Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§23 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ НАЙПРОСТІШИХ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

До найпростіших тригонометричних рівнянь належать рівняння cosх-а, sinx = a, tgx = a, ctgx = a.

Щоб міркування із знаходження коренів цих рівнянь були більш наочними, скористаємося графіками відповідних функцій.

23.1. Рівняння cosх = а

Таблиця 36

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Розв’язки рівняння cosx = а

При |а| > 1 рівняння не має коренів, оскільки |cosx| ≤ 1 для будь-якого х (пряма у = а на рисунку до п. 1 табл. 36 при а > 1 або при а < -1 не перетинає графік функції у = cosx).

Нехай | а| ≤ 1 . Тоді пряма у = а перетинає графік функції у = cosx. На проміжку [0; ] функція у = cosx спадає від 1 до -1, тому рівняння cosx = а має тільки один корінь x1 = arccosa на цьому проміжку (рисунок до п. 1 табл. 36).

Косинус — парна функція, тому на проміжку [-; 0] рівняння cosx = а теж має тільки один корінь — число, протилежне до х1 тобто x2 = -arccosa.

Отже, на проміжку [-; ] (довжиною 2) рівняння cosx = а при |a| ≤ 1 має тільки корені x = ±arccosa.

Ураховуючи, що функція у = cosx періодична з періодом 2, а отже, усі інші корені відрізняються від знайдених на 2n (n ∈ Z), одержуємо таку формулу коренів рівняння cosx = а при |а| ≤ 1:

х = ±агссоs + 2n , n ∈ Z . (1)

Окремі випадки розв’язування

рівняння cosx = а

Корисно пам’ятати спеціальні записи розв’язків рівняння cosx = а при а = 0, a = -1, а = 1, які можна легко одержати, використовуючи одиничне коло.

Ураховуючи, що косинус дорівнює абсцисі відповідної точки одиничного кола, одержуємо, що cosx = 0, якщо відповідною точкою одиничного кола є точка А або точка В (рисунок до п. 2 табл. 36). Тоді х = + k, k ∈ Z. Аналогічно cosx = 1, коли відповідною точкою одиничного кола є точка С, отже, x - 2k , k ∈ Z.

Також cosx = -1, коли відповідною точкою одиничного кола є точка D, отже, x = + 2k, k ∈ Z.

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ*

Приклад

Розв’яжіть рівняння cosx = -.

Коментар

Оскільки то задане рівняння виду cosx = а має корені, які можна знайти за формулою (1). Для обчислення arcos (-) можна скористатися формулою: arccos(-a) = -arccosa.

Тоді

Розв’язання

Відповідь: ± + 2n, n Z.

* Див. також приклади в інтернет-підтримці підручника.

23.2 Рівняння sinx = a

Таблиця 37

* Як видно з графічної ілюстрації, при |а| ≤ 1 коренями рівняння sinx = a є тільки значення х = arcsin а + 2k і х = - arcsin а + 2k , k ∈ Z . Обидві серії коренів можна задати однією формулою х = (-1)n arcsina + n , n ∈ Z. Дійсно, при n = 2k (парне число) з останньої формули одержуємо першу серію коренів, а при n = 2k + 1 (непарне число) — другу серію (більш детально див. в інтернет-підтримці підручника).

** Див. також приклади в інтернет-підтримці підручника.

23.3. Рівняння tgx = a і ctgx = a

Таблиця 38

Докладніше пояснення й обґрунтування розв'язування зазначених рівнянь див. в інтернет-підтримці підручника.

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Розв’язки рівнянь tgx = a і ctgx = а

• Розглянемо рівняння tgx = a. На проміжку функція y = tgx зростає (від -∞ до +∞ ), тому рівняння tg x = a при будь-якому значенні а має тільки один корінь x1 = arctga на цьому проміжку (рисунок до п. 1 табл. 38).

З урахуванням того, що функція y = tgx періодична з періодом п і всі інші корені відрізняються від знайденого на пn (n ∈ Z), одержуємо таку формулу коренів рівняння tgx = a:

x = arct ga + n, n ∈ Z . (1)

При a = 0 arctg0 = 0, отже, рівняння tgx = 0 має корені х = n, n ∈ Z.

• Розглянемо рівняння ctgx = a. На проміжку (0; ) функція y = ctgx спадає (від +∞ до - ∞ ), тому рівняння ctgx = a при будь-якому значенні а має тільки один корінь x1 = arcctga на цьому проміжку (рисунок до п. 2 табл. 38).

Ураховуючи, що функція y = ctgx періодична з періодом п і всі інші корені відрізняються від знайденого на пn (n ∈ Z), одержуємо таку формулу коренів рівняння ctgx = а :

х = arcctga + n , n ∈ Z . (2)

При а = 0 arcctg0 = , отже, рівняння ctgx = 0 має корені х = + n , n ∈ Z .

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння tgx = -.

Коментар

Рівняння tgx = a має розв’язки при будь-якому значенні а, отже, завжди можна скористатися формулою (1): х = arctg a + n , n ∈ Z .

Для знаходження arctg (-) можна використати формулу arctg(-a)= -arctga .

Тоді arctg(- = - arctg = - .

Розв’язання

Відповідь: - + n, n ∈ Z.

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння

Коментар

Спочатку за формулою (2) знайдемо значення виразу 3х + , а потім з одержаного лінійного рівняння — значення змінної х.

Для того щоб знайти arcctg(-1), можна скористатися формулою arcctg(-a) = - arcctga .

Тоді

Розв’язання

Відповідь:

Запитання

1. Які рівняння називають найпростішими тригонометричними?

2. Назвіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь. У яких випадках не можна знайти корені найпростішого тригонометричного рівняння за цими формулами?

3. Виведіть формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь.

4. Обґрунтуйте формули розв’язування найпростіших тригонометричних рівнянь для окремих випадків (для sinx = a і cosx = a випадки a = 0; 1; -1, для tgx = a і ctgx = aвипадок а = 0).

У завданнях 23.1—23.11 розв’яжіть рівняння.

Вправи

23.1°.

23.2°.

23.3°.

23.4°.

23.5. 1) sinx = -0,6; 2) cosx = 0,3; 3) tgx = -3,5; 4) ctgx = 2,5.

23.6. 1) cos2x = ; 2) sin4x = 0; 3) tg3x = 1; 4) tg4x = 3.

23.7.

23.8°.

23.9.

23.10.

23.11.

У завданнях 23.12-23.13 знайдіть корені рівняння на заданому проміжку.

23.12*.

23.13*.

23.14*. Розв’яжіть рівняння залежно від значення а:

1) sinx = 2a; 4) ctg3x = 2a;

2) cosx = 1 + a2; 5) asinx = a2;

3) tg2x = 3a; 6) acosx = a2 + 2a.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити