Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§26 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ З ПАРАМЕТРАМИ

26.1. Розв'язування рівнянь із параметрами

Якщо крім змінної та числових коефіцієнтів до запису тригонометричного рівняння входять також буквені коефіцієнти — параметри, то, розв’язуючи ці рівняння, можна користуватися таким орієнтиром (див. § 9).

Будь-яке рівняння чи нерівність із параметрами можна розв'язувати як звичайне рівняння чи нерівність доти, поки всі перетворення або міркування, необхідні для розв'язування, можна виконати однозначно. Якщо якесь перетворення не можна виконати однозначно, то розв'язування необхідно розбити на кілька випадків, щоб у кожному з них відповідь через параметри записувалася однозначно.

На етапі пошуку плану розв’язування рівняння чи нерівності з параметрами або в ході міркувань, пов’язаних із самим розв’язуванням як таким, часто зручно супроводжувати відповідні міркування схемами. За цими схемами легко простежити, у який саме момент ми не змогли однозначно виконати необхідні перетворення, на скільки випадків довелося розбити розв’язання і чим відрізняється один випадок від іншого. Щоб на таких схемах (чи в записах громіздких розв’язань) не втратити якусь відповідь, доцільно поміщати остаточні відповіді в прямокутні рамки.

Приклад

Розв’яжіть рівняння sin2x = 4acosx.

Коментар

Спочатку зведемо всі тригонометричні функції до одного аргумента х, використовуючи формулу

sin2x = 2sinxcosx .

Якщо перенести всі члени рівняння в ліву частину, то можна винести за дужки спільний множник 2cosx .

Оскільки обидва множники мають зміст при будь-яких значеннях змінної х, то рівняння (1) рівносильне сукупності рівнянь cosx = 0 або sinx - 2a = 0, тобто сукупності cosx = 0 або sinx = 2a.

Для рівняння cosx = 0 ми можемо записати корені при будь-яких значеннях а (у цьому рівнянні параметра а немає), а в рівнянні sinx = 2a все залежить від правої частини: якщо |2а| > 1, то коренів немає, а якщо |2а| ≤ 1, то корені є. Отже, доводиться розбивати розв’язування цього рівняння на два випадки.

Розв’язання

2 sin х cos х - 4a cos x = 0 ;

2cosx(sinx - 2a) = 0 . (1)

Тоді cosx = 0 або sinx - 2a = 0.

Звідси

або sinx = 2a .

Відповідь: (див. після зауваження).

Зауваження. Для запису одержаних відповідей (вони на схемах розміщені в прямокутних рамках) доцільно уточнити, при яких значеннях а виконуються обмеження |2а| ≤ 1 та |2а| >1. Для цього розв’язуємо відповідні нерівності:

Нагадаємо (див. § 9): щоб полегшити запис відповіді у складних або громіздких випадках, зобразимо вісь параметра (а) і позначимо на ній усі особливі значення параметра, які з’явилися в процесі розв’язування (рис. 26.1.1). Під віссю параметра (ліворуч від неї) випишемо всі одержані розв’язки (крім «коренів немає» ) і напроти кожної відповіді позначимо, при яких значеннях параметра цю відповідь можна використовувати. Після цього записуємо відповідь для кожного з особливих значень параметра і для кожного з одержаних проміжків осі параметра.

Рис. 26.1.1

Із цієї схеми добре видно, що при а < - або а > у відповідь потрібно записати тільки одну формулу, а при - ≤ а ≤ — дві формули.

Відповідь:

Ще один приклад використання зазначених орієнтирів наведено в інтернет- підтримці підручника.

26.2. Дослідницькі задачі з параметрами

Крім завдань із параметрами, у яких вимагається «розв’язати рівняння чи нерівність», часто пропонуються дослідницькі завдання з параметрами. Такі завдання іноді вдається розв’язати за допомогою безпосередніх обчислень: розв’язати задане рівняння чи нерівність і після цього дати відповідь на запитання задачі. Проте досить часто дослідницькі завдання не вдається розв’язати безпосередніми обчисленнями (або такі обчислення є дуже громіздкими), і тому доводиться спочатку обґрунтувати якусь властивість заданого рівняння чи нерівності, а потім, користуючись цією властивістю, уже давати відповідь на запитання задачі.

Розглянемо деякі з таких властивостей. Наприклад, беручи до уваги парність функцій, що входять до запису заданого рівняння, використовують такий орієнтир.

Якщо в рівнянні f(x) = 0 функція f(x) є парною або непарною, то разом із будь-яким коренем а ми можемо вказати ще один корінь цього рівняння (-а).

Приклад

Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння

a2 cos2 х - х2 - а = 0 (1)

має єдиний корінь.

Коментар

Помічаємо, що в лівій частині заданого рівняння стоїть парна функція, і використовуємо орієнтир, наведений вище. Дійсно, якщо х = а — корінь рівняння f(x) = 0, то f(а) = 0 — правильна числова рівність. Ураховуючи парність функції f(x), маємо f(-а) = f(а) = 0 . Отже, х = -а теж є коренем рівняння f(х) = 0. Єдиний корінь це рівняння може мати тільки тоді, коли корені а і -а збігаються. Тоді х = а = -а = 0. З’ясуємо, чи існують такі значення параметра а, при яких х = 0 є коренем рівняння (1). (Це а = 0 і а = 1.)

Оскільки значення а = 0 і а = 1 ми одержали з умови, що х = 0 — корінь рівняння (1), то необхідно перевірити, чи дійсно при цих значеннях а задане рівняння матиме єдиний корінь.

Для розв’язування рівняння (2) оцінимо його ліву і праву частини:

f(x) = cos2x, g(x)= 1 + х2.

Розв’язання

Функція f(x) = a2 cos2 х - х2 - а є парною (D(f) = R, f(-x) = f(x)). Якщо х = а — корінь рівняння (1), то х = - теж є коренем цього рівняння. Тому єдиний корінь у заданого рівняння може бути тільки тоді, коли а = -a, тобто а = 0. Отже, єдиним коренем заданого рівняння може бути тільки х = 0. Якщо х = 0, то з рівняння (1) одержуємо а2 - а = 0, тобто а(а - 1) = 0. Звідси а = 0 або а = 1.

При а- 0 з рівняння (1) одержуємо рівняння х = 0 , яке має єдиний корінь х = 0 . Отже, а = 0 задовольняє умову задачі.

При а =1 маємо рівняння cos2х - х2 - 1 = 0 , тобто

cos2x = 1 + x2 (2)

Оскільки cos2 х ≤ 1, а 1 + х2≥ 1, то рівняння (2) рівносильне системі

Із другого рівняння системи одержуємо х = 0 , що задовольняє й перше рівняння, тобто ця система, а отже, і рівняння (2) має єдиний розв’язок — х = 0 . Таким чином, а = 1 також задовольняє умову задачі.

Відповідь: а = 0, а = 1.

Розв’язати деякі дослідницькі задачі з параметрами допомагає використання такого орієнтира.

Якщо в умові задачі з параметрами йдеться про те, що розв'язками заданого рівняння чи нерівності є всі значення змінної з деякої множини, то іноді корисно підставити конкретні значення змінної із заданої множини і одержати деякі обмеження на параметр.

Із прикладом використання зазначеного орієнтира ви можете ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника.

Вправи

У завданнях 26.1—26.2 розв’яжіть рівняння.

26.1. 1) asinx = 1; 3) atgx = sinx;

2) asin2x = cosx; 4) ctgx = acosx.

26.2.

26.3. Знайдіть усі значення параметра, при яких рівняння має корені:

1) 2sinx + 4cosx = а ; 3) acos2x - sinx = 0 ;

2) 3sinx - 4cosx = b ; 4) cos2x + acosx = 0 ;

5) arcsin2x + (3a - 3)arcsinx + (a - 2)(5 - 4a) = 0 .

26.4. При яких значеннях параметра а рівняння cos22x + + (a - 3)cos2x = 0 має на відрізку рівно чотири корені?

26.5. Знайдіть усі пари чисел (a; b), для яких коренями рівняння a(cos3x - 1) + b2 - 2b = cos(3ax + (b - 1)2) - 2 будуть усі дійсні числа.

26.6. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння (4a + 2)sinx + 2acosx + a + 1 = 0 має точно один корінь, який належить відрізку

26.7. При яких значеннях параметра а задані рівняння рівносильні?

26.8. Розв’яжіть систему рівнянь:

Виявіть свою компетентність

26.9. Висловіть свою думку з приводу того, представникам яких із наведених професій може стати у пригоді знання теми «Тригонометричні рівняння з параметрами»: мікробіолог, астронавт-навігатор, інженер-акустик, модельєр одягу.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити