Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§25 СИСТЕМИ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ РІВНЯНЬ. СКЛАДНІШІ ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ ТА ЇХ СИСТЕМИ

25.1. Розв'язування систем тригонометричних рівнянь

Системи тригонометричних рівнянь розв’язують за допомогою тих самих методів, що й алгебраїчні системи, зокрема це виключення невідомих і заміна змінних. Виключити невідомі можна за допомогою одного з двох прийомів: з одного рівняння виразити якесь невідоме (або функцію від нього) і підставити його в інші або перетворити задані рівняння і потім скласти з них комбінації, у яких число невідомих зменшується.

Приклад 1

Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання

Із першого рівняння знаходимо y = - х і підставляємо в друге.

Одержуємо тобто cosх + cosх = 1; 2cosx = 1; cosx = .

Отже,

(1)

1) Якщо

то

2) Якщо х = - + 2n , то

Відповідь:

 

Зауваження. Якби для знаходження значення у ми не розглянули формулу (1) окремо зі знаком « + » і знаком «-», то разом із правильними розв’язками одержали б і сторонні розв’язки заданої системи.

Дійсно, у такому випадку маємо

Тоді, наприклад, при = 0 одержуємо

Отже, крім розв’язків, які ввійшли до відповіді, ми маємо ще дві пари значень:

Але ці пари значень х і у не є розв’язками заданої системи, оскільки вони не задовольняють перше рівняння.

Тому слід запам’ятати: коли розв’язок рівняння cosx = а доводиться використовувати для подальших перетворень, то зручно записувати його у вигляді двох формул: окремо зі знаком «+» і окремо зі знаком «-».

Приклад 2

Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання

Виконаємо почленно додавання і віднімання цих рівнянь. Одержимо рівносильну систему

Подамо останню систему у вигляді сукупності двох систем, записуючи розв’язки другого рівняння окремо зі знаком «+» і окремо зі знаком «-»:

Почленно додаючи і віднімаючи рівняння цих систем, знаходимо х і у:

Відповідь:

 

Зауваження. До запису відповіді ввійшли два параметри n і k, що незалежно один від одного «пробігають» множину цілих чисел. Якщо спробувати при розв’язуванні заданої системи скористатися лише одним параметром, наприклад n, то це спричинить втрату розв’язків. Отже, у кожному випадку, коли система тригонометричних рівнянь зводиться до системи, що складається з елементарних тригонометричних рівнянь (тобто з рівнянь виду sinx = a, cosx = a, tgx = a, ctgx = a), при розв’язуванні кожного з цих рівнянь необхідно використовувати свій цілочисловий параметр.

Запитання

1. Які методи використовують для розв’язування систем тригонометричних рівнянь?

2. Поясніть, у якому випадку при формальному розв’язуванні системи ми можемо втратити частину розв’язків, а в якому — одержати сторонні розв язки. Розв яжіть цю систему.

Bправи

У завданнях 25.1.1-25.1.8 розв’яжіть систему рівнянь.

25.1.1°.

25.1.2°.

25.1.3°.

25.1.4.

25.1.5.

25.1.6.

25.1.7*.

25.1.8*.

25.2. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь

Для розв’язування деяких тригонометричних рівнянь можна застосовувати властивості функцій (відповідні загальні підходи до розв’язування було розглянуто в § 4), зокрема оцінку значень лівої і правої частин рівняння.

Приклад 1

Розв’яжіть рівняння

Розв’язання

Оцінимо область значень функції f(x) = cos6x + sin . Оскільки |cos6x| ≤ 1 і то |f(х)| ≤ 2, тобто -2 ≤ f(х) ≤ 2.

З’ясуємо, чи існують такі значення х, при яких функція f(x) може набувати найбільшого значення 2. Якщо cos6x буде менший від 1, то для того, щоб сума cos6x + sin дорівнювала 2, необхідно, щоб значення sin було більшим за 1, що неможливо. Аналогічно, якщо припустити, що sin менший від 1, то для того, щоб сума cos6x + sin дорівнювала 2, необхідно, щоб значення соs6х було більшим за 1, що неможливо. Отже, рівність у даному рівнянні можлива тоді й тільки тоді, коли cos6x і sin дорівнюють 1.

Тому задане рівняння рівносильне системі рівнянь

Звідси

Прирівнюючи праві частини цих рівностей, одержуємо

Звідси

Оскільки k i n — цілі числа, то спробуємо підставити в праву частину останньої

рівності замість n цілі числа і знайти, для яких значень n за цією формулою k також буде цілим числом. При n = 1 одержуємо k = 3. У випадку, коли коефіцієнт 12 при змінній nу чисельнику дробу і знаменник 5 — взаємно прості числа, повторення подільності націло буде тільки через знаменник, тобто через 5. Тому останнє рівняння має розв’язки в цілих числах вигляду n = 1 + 5, m ∈ Z . Підставляючи значення n в один із розв’язків системи, одержуємо х = + 4m. Ці значення і є розв’язками останньої системи, а отже, і розв’язками заданого рівняння.

Відповідь: + 4m, m ∈ Z.

З іншими прикладами розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь ви можете ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Іноді для того, щоб розв’язати тригонометричні рівняння, доводиться застосовувати тригонометричні формули, які призводять до звуження ОДЗ заданого рівняння. Такі перетворення можуть приводити до втрати коренів рівняння. Щоб цього не сталося, слід користуватися таким орієнтиром.

Якщо для розв'язування рівнянь (чи нерівностей) доводиться виконувати перетворення, що звужують ОДЗ початкового рівняння (чи нерівності), то ті значення, на які звужується ОДЗ, потрібно розглядати окремо.

У табл. 39 указано тригонометричні формули, які можуть приводити до звуження ОДЗ, та відповідні значення змінної, які слід перевіряти при використанні цих формул.

Таблиця 39

Щоб упевнитися, що наведені формули приводять до звуження ОДЗ, достатньо порівняти області допустимих значень їх лівих і правих частин.

Наприклад, розглянемо формулу ctgx = .

• ОДЗ лівої частини: х ≠ n, n ∈ Z. Щоб знайти ОДЗ правої частини формули, ураховуємо, що знаменник дробу не дорівнює нулю: tgx ≠ 0, отже, х ≠ n, n ∈ Z, а також умову існування тангенса: х ≠  + k, k ∈ Z. Тобто ОДЗ правої частини задано системою обмежень

Порівнюючи ОДЗ лівої і правої частин розглянутої формули, бачимо, що ОДЗ правої частини містить додаткове обмеження

Отже, при переході за цією формулою від її лівої частини до правої відбувається звуження ОДЗ (відкидаються саме ті значення, які вказано в табл. 39: х =  + k , k ∈ Z). Щобне загубити корені заданого рівняння, використовуючи формулу ctgx = , значення х =  + k , k ∈ Z , потрібно розглянути окремо (звичайно, тільки в тому випадку, коли воно входить до ОДЗ заданого рівняння).

Із прикладом використання зазначеного орієнтира ви можете ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Деякі тригонометричні рівняння вдається розв’язати, використовуючи такий орієнтир, який умовно можна назвати «Шукайте квадратний тричлен»:

спробуйте розглянути задане рівняння як квадратне відносно якоїсь змінної (чи відносно якоїсь функції).

Приклад 2

Розв’яжіть рівняння

Коментар

Можна застосувати декілька підходів до розв’язування заданого рівняння:

1) розглянути задане рівняння як квадратне відносно змінної х і врахувати, що воно може мати корені тоді й тільки тоді, коли його дискримінант буде невід’ємним;

2) якщо в лівій частині рівняння виділити повний квадрат то одержимо рівняння

Урахуємо, що завжди

А сума кількох невід’ємних функцій дорівнює нулю тоді і тільки тоді, коли всі функції одночасно дорівнюють нулю.

Також можна останнє рівняння записати у такому вигляді:

і оцінити ліву і праву частини цього рівняння.

(Виконайте розв’язування, запропоновані в п. 2, самостійно.)

Розв’язання

Розглянемо рівняння як квадратне відносно х:

Це рівняння може мати корені тоді і тільки тоді, коли його дискримінант буде невід’ємним:

Тоді

Але sin2  не може бути більшим за 1.

Отже, sin2  = 1, тобто sin  = 1 або sin  = -1. Підставляючи ці значення в задане рівняння, одержуємо, що воно рівносильне сукупності систем:

Із другого рівняння першої системи маємо х = 1, що задовольняє і перше рівняння системи. Таким чином, х = 1 — розв’язок першої системи, а отже, і розв’язок заданого рівняння. Аналогічно одержуємо х = -1 — розв’язок другої системи, а отже, і розв’язок заданого рівняння.

Відповідь: 1; -1.

Розв’язуючи рівняння з оберненими тригонометричними функціями, корисно пам’ятати, що при |а| ≤ 1 arcsin а + arccosа = і для довільних значень a arctg а + arcctg = .

Також при розв’язуванні рівнянь з оберненими тригонометричними функціями часто буває зручним від обох частин рівняння взяти якусь тригонометричну функцію і скористатися означенням відповідних обернених тригонометричних функцій.

Приклад 3

Розв’яжіть рівняння 2arcsinх = arcsin x.

Коментар

Якщо взяти від обох частин заданого рівняння функцію синус, то одержимо рівняння-наслідок: якщо числа рівні, то й синуси будуть рівними, але якщо синуси двох чисел рівні, то це ще не означає, що числа обов’язково будуть рівними.

Правильна рівність буде зберігатися при прямих перетвореннях, але не обов’язково буде зберігатися при обернених перетвореннях. Отже, у кінці необхідно виконати перевірку одержаних розв’язків. Якщо позначити arcsin x = a, то за означенням арксинуса і sin a = х . Щоб знайти cosa , ураховуємо, що при значення cosa ≥ 0, отже,

Перевіряючи одержані розв’язки, у тих випадках, коли знайдені числа не є коренями заданого рівняння, іноді зручно порівняти одержані розв’язки з табличними значеннями. Наприклад, = 0,9 більше за

Ураховуючи зростання функції y = arcsint, одержуємо, що

Розв’язання

Якщо позначити arcsinx = a, де

то задане рівняння матиме вигляд

2а = β. (1)

Візьмемо від обох частин рівняння (1) функцію синус і одержимо

sin 2a = sin β ,

2 sin a cos а = sin β. (2)

За означенням арксинуса sina = x, sinβ = x.

Ураховуючи, що одержуємо

Тоді рівняння (2) матиме вигляд

Звідси

Отже, х = 0 або тобто

Перевірка:

1) х = 0 — корінь

2) х = ± — сторонні корені. Дійсно, для x = маємо 2arcsin ≠ arcsin (оскільки то a arcsin ). Аналогічно при х = - маємо і рівність теж не може виконуватися.

Відповідь: 0.

Зауваження. Для того щоб розв’язати рівняння

2 arcsin х = arcsin х, можна було б використати не тільки рівняння-наслідки, а и рівносильні перетворення рівнянь. Але в цьому випадку доведеться врахувати ОДЗ заданого рівняння:

(3)

а також те, що для всіх коренів рівняння його права частина розташована в проміжку (за означенням арксинуса). Отже, і ліва частина рівняння повинна перебувати в цьому самому проміжку. Таким чином, для всіх коренів заданого рівняння виконується умова:

(4)

У проміжку функція sin t є зростаючою, тоді при виконанні умови (4) (звичайно, на ОДЗ (3)), якщо від обох частин заданого рівняння взяти синус, то одержимо рівносильне йому рівняння (тобто задане рівняння рівносильне рівнянню (2) за умов (3) і (4)). Виконуючи міркування й перетворення, наведені вище в розв’язанні прикладу 3, одержуємо х = 0 або х =± . Усі знайдені корені входять до ОДЗ (задовольняють умову (3)), але умову (4) задовольняє тільки х = 0 , отже, коренем заданого рівняння є тільки х = 0 .

Запитання

1. Поясніть, як можна розв’язати рівняння cosx = 1 + x2 за допомогою оцінки значень лівої і правої частин рівняння. Розв’яжіть це рівняння.

2. Поясніть, як можна розв’язувати тригонометричні рівняння, до запису яких входять лише сума чи різниця синуса і косинуса одного й того самого аргумента та їх добуток. (Див. інтернет- підтримку підручника.) Наведіть приклад такого рівняння.

3. Наведіть приклад тригонометричної формули, застосування якої може привести до звуження ОДЗ заданого рівняння й до втрати його коренів. Поясніть, чому відбувається звуження ОДЗ. Як потрібно використовувати такі формули, щоб не втратити корені заданого рівняння? Поясніть це на прикладі рівняння

Вправи

25.2.1.

25.2.2.

25.2.3.

25.2.4.

1) 9х2- 6xcos6x + 1 = 0;

2) 4х2 - 4xsin(xy) + 1 = 0 (знайдіть усі пари чисел (х; у), які задовольняють рівняння).

25.2.5.

25.2.6

25.2.7.

25.2.8.

25.2.9.

25.2.10. Розв’яжіть систему рівнянь:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити