Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§19 СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА

Таблиця 26

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

• На рисунку в табл. 26 зображене одиничне коло, тобто коло радіуса 1 з центром у початку координат. Рівняння цього кола: х2 + у2 =1.

Нехай унаслідок повороту на кут а точка Р0(1; 0) одиничного кола переходить у точку Ра(х; у) (тобто унаслідок повороту на кут а радіус ОР0 переходить у радіус ОРа. Нагадаємо, що синусом а називають ординату точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто sina = у, а косинусом а — абсцису цієї точки, тобто cosa = x. Координати точки Разадовольняють рівняння кола, тоді х2 + у2 = 1,отже, sin2 a + cos2 a = 1.

Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю.

Нагадаємо також, що:

 

Тоді

тобто

tga ∙ ctga = l (sina ≠ 0 і cosa ≠ 0).

За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної тотожності одержуємо:

тобто

Аналогічно отримуємо:

тобто

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься a, знайдіть значення інших трьох тригонометричних функцій:

Коментар

1) Рівність sin2 a + cos2 a = 1 пов’язує sin a і cos a та дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад, cos2 a = 1 - sin2 a. Тоді

Ураховуючи, у якій чверті міститься a , ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в II чверті). Знаючи sin а і cos а , знаходимо

Зазначимо, що після знаходження tga значення ctga можна також знайти зі співвідношення tg а ∙ ctg а - 1.

2) Рівність tga ∙ ctga = l пов’язує tga і ctga і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як обернену величину.

Рівність 1 + tg2 пов’язує tga та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.

Наприклад,

Тоді

Знаючи, у якій чверті

міститься a , ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в III чверті). Щоб знайти sin a , можна скористатися співвід

ношенням tga ∙ cosa = ∙ cos a = sin a .

Розв’язання

1) Із рівності sin2 a + cos2 a = 1 одержуємо: cos2 a = 1 - sin2 a .

Звідси

Оскільки 90° < a < 180°, то cosa < 0, а отже,

Тоді

2) 3 рівності tga ∙ ctg a = 1 отримуємо

Підставляємо в рівність значення tga і одержуємо

Звідси

Оскільки то cosa < 0, тоді  

Приклад 2

Спростіть вираз sin4 a - cos4 a + cos2 а.

Коментар

Для перетворення тригонометричних виразів водночас із тригонометричними формулами використовують також алгебраїчні формули, зокрема формули скороченого множення.

Так, вираз sin4 a - cos4 а можна розглядати як різницю квадратів: (sin2 a)2 - (cos2 a)2.

Тоді його можна розкласти на множники (як добуток суми і різниці sin2 а та cos2 a).

Розв’язання

sin4 a - cos4 a + cos2 a = (sin2 a + cosa)(sin2 a - cos2 a) + cos2 a =

= 1 sin2 a - cos2 a) + cos a = sin2 a - cos2 a + cos2 a = sin2 a.

Вправи

19.1. Чи існує число а, яке одночасно задовольняє умови:

19.2. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, обчисліть значення інших трьох тригонометричних функцій:

19.3.

Спростіть вираз:

19.4*. 1) Відомо, що sin а + cos а = . Знайдіть sin a ∙ cos а.

2) Відомо, що tg a + ctg а = 2. Знайдіть:

а) tg2 a + ctg2а; б) tg3 a + ctg3 a.

19.5. Доведіть тотожність:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити