Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

У ЦЬОМУ РОЗДІЛІ ВИ:

► ознайомитеся з поняттями похідної та границі функції;

► навчитеся досліджувати функції та будувати їх графіки;

► дізнаєтеся про те, як можна розв'язувати рівняння та нерівності, застосовуючи похідну

§28 ПОНЯТТЯ ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ ТА НЕПЕРЕРВНОСТІ ФУНКЦІЇ*

Таблиця 41

* Пояснення й обрунтування до § 28 наведені в інтернет-підтримці підручника, а доведення властивостей границі — в § 29.

** Якщо значення х задовольняє нерівність |х - а| < δ, тo кажуть, що точка х розташована в 5-околі точки а.

* Елементарними зазвичай називають такі функції: у = с (с = const); у = хn, n ∈ N; n ∈ N; у = ах (а > 0); y = logax (a > 0, а ≠ 1); y = sinx; у = cosx ; у = tgx ; у = ctgx; y= arcsinx; y = arccosx; y = arctgx; y = arcctgx і всі функції, які одержують із перелічених вище за допомогою скінченної кількості дій додавання, віднімання, множення, ділення та утворення складеної функції (функції від функції).

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Визначте, чи є функція неперервною в кожній точці даного проміжку:

Коментар

Многочлен f(x) і дробово-раціональна функція g(x) є неперервними в кожній точці їх області визначення (зокрема, функція g(x) неперервна як частка двох многочленів — неперервних функцій, за умови, що знаменник дробу не дорівнює нулю).

Тому в кожному із завдань потрібно знайти область визначення функції та порівняти її із заданим проміжком.

Розв’язання

1) Областю визначення функції f(x) є множина всіх дійсних чисел. Многочлен є неперервною функцією в кожній точці своєї області визначення, тому в кожній точці проміжку (-∞; + ∞) функція fix) неперервна.

2) Область визначення функції g(x): х ≠ З , тобто D(g) = (-∞; 3)⋃(3; + ∞). Дробово-раціональна функція g(x) є неперервною в кожній точці її області визначення.

Проміжок [5; + ∞) повністю входить до області визначення цієї функції, тому в кожній точці проміжку [5; +∞) функція g(x) неперервна.

3) Проміжок + містить точку 3, яка не входить до області визначення функції g(x). Отже, у цій точці функція g(x) не може бути неперервною (оскільки не існує значення g(3)). Тому функція g(x) не є неперервною в кожній точці проміжку (0; + ∞).

Якщо проміжок повністю входить до області визначення відповідної функції, то функція буде неперервною в кожній його точці. І навпаки, функція не буде неперервною в тих точках, які не входять до її області визначення.

Зазначимо, що коли в точці х = а не виконується умова то функцію f(х) називають розривною в точці а (а точку а — точкою розриву функцїі f(x)).

Приклад 2

З’ясуйте, до якого числа прямує функція при х →0.

Коментар

Фактично в умові задачі йдеться про знаходження границі функції f(x) при х → 0 .

Дробово-раціональна функція f(x) є неперервною в кожній точці її області визначення (х ≠ 5) як частка двох неперервних функцій — многочленів. Ураховуючи це, одержуємо, що при х → 0 значення f(x) → f(0), тобто

Розв’язання

Дробово-раціональна функція (ix) є неперервною в кожній точці її області визначення (х ≠ 5). Число 0 входить до області визначення цієї функції, тому при х → 0 значення

Відповідь: .

Приклад 3*

Знайдіть:

Коментар

Многочлени і дробово-раціональні функції є неперервними в кожній точці їх областей визначення. Це означає, що в тому випадку, коли число а (до якого прямує х) входить до області визначення функції fix) (завдання 1 і 2), одержуємо

Якщо ж число а не входить до області визначення функції f(x) (завдання 3), то при х ≠ а слід виконати тотожні перетворення виразу f(x), одержати функцію, означену при х = а, і використати її неперервність при х = а (для завдання 3 це функція φ(х) = х + 1 при х = 1).

Розв’язання

1) Многочлен f(x) = x3 +2х - 1 є неперервною функцією в кожній точці числової прямої, тому = f(3) = 33 + 2 ∙ 3 - 1 = 32.

2) Дробово-раціональна функція є неперервною в кожній точці и області визначення (х ≠ 5). Число 1 входить до області визначення цієї функції, тому

3) При x ≠ 1

Тоді

Нагадаємо, що з позначення х → а випливає тільки те, що х прямує до а (але не обов’язково набуває значення а). Тому при х → 1 значення х + 1 → 1 + 1 = 2.

Запитання

1. Поясніть, що означають записи х → а і f(х) → В.

2. Поясніть, що означає запис

3. Якщо при х → а f(х) → А і g(х) → B, то до яких чисел при х → а прямуватимуть функції: f(x)±g(x); f(x) ∙ g(x); (якщо В ≠ 0)?

4. Коли функцію f(x) називають неперервною в точці а? Наведіть приклади.

5. Яку функцію називають неперервною на проміжку? Що можна сказати про графік такої функції на розглядуваному проміжку?

6. На якій властивості неперервної функції ґрунтується метод інтервалів, за допомогою якого розв’язують нерівності виду f(х) ≷ 0? Поясніть, спираючись на графічну ілюстрацію, справедливість цієї властивості (див. інтернет-підтримку підручника).

Bправи

28.1. Чи є функція неперервною в кожній точці даного проміжку:

28.2. З’ясуйте, до якого числа прямує функція f, якщо:

28.3*. Знайдіть:

28.4. Розв’яжіть нерівність методом інтервалів:

28.5. Знайдіть область визначення функції:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити