Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§18 ГРАФІКИ ФУНКЦІЙ СИНУСА, КОСИНУСА, ТАНГЕНСА І КОТАНГЕНСА ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ

18.1. Графік функції y = sinx та її властивості

Таблиця 22

ПОЯСНЕННЯ И ОБҐРУНТУВАННЯ

Характеризуючи властивості тригонометричних функцій, ми будемо виділяти такі їх характеристики: 1) область визначення; 2) область значень; 3) парність чи не- парність; 4) періодичність; 5) точки перетину з осями координат; 6) проміжки знакосталості; 7) проміжки зростання і спадання; 8) найбільше і найменше значення функції.

Зауваження. Абсциси точок перетину графіка функції з віссю Ох (тобто ті значення аргумента, при яких функція дорівнює нулю) називають нулями функції.

Наведемо обґрунтування властивостей функції y = sinx (обґрунтуваня властивостей інших тригонометричних функцій (див. табл. 23-25) проведіть самостійно, спираючись на інтернет-підтримку підручника).

Нагадаємо, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола (рис. 18.1.1). Оскільки ординату можна знайти для будь-якої точки одиничного кола, то область визначення функції y = sinx — усі дійсні числа. Це можна записати так: D(sinx) = R.

Для точок одиничного кола ординати набувають усіх значень від -1 до 1, отже, область значень функції y = sinx: y ∈ [-1;1]. Це можна записати так: E(sinx) = [-1; 1].

Як бачимо, найбільше значення функції sinx дорівнює одиниці. ЦЬОГО значення функція досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка А, тобто при х = + 2k, k ∈ Z.

Найменше значення функції sinx дорівнює мінус одиниці, якого вона досягає тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола є точка В, тобто при х = - + 2k, k ∈ Z.

Оскільки синус — непарна функція: sin(-x) = -sinx, її графік симетричний відносно початку координат.

У § 17 було обґрунтовано, що синус — періодична функція з найменшим додатним періодом Т = 2: sin(х + 2) - sinx, отже, через проміжки довжиною 2п вигляд графіка функції sinx повторюється. Тому достатньо побудувати її графік на будь-якому проміжку довжиною 2, а потім одержану лінію паралельно перенести праворуч і ліворуч уздовж осі Ох на відстані kT = 2k, де k — будь-яке натуральне число.

Рис. 18.1.1

Щоб знайти точки перетину графіка функції з осями координат, згадаємо, що на осі Оу значення х = 0 . Тоді у - sin0 = 0 , тобто графік функції у = sinx проходить через початок координат.

На осі Ох значення у = 0. Отже, нам потрібні такі значення х, при яких sinx, тобто ордината відповідної точки одиничного кола, дорівнюватиме нулю. Це буде тільки тоді, коли відповідною точкою одиничного кола буде точка С або D (рис. 18.1.1), тобто при x = k, k ∈ Z.

Проміжки знакосталості. Як було обґрунтовано в § 17, значення функції синус додатні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола додатна) у І і II координатних чвертях (рис. 18.1.2). Отже, sinx > 0 при х ∈ (0; ) , а також, ураховуючи період, при всіх х ∈ (2k; + 2k), k ∈ Z.

Значення функції синус від’ємні (тобто ордината відповідної точки одиничного кола від’ємна) у III і IV чвертях, отже, sinx < 0 при х ∈ ( + 2k; 2 + 2), k ∈ Z.

Проміжки зростання і спадання

• Ураховуючи періодичність функції sinx з періодом Т = 2, достатньо дослідити її на зростання і спадання на будь-якому проміжку довжиною 2, наприклад

на проміжку Якщо (рис. 18.1.3, а), то при збільшенні аргумента х (х₂ > х₁) ордината відповідної точки одиничного кола збільшується (тобто sinx₂ > sinx₁, отже, у цьому проміжку функція sinx зростає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також зростає в кожному з проміжків k ∈ Z .

Рис. 18.1.2

Рис. 18.1.3

Якщо (рис. 18.1.3, б), то при збільшенні аргумента х (х₂ > х₁) ордината відповідної точки одиничного кола зменшується (тобто sinx₂ < sinx₁), отже, у цьому проміжку функція sinx спадає. Ураховуючи періодичність, робимо висновок, що вона також спадає в кожному з проміжків k ∈ Z.

Проведене дослідження дозволяє обґрунтовано побудувати графік функції y = sinx. Ураховуючи періодичність цієї функції (з періодом 2), достатньо спочатку побудувати графік на будь-якому проміжку довжиною 2, наприклад на проміжку [-; ] . Для більш точної побуДОBИ точок графіка користуємося тим, що значення синуса — це ордината відповідної точки одиничного кола. На рис. 18.1.4 показано побудову* графіка функції p = sinx на проміжку [0; ] . Ураховуючи непарність функції sinx (її графік симетричний відносно початку координат), для того щоб побудувати графік на проміжку [-;0], відображуємо одержану криву симетрично відносно початку координат (рис. 18.1.5).

Рис. 18.1.5

Оскільки ми побудували графік на проміжку завдовжки 2, то, ураховуючи періодичність синуса (з періодом 2), повторюємо вигляд графіка на кожному проміжку завдовжки 2 (тобто переносимо паралельно графік уздовж осі Ох на 2k, де k — ціле число).

Одержуємо графік, наведений в табл. 22, який називають синусоїдою.

* В інтернет-підтримці підручника наведено динамічну ілюстрацію відповідної побудови.

Рис. 18.1.4

Зауваження. Тригонометричні функції широко застосовують у математиці, фізиці та техніці. Наприклад, багато процесів, таких як коливання струни, маятника, напруги в колі змінного струму тощо, описуються функцією, яку задають формулою у = A sin (ωх + φ). Такі процеси називають гармонічними коливаннями.

Графік функції у = Asin(cox + φ) можна одержати із синусоїди y = sinx стискуванням або розтягуванням її вздовж координатних осей і паралельним перенесенням уздовж осі Ох. Найчастіше гармонічне коливання є функцією часу t. Тоді його задають формулою у = Asin(ωt + φ), де А — амплітуда коливання, ω — кутова частота, φ — початкова фаза, — період коливання (як що А > 0, ω > 0, φ ≥ 0).

Наведіть інші приклади реальних процесів, які, на вашу думку, можуть бути описані тригонометричними функціями.

18.2. Графік функції у = cosx та її властивості

Таблиця 23

18.3. Графік функції y = tgx та її властивості

Таблиця 24

18.4. Графік функції y = ctgx та її властивості

Таблиця 25

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Побудуйте графік функції та вкажіть нулі функції та проміжки знакосталості функції:

1) y = 2sinx; 2) y = sin2x.

Коментар

Графіки всіх заданих функцій можна одержати за допомогою геометричних перетворень (табл. 4) графіка функції f(x) = sinx. Отже, графіком кожної з цих функцій буде синусоїда, одержана:

1) y = 2sinx = 2f(x) розтягуванням графіка y = sinx удвічі вздовж осі Оу;

2) y = sin2x = f(2х) стискуванням графіка y = sinx удвічі вздовж осі Ох.

Нулі функції — це абсциси точок перетину графіка з віссю Ох.

Щоб записати проміжки знакосталості функції, зазначимо, що функція y = 2sinx періодична з періодом Т - 2, а функція у = sin 2х періодична з періодом Т = = .

Тому для кожної функції достатньо з’ясувати на одному періоді, де значення функції додатні (графік розташований вище осі Ох) і де від’ємні (графік розташований нижче осі Ох), а потім одержані проміжки повторити через період.

Розв’язання

1) Графік функції у = 2sinx одержуємо із графіка функції у = sinx розтягуванням його вдвічі вздовж осі Оу (рис. 18.4.1). Нулі функції: x = k, k ∈ Z.

Проміжки знакосталості:

2sinx > 0 при х ∈ (2k; + 2k), k ∈ Z;

2sinx < 0 при х ∈ ( + 2k; 2 + 2k), k ∈ Z.

Рис. 18.4.1

Рис. 18.4.2

2) Графік функції у = sin2x одержуємо із графіка функції у = sinx стискуванням його вдвічі вздовж осі Ох (рис. 18.4.2).

Нулі функції: х = , k ∈ Z.

Проміжки знакосталості: sin 2х > 0 при

Приклад 2

Розташуйте в порядку зростання числа: sin1,9; sin3; sin(-1); sin(-1,5).

Коментар

Для того щоб розмістити задані числа в порядку їх зростання, з’ясуємо, які з них додатні, а які — від’ємні, а потім порівняємо між собою окремо додатні числа і окремо від’ємні, користуючись відомими проміжками зростання і спадання функції sin х.

Розв’язання

Числа sin 1,9 і sin 3 — додатні (точки Р_1,9 і Р₃ розташовані в II чверті), а числа sin(-1) і sin (-1,5) — від’ємні (Р_-1 і Р-₁₅ розташовані в IV чверті).

Ураховуючи, що <1,9 < , < 3 < і що функція sin х спадає на проміжку з нерівності 1,9 < 3 одержуємо sin1, 9 > sin 3 .

Також - <-1 < 0, - < -1,5 < 0. Функція sinx на проміжку зростає. Ураховуючи, що -1 > -1,5, одержуємо sin (-1) > sin (-1,5). Отже, у порядку зростання ці числа розташовуються так:

sin(-1,5); sin(-1); sin3; sin1,9.

Зауваження. Для порівняння заданих чисел можна також зобразити точки Р_1,9, Р₃ , Р_-1 , Р_-1,5 на одиничному колі і порівняти відповідні ординати (виконайте таке розв’язування самостійно).

Приклад 3

Побудуйте графік функції та вкажіть проміжки її спадання і зростання:

Коментар

Графіки заданих функцій можна одержати за допомогою геометричних перетворень графіків функцій:

1) f(x)-cosx; 2) φ(x) = tgx.

Тоді одержуємо графіки:

1) — паралельним перенесенням графіка функції f(x) уздовж осі Ох на одиниць;

2) y = -tgx = -φ(x) — симетрією графіка функції φ(х) відносно осі Ох.

Щоб записати проміжки спадання і зростання функцій, зазначимо, що функція періодична з періодом Т = 2, а функція у = - tgx періодична

з періодом Т = . Тому для кожної функції достатньо з’ясувати на одному періоді, де вона спадає і де зростає, а потім одержані проміжки повторити через період.

Розв’язання

1) Графік функції одержуємо із графіка функції у = cosx його паралельним перенесенням уздовж осі Ох на одиниць (рис. 18.4.3). Функція спадає на кожному з проміжків k ∈ Z, і зростає на кожному з проміжків k ∈ Z.