Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§27 РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ТРИГОНОМЕТРИЧНИХ НЕРІВНОСТЕЙ

Таблиця 40

2. Способи розв’язування більш складних тригонометричних нерівностей

а) Використання рівносильних перетворень, зокрема зведення до алгебраїчної нерівності за схемою:

1) до одного аргумента; 2) до однієї функції; 3) заміна змінної (аналогічно до схеми розв’язування тригонометричних рівнянь, наведеної в п. 24.1) і наступне розв’язування одержаних найпростіших тригонометричних нерівностей.

б) Використання методу інтервалів (після зведення нерівності до вигляду f(х) = 0) за схемою:

1) Знайти ОДЗ нерівності.

2) Знайти спільний період (якщо він існує) для всіх функцій, що входять до запису нерівності, тобто період функції f(x).

3) Знайти нулі функції: f(x) = 0.

4) Позначити нулі функції на ОДЗ усередині одного періоду та знайти знак функції f(x) у кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ (усередині одного періоду).

5) Записати відповідь, ураховуючи знак заданої нерівності й період функції f(x).

ПОЯСНЕННЯ И ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Розв’язування найпростіших тригонометричних нерівностей

Найпростішими тригонометричними нерівностями вважають нерівності виду sinx > a, cosx > a, tgx > a, ctgx > a (на місці знака «>» може стояти будь-який зі знаків нерівності: «<», «≥», «≤).

Щоб міркування щодо знаходження розв’язків цих нерівностей були більш наочними, використовують одиничне коло або графіки відповідних функцій, як це показано в табл. 40 (відповідні пояснення наведено в інтернет-підримці підручника).

2. Способи розв’язування більш складних тригонометричних нерівностей

Приклад 1

Розв’яжіть нерівність

Коментар

Використаємо рівносильні перетворення заданої нерівності. Для цього зведемо її до алгебраїчної за схемою, аналогічною до схеми розв’язування тригонометричних рівнянь:

1) до одного аргумента (2х);

2) до однієї функції (cos2x);

3) заміна змінної (cos2x = t).

Після оберненої заміни розв’яжемо одержані найпростіші тригонометричні нерівності.

Розв’язання

Тоді 2COS22X + 13COS2X — 7 > 0 .

Заміна cos2x = t дає нерівність 2t2 + 13t - 7 > 0 , розв’язки якої (рис. 27.1):

t < -7 або t > .

Рис. 27.1

Розв’язання (продовження)

Обернена заміна дає: cos2x < -7 (розв’язків немає) або cos2x > .

Тоді

Отже,

Розв’язуючи більш складні тригонометричні нерівності, можна також використати метод інтервалів, трохи змінивши його. Необхідність корекції відомої схеми розв’язування нерівностей f(х) ≷ 0 методом інтервалів (табл. 6 в § 3) пов’язана з тим, що у випадку, коли функція f(x) тригонометрична, вона, як правило, має нескінченну множину коренів (які одержують при цілих значеннях параметра).

Тому, якщо намагатися позначити корені на ОДЗ, доведеться позначити їх нескінченну множину, що неможливо. Уникнути цього можна, якщо знайти період функції fix) (якщо він існує) і розглянути знак функції на кожному проміжку всередині одного періоду.

Таким чином, метод інтервалів для розв’язування тригонометричних нерівностей f(х) ≷ 0 може застосовуватися за схемою:

1. Знайти ОДЗ нерівності.

2. Знайти період функції f(x) (якщо він існує).

3. Знайти нулі функції (f(х) = 0).

4. Позначити нулі на ОДЗ усередині одного періоду та знайти знак функції в кожному з проміжків, на які розбивається ОДЗ (усередині одного періоду).

5. Записати відповідь (ураховуючи знак заданої нерівності й період функції f(x)).

Приклад 2.

Розв’яжіть нерівність cos2x ≤ cos3x - cos4x .

Розв’язання

Розв’яжемо дану нерівність методом інтервалів. Для цього зведемо її до вигляду f(х) ≤ 0 :

cos2x + cos4x - cos3x ≤ 0 .

1. ОДЗ: х — будь-яке дійсне число.

2. Як ми знаємо, період функції cosx дорівнює 2. Тоді період функції cos2x буде Т1 = = , період функції cos3x - Т2 = і період функції

На відрізку довжиною 2 періоди Т1, Т2, Т3 вміщуються ціле число разів. Тоді 2 буде спільним періодом для всіх цих трьох функцій, і тому 2 є періодом функції f(x)- cos2x + cos4x - cos3x .

3. Знайдемо нулі цієї функції: cos2x + cos4x - cos3x = 0 .

Тоді 2cos3xcosx - cos3x - 0 ; cos3x(2cosx - 1) =0 .

Звідси cos3x = 0 або 2cosx - 1 = 0. Розв’язуючи останні рівняння, одержуємо

1. Позначимо всі нулі на періоді довжиною 2п, наприклад, на відрізку від 0 до 2л і одержимо 9 проміжків (рис. 27.2).

Рис. 27.2

Знаходимо знаки функції f(x) на кожному з проміжків. Для цього зручно записати функцію f(x) у вигляді добутку:

f(x) = cos3x(2cosx - 1) .

Відповідь (записуємо з урахуванням періоду):

Зауваження. При розв’язуванні тригонометричних нерівностей методом інтервалів часто доводиться знаходити знак функції у великій кількості проміжків. Для того щоб зменшити обсяг роботи, можна запропонувати такий спосіб: стежити за тим, через який нуль ми проходимо при переході з одного інтервалу до іншого і чи змінюється знак даної функції в цьому нулі.

У випадку, коли функція f(х), що стоїть у лівій частині нерівності, записана у вигляді добутку φ(x) ∙ g(x), необхідно звертати увагу на те, що знак добутку не зміниться, якщо одночасно обидва множники (функції φ(х) і g(x)) змінюють знаки на протилежні.

Практично для використання цієї властивості у випадку, якщо ліва частина нерівності записана як добуток кількох функцій, нулі кожного множника позначають на проміжку різним кольором (так, як це зроблено на рис. 27.2), або, якщо множників лише два, нулі першого множника позначають під віссю, а нулі другого — над віссю.

Якщо у функцій-множників немає однакових нулів, то знак функції f(x) змінюється автоматично при переході через кожний нуль (за умови, що тільки одна з функцій-множників змінює знак при переході через цей нуль). У цьому випадку для знаходження всіх знаків функції f9x) на періоді достатньо знайти її знак лише в одному проміжку, а в інших розставити знаки, чергуючи їх. Якщо ж у функцій-множників є однакові нулі, то при переході через такий нуль знак добутку може не змінюватися, і це враховують, розставляючи знаки.

Запитання

1. Поясніть на прикладах, як можна розв’язувати найпростіші тригонометричні нерівності за допомогою:

1) одиничного кола; 2) графіка відповідної функції.

2. Чи завжди мають розв’язки нерівності:

1) sinx < a; 3) cosx < a; 5) tgx < a; 7) ctgx < a;

2) sinx > a; 4) cosx > a; 6) tgx > a; 8)ctgx > a?

Чи можуть бути розв’язками якихось із цих нерівностей усі дійсні числа? Наведіть приклади.

3. Якими способами можна розв’язувати тригонометричні нерівності, що відрізняються від найпростіших? Наведіть приклади.

Bправи

У завданнях 27.1-27.14 розв’яжіть нерівність.

27.1.

27.2.

27.3.

27.4.

27.5.

27.6.

27.7.

27.8.

27.9.

27.10. 1) sinx > cos2x; 2) cos2х - sin2х > sin2x .

27.11. 1) cos2x + 5cosx + 3 > 0; 2) sinx < cosx.

27.12. 1) cos2x + cos6x > 1 + cos8x ; 2) sinxsin7x > sin3xsin5x .

27.13.

27.14.

1) sin 9x - sin 5x + 2 sin 2 x < 2 sin 2x + 1 - cos 2x ;

2) 2sin2x - sinx + sin3x < 1.

27.1 5. Знайдіть розв’язки нерівності які задовольняють умову |x| < .

27.16. Знайдіть значення х на відрізку 0 ≤ х ≤ п, які задовольняють нерівність

У завданнях 28.17-28.14 розв’яжіть нерівність.

27.17. 1) sin4x > a(sin3x - sinx);

2) a(cosx - sinx)2 + аcos2 x ≥ 0 .

27.18. 1) 2arccosx > arcsinx ; 3) 2(arcsinx)2 - 3arcsin x +1 > 0 ;

2) 2 arcsin x > arccosx ; 4) (arccosx)2 - 6 arccos x + 8 < 0 .

27.19.

27.20. Розв’яжіть нерівність:

27.21. При яких значеннях параметра а задана нерівність виконується при всіх значеннях х?

1) sin6 x + cos6х +asinxcosx ≥ 0;

2) sin4 x + cos4х > 3asinxcosx .

Додаткові завдання до теми «Тригонометричні рівняння і нерівності» наведено на сайті interactive.ranok.com.ua.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ОЦІНЮВАННЯ

Тест № 4

1. Обчисліть

2. Яке з наведених рівнянь не має коренів?

3. Розв’яжіть рівняння 2cosx = -l.

4. Установіть відповідність між рівняннями (1-3), та множинами всіх їх коренів (А-Г).

5. Розв’яжіть нерівність

6. Розв’яжіть рівняння (запишіть розв’язання).

7. Розв’яжіть рівняння cos2x - 4sinx + a - 1 = 0 залежно від значень параметра а (запишіть розв’язання).

Пройдіть онлайн-тестування на сайті interactive.ranok.com.ua.

Теми навчальних проектів

1. Аркфункції в рівняннях і нерівностях.

ВІДОМОСТІ З ІСТОРІЇ

У кожному періоді історії математики були свої видатні вчені, які мали різні долі. Одні зажили слави і безсмертя ще за життя, іншим судилося пройти складні шляхи і розділити трагічну долю свого народу. Звернувшись до інтернет-під- тримки, ви дізнаєтеся про життєвий шлях математиків з України, які зробили значний внесок у світову та європейську науку.

М. В. Остроградський (1801-1862)

М. П. Кравчук (1892-1942)

О. С. Дубинчук (1919-1994)

Н. О. Вірченко (нар. 1930)

М. С. В’язовська (нар. 1984)





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити