Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ:

► систематизуєте і узагальните свої знання й уміння, пов'язані з множинами, функціями, рівняннями і нерівностями;

► ознайомитеся із загальними методами розв'язування рівнянь і нерівностей, зокрема з параметрами;

► навчитеся розв'язувати деякі складні рівняння й нерівності, що їх пропонують у завданнях зовнішнього незалежного оцінювання з математики

§1 МНОЖИНИ

1.1. Множини та операції над ними

Таблиця 1

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Поняття множини

1. Одним з основних понять, які використовують у математиці, є поняття множини. Для нього не дають означення. Можна пояснити, що множиною називають довільну сукупність об’єктів, а самі об’єкти — елементами даної множини.

Так, можна говорити про множину дітей на гральному майданчику (елементи — діти), множину днів тижня (елементи — дні тижня), множину натуральних дільників числа 6 (елементи — числа 1, 2, 3, 6) тощо. У курсах алгебри та алгебри і початків аналізу найчастіше розглядають множини, елементами яких є числа, і тому їх називають числовими множинами.

Як правило, множини позначають великими літерами латинського алфавіту. Наприклад, якщо множина М складається чисел 1; 2; 3, то її позначають так: М — {1; 2; З}. Той факт, що число 2 входить до цієї множини (є елементом даної множини М), записують за допомогою спеціального знака «∈» так: 2 ∈ М; а те, що число 5 не входить до цієїмножини (не є елементом даної множини), записують так: 5 ∉ М.

Можна розглядати також множину, І яка не містить жодного елемента, — порожню множину.

Наприклад, множина простих дільників числа 1 — порожня множина.

Для деяких множин існують спеціальні позначення. Так, порожнюсіх раціональних чисел — літерою Q, а множину всіх дійсних чисел — літерою R. Множини бувають скінченні й нескінченні залежно від того, яку кількість елементів вони містять. Так, множини А = {7} і М = {1;2;3} — скінченні, бо містять скінченне число елементів, а множини N, Z, Q, R— нескінченні.

Множини задають або за допомогою переліку їх елементів (лише для скінченних множин), або за допомогою опису, коли задається правило — характеристична властивість, — яке дозволяє визначити, чи належить даний об’єкт розглядуваній множині. Наприклад, множина А = {-1;0;1} задана переліком елементів, а множина В парних цілих чисел — характеристичною властивістю елементів множини. Останню множину записують так:

в = {b |b — парне ціле число} або так:

B = |b|b = 2m, де m ∈ Z} — тут після

вертикальної риски записано характеристичну властивість*.

У загальному вигляді запис за допомогою характеристичної властивості виглядає так: А = {х|Р(х)} , де Р(х) — характеристична властивість. Наприклад,

{х|х2 -1 = 0} = {-1,1},{х|х ∈ R і х2 + 1 = о} = 0.

2.Рівність множин

Нехай А — множина цифр трицифрового числа 312, тобто А = {3;1;2}, а В — множина натуральних чисел, менших від 4, тобто В = {1;2;3}. Оскільки ці множини складаються з одних і тих самих елементів, то їх вважають рівними. Це записують так: А = В. Установити рівність нескінченних множин у такий спосіб (порівнюючи всі елементи) неможливо. Тому в загальному випадку рівність множин означають так.

Означення. Дві множини називаються рівними, якщо кожний елемент першої множини є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини є елементом першої множини.

Із наведеного означення рівних множин випливає, що у множині однакові елементи не розрізняються. Дійсно, наприклад, {1; 2; 2} = {1; 2} , оскільки кожний елемент першої множини (1 або 2) є елементом другої множини і, навпаки, кожний елемент другої множини (1 або 2) є елементом першої. Тому, записуючи множину, найчастіше кожний її елемент записують тільки один раз і, відповідно, при підрахунку кількості елементів множини кожен елемент рахують тільки один раз, тобто множина {1; 2; 2} містить тільки два елементи.

3. Підмножина

Означення. Якщо кожний елемент однієї множини А є елементом множини В, то перша множина А називається підмножиною множини В.

Це записують так: A ⊂ B.

Наприклад, {1;2} ⊂ {0; 1;2;3} , N ⊂ Z (оскільки будь-яке натуральне число — ціле), Z ⊂ Q (оскільки будь-яке ціле число — раціональне), Q ⊂ R? (оскільки будь- яке раціональне число — дійсне).

Вважають, що завжди ∅ ⊂ А, тобто порожня множина є підмножиною будь-якої множини.

Інколи замість запису А ⊂ В використовують також запис A ⊆ B , якщо множина А або є підмножиною множини В, або дорівнює множині В. Наприклад, А ⊆ A.

Порівняємо означення рівних множин з означенням підмножини. Якщо множини А і В рівні, то:

1) кожний елемент множини А є елементом множини В, отже, А — підмножина В (А ⊆ В) ;

2) кожний елемент множини В є елементом множини А, отже, В — підмножина А (В ⊆ А).

Отже, дві множини рівні, якщо кожна з них є підмножиною іншої.

Інколи співвідношення між множинами зручно ілюструвати за допомогою кругів (які часто називають кругами Ейлера — Венна). Наприклад, рис. 1.1.1 ілюструє означення підмножини, а рис. 1.1.2 — співвідношення між множинами N, Z, Q, R.

4. Операції над множинами

Над множинами можна виконувати певні дії: знаходити переріз, об’єднання, різницю множин.

Означення цих операцій та їх ілюстрації за допомогою кругів Ейлера - Венна наведені в табл. 1 та в інтернет-підтримці підручника.

Рис. 1.1.1

Рис. 1.1.2

* У цьому випадку, а також у записах розв’язків тригонометричних рівнянь і нерівностей у розділі 4 запис m ∈ Z означає, що m набуває будь-якого цілого значення. Це також можна записати так: m = 0 ; ±1; ±2; … .

Запитання

1. Наведіть приклади множин, укажіть декілька елементів кожної множини.

2. Як позначають порожню множину, множини натуральних, цілих, раціональних, дійсних чисел?

3. Дайте означення рівних множин. Наведіть приклади двох рівних множин.

4. Дайте означення підмножини. Наведіть приклади. Проілюструйте це поняття за допомогою кругів Ейлера — Венна.

5. Дайте означення перерізу, об’єднання, різниці двох множин. Проілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера — Венна. Наведіть приклади.

6. Поясніть, що називають доповненням однієї множини до іншої; доповненням множини. Проілюструйте ці поняття за допомогою відповідних рисунків. Наведіть приклади.

Вправи

1.1.1°. Запишіть за допомогою фігурних дужок множину:

1) літер у слові «алгебра»;

2) парних одноцифрових натуральних чисел;

3) непарних одноцифрових натуральних чисел;

4) одноцифрових простих чисел.

1.1.2°. За якою характеристичною властивістю записані такі множини:

1) {понеділок, вівторок, середа, четвер, п’ятниця, субота, неділя};

2) {січень, лютий, березень, квітень, травень, червень, липень, серпень, вересень, жовтень, листопад, грудень};

3) {Австралія, Азія, Америка, Антарктида, Африка, Європа};

4) {до, ре, мі, фа, соль, ля, сі};

5) {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}?

1.1.3°. Наведіть приклади порожніх множин.

1.1.4°. Відомо, що А — множина натуральних чисел, розташованих між числами 15 і 35. Запишіть множину А за допомогою фігурних дужок. Які з чисел 18, 28, 36, 40 належать множині А? Відповідь запишіть за допомогою знаків « ∈ » і « ∉ ».

1.1.5°. Запишіть за допомогою фігурних дужок і позначте множину:

1) натуральних дільників числа 12;

2) натуральних дільників числа 30;

3) цілих дільників числа 6;

4) простих дільників числа 12.

1.1.6°. Відомо, що М = {1; 2; 5} , N - {1; 4; 5; 7; 9}, К - {4; 7; 9} . Запишіть за допомогою фігурних дужок або знака ∅:

1) переріз М і А;

2) переріз М i К;

3) переріз А i К;

4) об’єднання M і N;

5) об’єднання M і К;

6) об’єднання А і К;

7) різницю М і А;

8) різницю М i К;

9) різницю А i К;

10) доповнення А до А.

1.1.7°. Поясніть, чому виконуються такі рівності:

1) A U∅ = A; 2) А U A = А; 3) А ∩∅ = 0; 4) A ∩ А = А.

1.1.8°. Запишіть множину всіх двоцифрових чисел, які можна записати за допомогою цифр 0, 1, 3.

1.1.9°. Відомо, що А — множина натуральних дільників числа 12, а В — множина цілих дільників числа 6. Запишіть множини:

1) A U B; 2) A U B; 3) А\В; 4) В\А .

1.1.10*. Нехай А і В — деякі множини. Доведіть указані рівності та проілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера — Венна:

1) A U B = B U A — переставний закон для об’єднання;

2) А ∩ В = В ∩ А — переставний закон для перерізу.

1.1.11. В одній множині 40 різних елементів, а в іншій — 30. Скільки елементів може бути в їх:

1) перерізі; 2) об’єднанні?

1.1.12*. Нехай А, В, С — деякі множини. Доведіть указані рівності та проілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера — Венна:

1.1.13*. Доведіть рівності та проілюструйте їх за допомогою кругів Ейлера — Венна:

1) А\В = А\(А ∩ В); 2) А ⋂ (В\С) = (А ⋂ B)\(А ⋂ С).

1.1.14*. Запишіть множину всіх правильних дробів , де а ∈ А , b ∈ В і А = {2; 3; 4; 6} , В - {1; 3; 4; 5; 6} .

1.1.15*. Які трицифрові числа можна записати, якщо: А = {3; 1; 2} — множина цифр для позначення їхніх сотень; В - {2; 8} — множина цифр для позначення їхніх десятків; С = {5;7} — множина цифр для позначення їхніх одиниць? Скільки таких чисел одержимо? Спробуйте сформулювати загальне правило підрахунку кількості таких чисел, якщо множина А містить т елементів (0 ∉ А) , множина В — n елементів, множина С — k елементів.

Виявіть свою компетентність

1.1.16. Кожний учень у класі вивчає англійську або французьку мову. Англійську мову вивчають 25 осіб, французьку — 27, а обидві мови — 18. Скільки учнів у класі?

1.2. Числові множини. Множина дійсних чисел

Таблиця 2

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Числові множини

В табл. 2 розглянуто числові множини, відомі з курсу математики 5-9 класів. Більш детальну характеристику цих множин наведено в інтернет-підтримці підручника.

2. Модуль дійсного числа та його властивості

Нагадаємо означення модуля.

Означення. Модулем додатного числа називається саме це число, модулем від’ємного числа — число, йому протилежне; модуль нуля дорівнює нулю.

Це означення можна коротко записати декількома способами:

За потреби ми будемо користуватися будь-яким із цих записів означення модуля. Для того щоб знайти |а|, за означенням необхідно знати знак числа а і використати відповідну формулу. Наприклад,

Геометричний зміст модуля На координатній прямій модуль числа — це відстань від початку координат до точки, що зображує це число.

Дійсно, якщо а > 0 (рис. 1.2.1), то відстань ОA = а = |а|. Якщо b < 0 , то відстань ОВ = -b = |b|.

Рис. 1.2.1

Із геометричного змісту модуля випливає така властивість.

Модуль різниці двох чисел а і b — це відстань між точками а і b на координатній прямій.

3 її доведенням можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Використовуючи означення модуля та його геометричний зміст, можна обґрунтувати властивості модуля, наведені в табл. 2.

Наприклад, ураховуючи, що |а| — це відстань від точки а до точки О (рис. 1.2.2), а відстань може виражатися тільки невід’ємним числом, одержуємо:

|а| ≥ 0,

тобто модуль будь-якого числа є невід’ємним числом.

Ураховуючи, що точки а і -а розташовані на однаковій відстані від точки О, одержуємо: |- а| = |а|, це означає, що модулі протилежних чисел рівні.

Інші властивості модуля, зазначені в табл. 2, обґрунтовуються аналогічно. Обґрунтуйте їх самостійно, використовуючи інтернет-підтримку підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Доведіть, що сума, різниця, добуток, натуральний степінь і частка (якщо дільник не дорівнює нулю) двох раціональних чисел завжди є раціональним числом.

Приклад 2

Доведіть, що для будь-якого натурального числа число або натуральне, або ірраціональне.

Наприклад, оскільки числа не є натуральними числами — ірраціональні числа.

Із розв'язаннями прикладів 1, 2 можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника. Спробуйте розв'язати їх самостійно.

Приклад 3*

Доведіть, що сума — число ірраціональне.

Розв’язання

Припустимо, що число — раціональне. Тоді

Піднісши обидві частини останньої рівності до квадрата, маємо:

5 = r2 - 2r + 3 . Звідси 2r - r2 - 2. Отже,

Але права частина цієї рівності — раціональне число (оскільки за припущенням r — раціональне число), а ліва — ірраціональне. Одержана суперечність означає, шо наше припущення неправильне і число ірраціональне.

Коментар

Для доведення твердження задачі можна використати метод від супротивного — припустити, що задане число є раціональним, і отримати суперечність із якимось відомим фактом, наприклад із тим, що — ірраціональне число. Аналізуючи одержані вирази, використаємо результат прикладу 1: якщо число r раціональне, то числа r - 2 і 2r та їх частка теж будуть раціональними.

Зазначимо, що знаменник отриманого дробу

Приклад 4

Розв'яжіть рівняння *|2х +5| = 7.

І спосіб

Розв’язання

2х + 5 = 7 або 2х + 5 = -7 ;

2х = 2 або 2х = -12 ;

х = 1 або х = -6 .

Коментар

Задане рівняння має вигляд |t| = 7 (у даному випадку t = 2х + 5). Його зручно розв’язувати, використовуючи геометричний зміст модуля: |2х + 5| — це відстань від точки 0 до точки 2х + 5. Але відстань 7 може бути відкладена від 0 як праворуч (одержуємо число 7), так і ліворуч (одержуємо число -7). Отже, рівність |2х + 5| = 7 можлива тоді тільки тоді, коли 2х + 5 = 7 або 2х + 5 = - 7.

Відповідь: 1; -6.

II спосіб

Розв’язання

Рис. 1.2.3

|2х - (-5)| = 7 ;

2х = 2 або 2х = -12;

х = 1 або х = - 6 .

Коментар

Виходячи з геометричного змісту модуля, | а - b | — відстань між точками а і b на координатній прямій. Запишемо задане рівняння у вигляді | 2х - (-5) | = 7. Ця рівність означає, що відстань від точки 2х до точки -5 дорівнює 7. На відстані 7 від точки -5 розташовані точки 2 і -12 (рис. 1.2.3). Отже, задана рівність виконується тоді і тільки тоді, коли 2х = 2 або 2х = -12, тобто задане рівняння рівносильне сукупності цих рівнянь.

Відповідь: 1; -6.

Приклад 5

Розв’яжіть нерівність |х2 - 5х| ≤ 6.

Розв’язання

Розв’язуючи ці нерівності (рис. 1.2.4), отримуємо:

Рис. 1.2.4

Отже, -1 ≤ х ≤ 2 або 3 ≤ х ≤ 6.

Коментар

Задана нерівність має вигляд | t | ≤ 6 (у даному випадку t = х2 - 5х), і її можна розв’язувати, використовуючи геометричний зміст модуля. Виходячи з геометричного змісту модуля, | t | — це відстань від точки 0 до точки t. На відстані 6 від 0 розташовані числа 6 і -6.

Тоді нерівність | f | ≤ 6 задовольняють усі ті й тільки ті точки, які містяться у проміжку [-6; 6], тобто -6 ≤ t ≤ 6. Для розв’язування одержаної подвійної нерівності її зручно замінити відповідною системою нерівностей.

Відповідь: [-1; 2] U [3; 6].

* Розв’язування рівнянь і нерівностей, що містять знак модуля, розглянуто також в § 8.

Запитання

1. Поясніть, які числа входять до множин цілих, раціональних і дійсних чисел. Наведіть приклади. Зобразіть відповідні точки на координатній прямій.

2. Поясніть, чим відрізняються записи раціонального та ірраціонального чисел у вигляді нескінченного десяткового дробу.

3. Поясніть, як порівнюють дійсні числа.

4. Дайте означення модуля дійсного числа.

1) Сформулюйте властивості модуля.

2*) Обґрунтуйте властивості модуля дійсного числа. Використайте відповідний матеріал, наведений в інтернет-підтримці підручника.

Bправи

1.2.1. Поясніть, чому задане дійсне число не може бути раціональним:

1.2.2*. Доведіть, що сума, різниця, добуток і частка раціонального та ірраціонального чисел завжди є числом ірраціональним (добуток і частка тільки у випадку, коли задане раціональне число не дорівнює нулю).

1.2.3*. Доведіть, що задане дійсне число є ірраціональним:

1.2.4. Користуючись геометричним змістом модуля, зобразіть на координатній прямій множину чисел, які задовольняють нерівність:

1.2.5. Розв’яжіть рівняння:

1.2.6. Розв’яжіть нерівність:

Виявіть свою компетентність

1.2.7. Які значення слова «модуль» вам відомі? Як, на вашу думку, вони пов’язані з математичним поняттям «модуль»? Знайдіть у мережі Інтернет інформацію з цієї теми, обговоріть її з друзями й подругами.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити