Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ:

► ознайомитеся з оберненими тригонометричними функціями, їх графіками і властивостями;

► навчитеся розв'язувати тригонометричні рівняння та їх системи і найпростіші тригонометричні нерівності

§22 ОБЕРНЕНІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ ФУНКЦІЇ

Для одержання обернених тригонометричних функцій для кожної тригонометричної функції виділяють проміжок, на якому вона зростає (або спадає). Для позначення обернених тригонометричних функцій перед відповідною функцією ставиться буквосполучення «аrс» (читається: «арк»).

22.1. Функція у = arcsinx

Таблиця 32

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Графік функції y = arcsin х

Функція y = sinx зростає на проміжку і набуває всіх значень від -1 до 1. Отже, на цьому проміжку функція y = sinx має обернену функцію (див. п. 2.3), яку позначають y= arcsinx, з областю визначення [-1; 1] і областю значень

Функція y = arcsinx теж зростає, і її графік можна одержати з графіка функції y = sinx (на заданому проміжку) симетричним відображенням відносно прямої у = х (рис. 22.1.1).

Рис. 22.1.1

2. Значення arcsina

За означенням оберненої функції (на вибраному проміжку), якщо sinφ = a, то arcsina = φ, причому і | а | ≤ 1.

Отже, запис arcsina = φ (|a| ≤ 1) означає, що і sinφ = а. Тобто arcsina — це таке число з проміжку синус якого дорівнює а.

Наприклад, arcsin = , оскільки

Аналогічно

оскільки

Непарність функції у = arcsinх

Для знаходження арксинусів від’ємних чисел можна користуватися також непарністю функції arcsina, тобто формулою

arcsin (-a) = -arcsina .

• Це випливає з того, що графік функції у = arcsin х (рис. 22.1.1) симетричний відносно початку координат, а точки а і (-а) на осі Оу (рис. 22.1.2) симетричні відносно осі Ох. Тоді відповідні точки А і B на одиничному колі (у проміжку теж будуть симетричними відносно осі Ох. Отже, ∠СОА = ∠СОВ.

Але arcsin а = ∠COА , arcsin (-а) = -∠СОВ (рис. 22.1.2 наведено для випадку а>0). Одержуємо arcsin (-а) = -arcsina .

Наприклад,

Рис. 22.1.2

Інші обернені тригонометричні функції розгляньте самостійно за табл. 33- 35 та графіками, наведеними на рис. 22.4.1-22.4.3, використовуючи інтернет-підтримку підручника.

22.2. Функція y = arccosx

Таблиця 33

22.3. Функція y = arctgx

Таблиця 34

22.4. Функція y = arcctgx

Таблиця 35

Рис. 22.4.1

Рис. 22.4.2

Рис. 22.4.3

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАДАЧ

Приклад 1

Знайдіть:

Розв’язання

1) Нехай arcsin = φ. Тоді за означенням арксинуса одержуємо, що sin φ = .

Отже,

2*) Нехай arcsin = φ. За означенням арксинуса одержуємо, що і sin φ = .

Ураховуючи, що соsφ ≥ 0), маємо:

Отже,

Коментар

1) Оскільки запис φ = arcsin а (|а| ≤ 1) означає, що і sіnφ = а , то завжди виконується рівність sin (arcsin а) = а , |а| ≤ 1.

Проте цю формулу можна не запам’ятовувати: достатньо позначити вираз у дужках через φ і використати означення арксинуса.

2) Якщо позначити вираз у дужках через φ, то за вимогою задачі потрібно знайти cos φ. Використавши означення арксинуса, одержуємо стандартну задачу: знаючи синус кута, знайти його косинус, якщо кут розташований у проміжку

Тоді

Оскільки

то в цьому проміжку соsφ ≥ 0 , а отже,

Приклад 2

Знайдіть:

Коментар

Оскільки запис φ = arccosa (|a| ≤ 1) означає, що φ ∈ [0; ] і cosφ = a, то завжди виконується рівність cos(arccosa) = а , |а| ≤ 1. Проте цю формулу можна не запам’ятовувати: достатньо позначити вираз у дужках через φ і використати означення арккосинуса.

Розв’язання

Нехай arccos = φ , тоді за означенням арккосинуса одержуємо, що соs φ = . Отже,

Приклад 3

Доведіть, що arctg а + arcctg а = .

Розв’язання

Нехай φ = – arcctgа.

1) Оскільки arcctg а ∈ (0; ), то

2) Якщо arcctga = β, то ctgβ = a і φ = - .

Тоді

За означенням арктангенса одержуємо arctg а = φ. Отже, arctg а = - arcctgа, а це й означає, що arctg а + arcctg а = .

Коментар

Запишемо задану рівність у вигляді arctgа = - arcctg а . Якщо позначити φ = - arcctgа, то для доведення рівності arctgа = φ за означенням арктангенса достатньо довести, що:

1) і 2) tgφ = а .

Під час доведення слід також урахувати

означення арккотангенса:

якщо arcctg а - β, то β ∈ (0; ) і ctgβ = a.

Запитання

1. Поясніть, яке число позначають вирази:

1) arcsina; 2) arccosa; 3) arctga; 4) arcctg a .

При яких значеннях а існують ці вирази? Проілюструйте пояснення прикладами.

2. Поясніть, як можна одержати графіки обернених тригонометричних функцій. Охарактеризуйте властивості цих функцій.

3. Обґрунтуйте формули:

1) arcsin(-а) = -arcsina ; 3) arccos(-a) = - arccosa ;

2) arctg (-a) = -arctga ; 4) arcctg(-a) = - arcctga .

Вправи

У завданнях 22.1-22.9 обчисліть:

22.1°.

22.2°.

22.3°.

22.4°.

22.5.

22.6.

22.7.

22.8.

22.9*.

2.10*. Доведіть, що arcsin а + arccos а = при | а| ≤ 1.

Виявіть свою компетентність

22.11. Спробуйте узагальнити матеріал § 22. Складіть таблицю властивостей обернених тригонометричних функцій.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити