Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ
§19 СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ ТРИГОНОМЕТРИЧНИМИ ФУНКЦІЯМИ ОДНОГО АРГУМЕНТА
Таблиця 26
ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ
• На рисунку в табл. 26 зображене одиничне коло, тобто коло радіуса 1 з центром у початку координат. Рівняння цього кола: х2 + у2 =1.
Нехай унаслідок повороту на кут а точка Р0(1; 0) одиничного кола переходить у точку Ра(х; у) (тобто унаслідок повороту на кут а радіус ОР0 переходить у радіус ОРа. Нагадаємо, що синусом а називають ординату точки Ра(х; у) одиничного кола, тобто sina = у, а косинусом а — абсцису цієї точки, тобто cosa = x. Координати точки Разадовольняють рівняння кола, тоді х2 + у2 = 1,отже, sin2 a + cos2 a = 1.
Це співвідношення називають основною тригонометричною тотожністю.
Нагадаємо також, що:
Тоді
тобто
tga ∙ ctga = l (sina ≠ 0 і cosa ≠ 0).
За допомогою цих співвідношень і основної тригонометричної тотожності одержуємо:
тобто
Аналогічно отримуємо:
тобто
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1
Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься a, знайдіть значення інших трьох тригонометричних функцій:
Коментар
1) Рівність sin2 a + cos2 a = 1 пов’язує sin a і cos a та дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.
Наприклад, cos2 a = 1 - sin2 a. Тоді 
Ураховуючи, у якій чверті міститься a , ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в II чверті). Знаючи sin а і cos а , знаходимо 
Зазначимо, що після знаходження tga значення ctga можна також знайти зі співвідношення tg а ∙ ctg а - 1.
2) Рівність tga ∙ ctga = l пов’язує tga і ctga і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу як обернену величину.
Рівність 1 + tg2 
пов’язує tga та cos а і дозволяє виразити одну з цих функцій через іншу.
Наприклад,
Тоді
Знаючи, у якій чверті
міститься a , ми можемо визначити знак, який потрібно взяти в правій частині формули (це знак косинуса в III чверті). Щоб знайти sin a , можна скористатися співвід
ношенням tga ∙ cosa = 
∙ cos a = sin a .
Розв’язання
1) Із рівності sin2 a + cos2 a = 1 одержуємо: cos2 a = 1 - sin2 a .
Звідси 
Оскільки 90° < a < 180°, то cosa < 0, а отже, 
Тоді
2) 3 рівності tga ∙ ctg a = 1 отримуємо 
Підставляємо в рівність 
значення tga і одержуємо 
Звідси 
Оскільки 
то cosa < 0, тоді 
Приклад 2
Спростіть вираз sin4 a - cos4 a + cos2 а.
Коментар
Для перетворення тригонометричних виразів водночас із тригонометричними формулами використовують також алгебраїчні формули, зокрема формули скороченого множення.
Так, вираз sin4 a - cos4 а можна розглядати як різницю квадратів: (sin2 a)2 - (cos2 a)2.
Тоді його можна розкласти на множники (як добуток суми і різниці sin2 а та cos2 a).
Розв’язання
sin4 a - cos4 a + cos2 a = (sin2 a + cosa)(sin2 a - cos2 a) + cos2 a =
= 1 sin2 a - cos2 a) + cos a = sin2 a - cos2 a + cos2 a = sin2 a.
Вправи
19.1. Чи існує число а, яке одночасно задовольняє умови:
19.2. Знаючи значення однієї з тригонометричних функцій та інтервал, у якому міститься а, обчисліть значення інших трьох тригонометричних функцій:
19.3.
Спростіть вираз:
19.4*. 1) Відомо, що sin а + cos а = 
. Знайдіть sin a ∙ cos а.
2) Відомо, що tg a + ctg а = 2. Знайдіть:
а) tg2 a + ctg2а; б) tg3 a + ctg3 a.
19.5. Доведіть тотожність:
