуються так:
sin(-1,5); sin(-1); sin3; sin1,9.
Зауваження. Для порівняння заданих чисел можна також зобразити точки Р1,9, Р3 , Р-1 , Р-1,5 на одиничному колі і порівняти відповідні ординати (виконайте таке розв’язування самостійно).
Приклад 3
Побудуйте графік функції та вкажіть проміжки її спадання і зростання:
Коментар
Графіки заданих функцій можна одержати за допомогою геометричних перетворень графіків функцій:
1) f(x)-cosx; 2) φ(x) = tgx.
Тоді одержуємо графіки:
1) — паралельним перенесенням графіка функції f(x) уздовж осі Ох на
одиниць;
2) y = -tgx = -φ(x) — симетрією графіка функції φ(х) відносно осі Ох.
Щоб записати проміжки спадання і зростання функцій, зазначимо, що функція періодична з періодом Т = 2
, а функція у = - tgx періодична
з періодом Т = . Тому для кожної функції достатньо з’ясувати на одному періоді, де вона спадає і де зростає, а потім одержані проміжки повторити через період.
Розв’язання
1) Графік функції одержуємо із графіка функції у = cosx його паралельним перенесенням уздовж осі Ох на
одиниць (рис. 18.4.3). Функція спадає на кожному з проміжків
k ∈ Z, і зростає на кожному з проміжків
k ∈ Z.
Рис. 18.4.3
2) Графік функції у = -tgx одержуємо симетричним відображенням графіка функції у = tgx відносно осі Ох (рис. 18.4.4).
Функція спадає на кожному з проміжків k ∈ Z.
Рис. 18.4.4
Запитання
1. 1) Побудуйте графік функції y = sinx. Користуючись графіком охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції y = sinх.
2. 1) Побудуйте графік функції у = cosx. Користуючись графіком охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції у = cosx.
3. 1) Побудуйте графік функції у = tgx. Користуючись графіком охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції у = tgx.
4. 1) Побудуйте графік функції у = ctgx. Користуючись графіком охарактеризуйте властивості цієї функції.
2*) Обґрунтуйте властивості функції у = ctgx.
Bправи
18.1. Користуючись властивостями функції y = sinx, порівняйте числа:
18.2. Користуючись властивостями функції у = cosx, порівняйте числа:
18.3. Користуючись властивостями функції у = tgx, порівняйте числа:
18.4. Користуючись властивостями функції у = ctgx, порівняйте числа:
18.5. Розташуйте числа в порядку їх зростання:
1) sin3,3, sin3,9, sin1,2; 3) tg0,7, tg(-1,3), tg1,5;
2) cos0,3, cos1,9, cos1,2; 4) ctg0,5, ctg2,9, ctg1,1.
У завданнях 18.6-18.9 побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції та проміжки знакосталості.
18.6.
18.7.
18.8.
18.9.
У завданнях 18.10-18.13 побудуйте графік функції та вкажіть проміжки зростання і спадання функції.
18.10.
1°) y = sin3x;
2°) у = 3sinx;
3°) y = sinx + 1;
18.11.
1°) у = cos ;
2°) y = cosx - 1;
3) y = cos|x|;
4*)
18.12. 1) у = tg4x;
2) у = tgx + 3;
3) у = -2tgx;
4*) у = tgx + |tgx|.
18.13.
1) у = ctg ;
2) y = -2ctgx;
3) у = | ctgx |;
4*) y = ctgx + ctg | x |.
Виявіть свою компетентність
18.14. Спробуйте узагальнити матеріал § 18. Складіть зведену таблицю властивостей тригонометричних функцій.