Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§24 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ

Як правило, розв’язування тригонометричних рівнянь зводиться до розв’язування найпростіших рівнянь за допомогою перетворень тригонометричних виразів, розкладання на множники та заміни змінних.

24.1. Заміна змінних при розв'язуванні тригонометричних рівнянь

Слід пам’ятати загальний орієнтир, коли заміну змінних можна виконувати без перетворення заданих тригонометричних виразів.

Якщо до рівняння, нерівності або тотожності змінна входить в одному й тому самому вигляді, то відповідний вираз зі змінною зручно позначити однією буквою (новою змінною).

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння 2sin2 x - 7sinx + 3 = 0 .

Коментар

Аналізуючи вигляд цього рівняння, помічаємо, що до нього входить тільки одна тригонометрична функція — sinx . Отже, зручно ввести нову змінну sin x = t.

Після того як квадратне рівняння розв’язане, необхідно виконати обернену заміну і розв’язати одержані найпростіші тригонометричні рівняння.

Розв’язання

Нехай sinx = t, тоді одержуємо: 2t2 - 7t + 3 = 0.

Звідси t1 = 3 , t2 = . При t = 3 маємо: sinx = 3 —це рівняння не має коренів, оскільки |3| > 1.

2. При t = маємо: sinx = , тоді

Відповідь:

Зауваження. Записуючи розв’язання прикладу 1, можна при введенні заміни sinx = f урахувати, що |sinx| ≤ 1, і записати обмеження |t| ≤ 1 , а далі зазначити, що один із коренів t = 3 не задовольняє умову |t| ≤ 1, і після цього обернену заміну виконувати тільки для t = .

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння tg3 2x - tg2x = 0 .

Коментар

До заданого рівняння змінна входить тільки у вигляді tg2x. Отже, зручно ввести нову змінну tg2x = t. Після виконання оберненої заміни і розв’язування одержаних найпростіших тригонометричних рівнянь слід записати до відповіді всі одержані корені.

Розв’язання

Нехай tg2 x = t . Тоді одержуємо t3 - t = 0 . Звідси t(t2 - 1) = 0 , тобто t = 0 або t2 -1 = 0. З останнього рівняння маємо t2 = 1, звідси t = 1 або t = - 1 .

Виконуємо обернену заміну:

1. При t = 0 маємо tg2x = 0, тоді 2х = n, N ∈ Z . Отже, х = , n ∈ Z.

2. При t = 1 маємо tg2x = 1, тоді 2х = arctg1 + m , 2х = + m.

Отже,

3. При t = -1 маємо tg2x = -1, тоді 2х = arctg(-1) + k, 2х = - + k.

Отже,

Відповідь:

Складаючи план розв’язування більш складних тригонометричних рівнянь, можна скористатися таким орієнтиром.

1. Пробуємо звести всі тригонометричні функції до одного аргумента.

2. Якщо вдалося звести до одного аргумента, то пробуємо всі тригонометричні вирази звести до однієї функції.

3. Якщо до одного аргумента вдалося звести, а до однієї функції — ні, то пробуємо звести рівняння до однорідного.

4. В інших випадках переносимо всі члени рівняння в один бік і пробуємо одержати добуток, що дорівнює нулю, або використовуємо спеціальні прийоми розв'язування.

24.2. Розв'язування тригонометричних рівнянь зведенням до однієї функції (з однаковим аргументом)

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння cos2x - 5sinx - 3 = 0.

Використовуючи формулу косинуса подвійного аргумента й основну тригонометричну тотожність, одержуємо:

cos2 x - sin2 x - 5sinx - 3 = 0,

1 - sin2x - sin2x - 5sinx - 3 = 0,

-2sin2 x - 5 sin x - 2 = 0 .

Заміна sinx = t дає рівняння -2t2 - 5t - 2 = 0.

Усі тригонометричні функції зводимо до одного аргумента х, використовуючи формулу cos2x = cos2 х - sin x. Потім усі тригонометричні вирази зводимо до однієї функції sinx(ураховуємо, що cos2 х = 1 - sin2x ).

В одержане рівняння змінна входить в одному й тому самому вигляді — sinx , отже, зручно виконати заміну sin x = t.

Тоді 2t2 + 5t + 2 = 0 , t1 = -2; t2 = -.

1. При t = -2 маємо sinx = - 2 — коренів немає, оскільки |- 2| > 1.

2. При t = - маємо sinx = - .

Тоді

Відповідь:

Зазначимо, що для розв’язування заданого прикладу можна було також використати формулу

cos2a = 1 - 2sin2а , що дозволить за один крок звести всі тригонометричні вирази і до одного аргумента, і до однієї функції.

Зауваження. За бажання відповідь можна записати у вигляді

24.3. Розв'язування однорідних тригонометричних рівнянь та зведення тригонометричного рівняння до однорідного

Розглянемо рівняння

sin2 x - sinxcosx-2cos2 х = 0. (1)

Для пошуку плану розв’язування цього рівняння (але не для його розв’язування) виконаємо заміни: sinx = u, cosx = v. Тоді рівняння (1) матиме вигляд

u2 - uv - 2V2 = 0 (2)

Усі одночлени, які стоять у лівій частині цього рівняння, мають степені 2 (нагадаємо, що степінь одночлена uv теж дорівнює 2). У цьому випадку рівняння (2) (і відповідно рівняння (1)) називають однорідним, і для розпізнавання таких рівнянь та їх розв’язування можна використовувати такий орієнтир.

Якщо всі члени рівняння, у лівій і правій частинах якого стоять многочлени від двох змінних (або від двох функцій однієї змінної), мають однаковий сумарний степінь*, то рівняння називається однорідним. Розв'язують однорідне рівняння діленням на найвищий степінь однієї зі змінних.

Зауваження. Дотримуючись цього орієнтира, доводиться ділити обидві частини рівняння на вираз зі змінною. При цьому можна втратити корені (якщо коренями є ті числа, при підстановці яких дільник дорівнює нулю). Щоб уникнути цього, необхідно окремо розглянути випадок, коли вираз, на який ми збираємося ділити обидві частини рівняння, дорівнює нулю, і лише після цього виконувати ділення на вираз, що не дорівнює нулю (див. також приклад в інтернет-підтримці підручника).

* Звичайно, якщо рівняння має вигляд f = 0 , ідеться тільки про степінь членів многочлена f, оскільки нуль-многочлен (тобто 0) степеня не має.

Приклад

Розв’яжіть рівняння sin2x - sinxcosx - 2cos2х = 0 .

Коментар

Задане рівняння однорідне, оскільки всі його члени мають однаковий сумарний степінь 2. Його можна розв’язати діленням обох частин на sin2 х або на cos2 х .

Якщо ми будемо ділити на cos х , то, щоб не втратити корені, випадок cosx = 0 розглянемо окремо. Підставляючи cosx = 0 в задане рівняння, одержуємо sinx = 0 . Але одночасно sinx і cosx не можуть дорівнювати нулю (оскільки sin x + cos х = 1). Таким чином, значення змінної х, для яких cosx = 0, не є коренями заданого рівняння. А при cosx≠ 0 можна розділити обидві частини заданого рівняння на cos х ≠ 0 і одержати рівносильне рівняння (та врахувати при цьому, що = tgx).

В одержане рівняння змінна входить в одному й тому самому вигляді tgx, тому зручно виконати заміну tgx = t.

Розв’язання

При cosx = 0 рівняння не має коренів, тому розділимо обидві його частини на cos2 х ≠ 0 . Одержуємо

Тоді tg2x - tgx - 2 = 0 .

Заміна tg x = t дає рівняння t2 - t - 2 = 0; t1 = -1 , t2 =2.

Виконуємо обернену заміну:

1) При t = -1 маємо tgx = -1, тоді x = arctg(-1) + n , х = - + n , n ∈ Z.

2) При t = 2 маємо tgx = 2, тоді х = arctg2 + m , m ∈ Z.

Відповідь: - + n, n ∈ Z ; arctg 2 + m, m ∈ Z.

24.4. Розв'язування тригонометричних рівнянь виду f(x) = 0 за допомогою розкладання на множники

Приклад

Розв’яжіть рівняння sinх + sin3х = sin4x .

Коментар

Відразу скористаємося четвертим пунктом орієнтира, наведеного в п. 24.1: переносимо всі члени рівняння в один бік і пробуємо одержати добуток, що дорівнює нулю.

Для цього застосуємо формулу перетворення суми синусів, яка стоїть у лівій частині рівняння, на добуток:

(і врахуємо, що cos(-х) = cosx).

Для того щоб винести який-небудь вираз за дужки і одержати добуток, достатньо записати sin4x як синус подвійного аргумента (тоді за дужки можна винести sin2x ).

Якщо добуток дорівнює нулю, то хоча б один зі співмножників дорівнює нулю.

Розв’язання

Із першого з цих рівнянь:

Друге рівняння перетворимо так:

Звідси

Із цих рівнянь одержуємо:

Відповідь:

У другому з одержаних рівнянь перетворимо різницю косинусів на добуток. У кінці враховуємо, що всі задані й одержані вирази існують на всій множині дійсних чисел. Отже, задане рівняння на цій множині рівносильне сукупності рівнянь:

і тому до відповіді потрібно записати всі корені кожного з цих рівнянь.

Зауваження. Запис відповіді можна скоротити. Так, якщо зобразити всі знайдені розв’язки на одиничному колі, то побачимо, що розв’язок х = 2k дає ті самі точки, що й формула х = при n, кратному 4 (n = 4k), або формула х = тип при m, кратному 3 (m = 3k).

Отже, формула x = 2k не дає нових розв’язків порівняно з формула ми x або х = m, і тому відповідь може бути записана у вигляді тільки двох останніх формул. Але таке скорочення відповіді не є обов’язковим.

24.5. Відбір коренів тригонометричних рівнянь

Якщо при розв’язуванні тригонометричних рівнянь необхідно відбирати корені, то найчастіше це роблять так: знаходять спільний період (бажано найменший) усіх тригонометричних функцій, що входять у запис рівняння (звичайно, якщо цей спільний період існує); потім на цьому періоді відбирають корені (відкидають сторонні), а ті, що залишаються, періодично продовжують.

Приклади відбору коренів при розв'язуванні тригонометричних рівнянь наведені в інтернет-підтримці підручника.

Запитання

1. Які способи використовують при розв’язуванні тригонометричних рівнянь? Наведіть приклади.

2. Яку заміну змінних можна виконати при розв’язуванні рівняння 8cos2 x - 2cosx - 1 = 0? Яке рівняння одержимо після заміни?

3. 1) Поясніть, чому рівняння 3sin2 х - sinxcosx - 2cos2 х = 0 є однорідним.

2)* Як можна розв’язати це однорідне рівняння?

4. Як можна виконати відбір коренів тригонометричного рівняння? Проілюструйте відбір коренів тригонометричного рівняння на прикладі.

Вправи

У завданнях 24.1 - 24.20 розв'яжіть рівняння

24.1.

24.2.

24.3.

24.4.

24.5. 1) 3cos2x = 7sinx ; 2) 2cos2x = 7cosx .

24.6.

24.7.

24.8.

24.9.

24.10.

24.11.

24.12.

24.13.

24.14. 1) sinx + sin3x = 0; 3) cos2x - cos6x = 0;

2) sin5x - sinx = 0 ; 4) cos4x + cos2x = 0 .

24.15*.

24.16*.

24.17*. 1) sin2 x - 5cos x = sin xcosx - 5sin x ;

2) cos2 x -7sinx + sin x cos x = 7cosx .

24.18.

24.19.

24.20.

Виявіть свою компетентність

24.21. Спробуйте запропонувати для однорідних рівнянь (вправа 24.6) інший спосіб розв’язування, який не буде пов’язаний із діленням на вираз зі змінною. Вказівка. Спробуйте розглянути ці рівняння як квадратні відносно sinx або cosx.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити