Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 3 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

§20 ФОРМУЛИ ДОДАВАННЯ ТА НАСЛІДКИ З НИХ

20.1. Формули додавання

Таблиця 27

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Косинус різниці і суми

Щоб одержати формулу для cos(a - β), спочатку розглянемо випадок, коли а і β розташовані в проміжку [0; ] і a > β . На одиничному колі позначимо точки Ра і Рβ та зобразимо вектори (рис. 20.1.1). Ці вектори мають ті самі ко ординати, що й точки Ра і Рβ, тобто

Довжини (модулі) цих векторів дорівнюють одиниці: а кут між ними дорівнює а - β (тобто ∠PaOPβ = а - β). Знайдемо скалярний добуток векторів двома способами:

1) як суму добутків однойменних координат:

2) як добуток довжин (модулів) векторів на косинус кута між ними:

Рис. 20.1.1

Отже,

cos(a - β) = cosacosβ + sinasinβ. (1)

Одержану формулу називають формулою косинуса різниці. Словесно її можна сформулювати так.

Косинус різниці двох кутів (чисел) дорівнює добутку косинуса першого кута (числа) на косинус другого плюс добуток синуса першого на синус другого.

Щоб обґрунтувати цю формулу в загальному випадку, нагадаємо, що за означенням кут між векторами (∠PaOPβ) може бути тільки в межах від 0 до , тому при a > β кут між векторами може дорівнювати а - β (рис. 20.1.1), або 2 - (а - β) (рис. 20.1.2), або може відрізнятися від цих значень на ціле число обертів (тобто на 2 k , де k ∈ Z).

Рис. 20.1.2

Ураховуючи періодичність (з періодом 2л) та парність функції косинус, одержуємо, що в будь-якому випадку cos ∠PaOPβ = cos(a - β), отже, наведене обґрунтування залишається правильним для будь-яких значень а і β.

За допомогою формули (1) легко вивести інші формули додавання, наведені в табл. 27, зокрема, формулу косинусе суми:

cos (a + β) = cos(a - (-β)) = cosacos(-β) +

+ sin a sin (-β) = cos a cos β - sin a sin β. Отже,

cos (a + β) = cos a cos β - sin a sinβ.

О Формули синуса суми і різниці та тангенса, суми і різниці обґрунтуйте самостійно, спираючись на інтернет-підтримку підручника.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Обчисліть:

1) sin 15°; 2) cos 15°; 3) tg15°.

Коментар

Подамо 15° як різницю:

15° = 45° - 30°, а значення тригонометричних функцій кутів 45° і 30° ми знаємо. Тому, записавши синус 15° як синус різниці, одержимо значення sin 15°. Аналогічно знайдемо cosl5° і tg15°.

Зауважимо, що для знаходження tg15° можна було б використати також формулу

У завданні 3 в одержаному виразі зручно позбутися ірраціональності в знаменнику дробу, що значно спрощує відповідь.

Розв’язання

Приклад 2

Знайдіть значення виразу cos37°cos23° - sin37°sin23° .

Коментар

Використаємо формулу косинуса суми справа наліво: cos a cos β - sin a sin β = cos (a + β).

Розв’язання

cos 37° cos 23°- sin 37° cos 23° =

= cos (37° + 23°) = cos 60° = .

Приклад 3

Доведіть тотожність:

Коментар

Для того щоб обґрунтувати ці тотожності, доведемо, що їхні праві частини дорівнюють лівим, використовуючи формули синуса

суми і синуса різниці:

sin (а ± β) = sin a cos β± cos a sin β.

Розв’язання

Запитання

1. Запишіть формули додавання: косинус суми і косинус різниці; синус суми і синус різниці; тангенс суми і тангенс різниці.

2*. Доведіть формули додавання, про які йдеться в запитанні 1.

3*. Використовуючи інтернет-підтримку підручника, доведіть формулу де  

Наведіть приклади її використання.

Вправи

20.1.1. Обчисліть:

1) sin 13° cos 17° + cos 13° sin 17°;

2) sin160cos29° + sin29°cos160 ;

3) sin780cos18° - sin18°cos780;

4) sin630cos33° - sin33°cos630;

5) cos66° cos6° + sin66° sin6°;

6) cos71°cos260 + sin71°sin260;

7) cos20°cos250 - sin20°sin250;

8) cosl8°cos120 - sinl8°sin120;

20.1.2. Спростіть:

1°) sin 5a cos 3a - cos 5a sin 3a ;

2) cos 4a cos2a + sin 4a sin 2a ;

3) sin(a - β)cosβ + cos(a - β)sinβ ;

4) cosacos(a + β) + sinasin(a + β);

20.1.3. За допомогою формул додавання обчисліть:

1) sin75°; 3) tg75°; 5) cos105°;

2) cos75°; 4) sin105°; 6) tg105°.

20.1.4. Знайдіть найбільше та найменше значення виразу:

20.1.5. Доведіть тотожність:

20.1.6. Побудуйте графік функції:

20.1.7. Знайдіть область значень функції:

20.2. Формули подвійного аргумента

Таблиця 28

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

• Щоб одержати формули подвійного аргумента, достатньо у формулах додавання

взяти β = а . Одержимо тотожності:

sin 2а = sin а cos а + cos а sin а = 2 sin а cos а ,

тобто sin 2а = 2 sin а cos а;

cos 2а = cos а cos а - sin а sin а = cos2 а - sin2 а,

тобто cos2a = cos2 a - sin2а ;

Із формули cos 2а - cos2 а -sin2 а , користуючись основною тригонометричною

тотожністю cos2 а + sin2 а = 1, можна одержати формули, які дозволяють виразити cos 2а тільки через sin а або тільки через cos а.

• Дійсно, з основної тригонометричної тотожності одержуємо sin a = 1 - cos а, cos2 а = 1 - sin2 а. Тоді cos 2а = cos2 a - sin2 а = cos2 а - (1 - cos2 а) = 2 cos2 а - 1, тобто

cos2a = 2cos2а - 1. (1)

cos2a = cos2 a - sin2 a = 1 - sin2 a - sin2а = 1 - 2sin а, тобто

cos2a = 1 - 2sin2 а . (2)

Із формул (1) і (2) можна одержати наслідки, які корисно запам’ятати:

Ці формули називають формулами пониження степеня.

Якщо в останніх формулах позначити 2а = х , тобто а = , то можна записати такі формули:

(3)

Зазначимо, що формули синуса і косинуса подвійного аргумента справедливі для будь-яких значень аргумента, тоді як формула тангенса подвійного аргумента справедлива тільки для тих значень аргумента а, для яких означено tga і tg2a, тобто тільки при а ≠ + k і 2а ≠ + k, де k ∈ Z.

Зазначимо також, що, як завжди, одержані формули можна використовувати як зліва направо, так і справа наліво. Наприклад, замість виразу 2 sin 3a cos 3а можна записати sin(2 ∙ 3а) = sin6a , а замість виразу cos21,5a - sin21,5a записати cos 3a.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Обчисліть:

Коментар

У першому завданні достатньо «впізнати» праву частину формули косинуса подвійного аргумента й записати результат.

У другому завданні слід звернути увагу на те, що заданий вираз відрізняється від правої частини формули синуса подвійного аргумента тільки відсутністю двійки. Тому, якщо цей вираз помножити і поділити на 2, він не зміниться, але тепер за формулою одержуємо:

2 sin 15° cos 15° = sin (2 ∙ 15°) = sin (30°) = .

Розв’язання

Приклад 2

Доведіть тотожність

Розв’язання

Запитання

1. Запишіть формули синуса, косинуса і тангенса подвійного аргумента.

2. Доведіть формули синуса, косинуса і тангенса подвійного аргумента.

Вправи

20.2.1°. Обчисліть:

У завданнях 20.2.2-20.2.3 доведіть тотожність.

20.2.2°.

20.2.3.

20.2.4. Спростіть вираз:

20.2.5. Знаючи, що обчисліть:

1) sin2a; 2) cos2a; 3) tg2a; 4) ctg2a.

20.2.6. Знаючи, що обчисліть:

1) sin2a; 2) cos2a; 3) tg2a; 4) ctg2a.

20.2.7. Знаючи, що обчисліть:

1) sin2a; 2) cos2a; 3) tg2a; 4) ctg2a.

20.2.8*. Знайдіть cos2a, якщо

20.2.9*. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу cos 2а - | cos a |.

20.2.10. Побудуйте графік функції:

1) y = sinx cosx; 2) у = sin4 x - cos4 х ; 3*) у = tgxsin2x.

20.3. Формули зведення

Таблиця 29

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

• Формули додавання дозволяють обґрунтувати формули зведення, за якими тригонометричні функції від аргументів виду k±а і (2k + 1) ∙ ±а (k ∈ Z) зводять до тригонометричних функцій від аргумента а.

Розглянемо декілька прикладів,

sin (k - а) - sin kcos a - cos sin a =

= 0 ∙ cosa - (-1) ∙ sina = sina;

cos ( + a) = cos cos a - sin sin a =

= (-1) ∙ cosa - 0 ∙ sina = -cosa;

Аналіз одержаних результатів дозволяє обґрунтувати орієнтир для формул зведення, наведений в табл. 29, та основні формули зведення (детальніше див. інтернет-підтримку підручника). Усі інші випадки можна звести до основних формул, використовуючи періодичність відповідних тригонометричних функцій.

За формулами зведення одержимо формули доповняльних аргументів (аргументи а і - а доповнюють один одного до ):

Наприклад, sin60° = cos(90° - 60°) = cos30°; cos89° = sin(90°- 89°) = sin1° .

Обґрунтуйте формули доповняльних аргументів самостійно.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Обчисліть за допомогою формул зведення:

Коментар

Подамо задані аргументи так, щоб можна було використати формули зведення (тобто виділимо в аргументі частини, які зображуються на горизонтальному чи вертикальному діаметрі одиничного кола).

Наприклад, 210° = 180° + 30°. Звичайно, можна було подати цей аргумент ще й так: 210° = 270° - 60° і теж використати формули зведення.

Розв’язання

Приклад 2*

Доведіть тотожність

Коментар

Доведемо, що ліва частина тотожності дорівнює правій. Спочатку використаємо формули зведення, а потім спростимо одержані вирази за допомогою формул: tg а ∙ ctg а = 1 і cos2 а - sin2 а = cos 2а. Під час спрощення виразів соs(3 - а) і tg( - a) можна застосувати як безпосередньо формули зведення, так і періодичність відповідних функцій. Наприклад, ураховуючи, що періодом функції cos х ∈ 2, одержуємо: cos (3 - а) = cos (2 + - а) = cos ( - а) = -cosa.

Розв’язання

Запитання

1. Проілюструйте на прикладах використання формул зведення. Поясніть одержаний результат.

2*. Доведіть декілька формул зведення.

Вправи

20.3.1. Обчисліть за допомогою формул зведення:

20.3.2. Обчисліть:

1) cos8°cos37°- cos82°cos53°;

2) sin68°sin38° - sin52°cos112°.

20.3.3. Спростіть вираз:

20.3.4. Доведіть тотожність:

20.4. Формули суми і різниці однойменних тригонометричних функцій та формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму

Таблиця 30

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Формули суми і різниці тригонометричних функцій

За формулами додавання: sin(x + у) = sin х cos у + cos х sin у;

sin (х - у) = sin х cosy - cos x sin у.

Додаючи почленно ці рівності, одержуємо:

sin(x + у) + sin(x - у) = 2sinx cosу. (1)

Якщо позначити:

х + у = а, (2)

х - у = β, (3)

то, додаючи і віднімаючи рівності (2) і (3), маємо:

Тоді з формули (1) одержуємо формулу перетворення сими синусів у добуток:

(4)

Словесно її можна сформулювати так.

Сума синусів двох аргументів дорівнює подвоєному добутку синуса півсуми цих аргументів на косинус їх піврізниці.

Якщо замінити у формулі (4) β на (-β) і врахувати непарність синуса: sin(-β) =-sinβ, то одержимо формулу

Аналогічно, додаючи почленно рівності

cos (х + у) = cos х cosу - sin х sin у, (5)

cos(x - у) = cos х cos у + sin х sin у, (6)

одержуємо:

cos(x + y) + cos(x - y) = 2cosx cosy, (7)

і, виконуючи заміни (2) і (3), маємо:

Інші формули, наведені в табл. 30, обґрунтуйте самостійно, спираючись на інтернет-підтримку підручника.

Зазначимо, що в процесі обґрунтування формул перетворення суми та різниці синусів і косинусів у добуток ми фактично отримали і формули перетворення добутків тригонометричних функцій у суму. Наприклад, якщо поділити обидві частини рівності (1) на 2 і записати одержану рівність справа наліво, маємо:

Аналогічно з формули (7) одержуємо:

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Перетворіть задану суму чи різницю в добуток і, якщо можливо, спростіть:

1) sin75° + sin15°; 2*) cos2 a - cos2β .

Коментар

1) У першому завданні можна безпосередньо застосувати формулу   а потім використати табличні значення sin45° і cos30° .

2) Якщо вираз cos2 a-cos2 β розглянути як різницю квадратів, то його можна розкласти на множники, а потім до кожного з одержаних виразів застосувати формули перетворення різниці чи суми косинусів у добуток. Для подальшого спрощення одержаного виразу використовуємо формулу синуса подвійного аргумента,

а саме:

Розв’язання

Приклад 2

Перетворіть у добуток суму sin a + cos β .

Коментар

Ми вміємо перетворювати в добуток суму синусів чи косинусів. Для переходу до таких виразів достатньо згадати, що

Розв’язання

Приклад 3

Спростіть вираз

Розв’язання

Запитання

1. Запишіть і доведіть формули перетворення суми і різниці синусів, косинусів, тангенсів у добуток. Наведіть приклади використання цих формул.

2. Запишіть і доведіть формули перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

Вправи

20.4.1. Перетворіть суму (або різницю) тригонометричних функцій у добуток і спростіть:

20.4.2. Доведіть тотожність:

20.4.3. Перетворіть у суму:

20.4.4. Обчисліть:

1) 2cos20° ∙ cos40°- cos20°;

2*) 4sin 10° ∙ sin50° ∙ sin70°.

20.4.5*. Доведіть, що при а + β + = виконується рівність:

20.4.6. Доведіть формули:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити