Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§2 ФУНКЦІЇ

2.1. Поняття числової функції. Найпростіші властивості числових функцій

Таблиця З

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Поняття функції

Із поняттям функції ви ознайомилися в курсі алгебри. Нагадаємо, що залежність змінної у від змінної х називається функцією, якщо кожному значенню х відповідає єдине значення у.

Функція— від латин.

function — виконання, здійснення.

У курсі алгебри і початків аналізу ми будемо користуватися таким означенням числової функції.

Означення. Числовою функцією з областю визначення D називається залежність, при якій кожному числу х із множини D ставиться у відповідність єдине число у.

Функції позначають латинськими (іноді грецькими) буквами. Розглянемо довільну функцію f. Число у, яке відповідає числу х (на рисунку до п. 1 табл. З це показано стрілкою), називають значенням функції f у точці х і позначають f(x) .

Область визначення функції f — це множина всіх тих значень, яких може набувати аргумент х. Її позначають D(f).

Область значень функції f — це множина, яка складається з усіх чисел f(x), де х належить області визначення. Її позначають E(f).

Найчастіше функцію задають за допомогою формули. Якщо немає додаткових обмежень, то областю визначення функції, заданої формулою, вважають множину всіх значень змінної, при яких ця формула має зміст.

Наприклад, якщо функція задана формулою у = + 1, то її область визначення х ≥ 0, тобто D(y) = [0; + ∞), а область значень у ≥ 1, тобто Е(у) = [1; + ∞) .

Іноді функція може задаватися різними формулами на різних множинах значень аргумента. Наприклад,

Функцію можна задати не тільки за допомогою формули, а й за допомогою таблиці, графіка чи словесного опису.

Рис. 2.1.1

Рис. 2.1.2

Наприклад, на рис. 2.1.1 графічно задано функцію у = f (x) з областю визначення D(f) = [-1; 3] і множиною значень E(f) = [1; 4].

Означення. Найбільшим (найменшим) значенням функції f(x) на множині М, на якій ця функція задана, називається значення функції f(x) у деякій точці х0 множини М, якщо ні в якій іншій точці множини функція не має більшого (меншого) значення.

Тобто для всіх х ∈ М виконується нерівність f'(х) ≤ f'(х0) (відповідно f(х) ≥ f(х0) для найменшого значення).

Іноді це записують так: (відповідно

Наприклад, для функції у = f(x), графічно заданої на проміжку [-1; 3] на рис. 2.1.1, найменше значення дорівнює 1, а найбільше — 4.

Тобто

Рис. 2.1.3

2. Графік функції

Нагадаємо означення графіка функції.

Означення. Графіком функції y = f(x) називається множина всіх точок координатної площини з координатами (x; f(x)) , де перша координата х «пробігає» всю область визначення функції, а друга координата — це відповідне значення функції f у точці х.

На рисунках до п. 4 табл. З введено графіки функцій у = х2 та у = , а на рис. 2.1.2 — графік функції у = |х|.

Наведемо також графік функції у = [х], де [х] — позначення цілої частини числа х, тобто найбільшого цілого числа, яке не перевищує х (рис. 2.1.3). Область визначення цієї функції D(y) = R — множина всіх дійсних чисел, а область значень E(y) = Z — множина всіх цілих чисел.

На рис. 2.1.4 наведено графік функції у = {х}, де {х} — позначення дробової частини числа х (за означенням {х} = х - [х]).

Рис. 2.1.4

!

Звертаючись до фізики, хімії, економіки, медицини, можемо знайти зразки графіків функцій. Наприклад:

• графік А, що відображує динаміку курсу долара - залежність вартості R долара у гривнях від часу t;

• фрагмент кардіограми Б - залежність різниці потенціалів U на поверхні шкіри пацієнта від часу t;

• вольт-амперна характеристика В діода - залежність напруги від сили струму:

• залежність Г розчинності твердих речовин від температури.

Сьогодні для побудови графіків усе частіше використовують спеціальне програмне забезпечення. Графіки можна будувати за допомогою програм GeoGebra, Graph, AdvancedGrapher, Gran тощо.

Чи не найпростішим для користувачів є сервіс Google. За його допомогою можна, зокрема, будувати графіки функцій, заданих аналітично. Для цього в рядок пошуку треба ввести формулу, якою задано функцію, наприклад 1 + sqr(x)/2 , і натиснути клавішу «Enter». (Нагадаємо, що запис формул відбувається певним чином, про це вам відомо з уроків інформатики.) У результаті отримаємо графік функції (див. рисунок).

Зростаючі та спадні функції

Важливими характеристиками функцій є їх зростання та спадання.

Означення. Функція fix) називається зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргумента із цієї множини відповідає більше значення функції.

Тобто для будь-яких двох значень і х2 із множини Р: якщо х2 > х1, то f{x2) > f(x1).

Наприклад, функція f(x) = 2x зростаюча (на всій області визначення, тобто на множині R), оскільки якщо х2 > х1, то 2х2 > 2х1, тобто f(x2) > f(x1) .

Відповідні точки графіка зростаючої функції при збільшенні аргумента «піднімаються» (рис. 2.1.5).

На рис. 2.1.6 наведено графік зростаючої функції у = х3 .

Дійсно, при х2 > х1 маємо тобто f(x2) > f(x1).

Означення. Функція f(x) називається спадною на множині Р, якщо більшому значенню аргумента з цієї множини відповідає менше значення функції.

Тобто для будь-яких двох значень х1 і х2 із множини Р: якщо x2 > x1,то f(x2) < f(x1).

Наприклад, функція f(x) = -2х спадна (на всій області визначення, тобто на множині R), оскільки якщо х2 > х1, то -2х2 < -2х1, тобто f(x2) < f(x1). Відповідні точки графіка спадної функції при збільшенні аргумента «опускаються» (рис. 2.1.7).

Розглядаючи графік функції у = х2 (рис. 2.1.8), бачимо, що на всій області визначення ця функція не є ні зростаючою, ні спадною. Але можна виділити проміжки області визначення, де ця функція зростає і де спадає. Так, на проміжку [0; + ∞) функція у = х2 зростає, а на проміжку (-∞;0] спадає.

Зазначимо, що для зростаючих і спадних функцій виконуються властивості, обернені до тверджень, що містяться в означеннях.

Рис. 2.1.5

Рис. 2.1.6

Якщо функція зростає, то більшому значенню функції відповідає більше значення аргумента.

Якщо функція спадає, то більшому значенню функції відповідає менше значення аргумента.

• Обґрунтуємо першу із цих властивостей методом від супротивного. Нехай функція fix) зростає і f(x2) > f(x1). Припустимо, що аргумент х2 не більший за аргумент х1, тобто х2 ≤х1 . Із цього припущення одержуємо: якщо х2≤ х1 і f(x) зростає, то f(x2) ≤ f (х1), що суперечить умові f (х2) > f (х1). Отже, наше припущення неправильне і, якщо f (х2) > f (х1), то х2 > х1, що і потрібно було довести.

Аналогічно можна обґрунтувати і другу властивість.

Наприклад, якщо х3 > 8, тобто х3 > 23, то, ураховуючи зростання функції f(x) = x3 , одержуємо х > 2.

Рис. 2.1.7

Рис. 2.1.8

Парні й непарні функції

Розглянемо функції, області визначення яких симетричні відносно початку координат, тобто разом із кожним числом х містять і число -х. Для таких функцій визначено поняття парності й непарності.

Означення. Функція f називається парною, якщо для будь- якого х з її області визначення f(-x) = f(x).

Наприклад, функція у = х2 (тобто функція f(х) = х2) парна, оскільки f(-x) = (-x)2 = x2 = f(x).

Якщо функція f(x) парна, то до її графіка разом із кожною точкою М із координатами (х; y) = (x; f(x)) входить також і точка М1 із координатами (-х; у) = (-х; f (-х)) = (-х; f (х)). Точки М і М1 розміщені симетрично відносно осі Оу (рис. 2.1.9), тому й графік парної функції розміщений симетрично відносно осі Оу.

Наприклад, графік парної функції у = х2 (див. рис. 2.1.8) симетричний відносно осі Оу.

Рис. 2.1.9

Означення Функція f називається непарною, якщо для будь-якого х з її області визначення f(-x) = -f(x).

Наприклад, функція у = (тобто функція f(x) = ) непарна, оскільки

Якщо функція f(x) непарна, то до її графіка разом із кожною точкою М із координатами (х; у)- (х; f (х)) входить також і точка М1 із координатами (-х; у) - (-х; -f(x)). Точки М і М1 розміщені симетрично відносно початку координат (рис. 2.1.10), тому й графік непарної функції розміщений симетрично відносно початку координат.

Наприклад, графік непарної функції у = (див. п. 4 табл. 3) симетричний відносно початку координат, тобто відносно точки О.

Рис. 2.1.10

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть область визначення функції:

Розв’язання

1) Обмежень для знаходження значень виразу х2 + х немає, отже, D(y) = R.

2) Область визначення функції задана обмеженням х + х ≠ 0, оскільки знаменник дробу не може дорівнювати нулю. З’ясуємо, коли х2 + х = 0. Маємо: х(х + 1) = 0, якщо х = 0 або х = -1. Тоді область визначення можна задати обмеженнями х ≠ 0, х ≠-1 або записати так:

D(y) = (-∞;-1) ⋃ (-1; 0) ⋃ (0; + ∞).

Коментар

Оскільки всі функції задано формулами, то їхні області визначення — це множини всіх значень змінної х, при яких має зміст відповідна формула, тобто вираз, який стоїть у правій частині формули y = f(x).

У курсі алгебри зустрічалися тільки два обмеження, які необхідно враховувати під час знаходження області визначення:

1) якщо вираз записано у вигляді дробу , то знаменник В ≠ 0 ;

2) якщо запис виразу містить квадратний корінь , то підкореневий вираз А ≥ 0 .

3) Область визначення функції у = задана обмеженням х + 5 ≥ 0 , тобто х ≥ - 5, оскільки під знаком квадратного кореня повинен стояти невід’ємний вираз. Отже, D(y) = [-5; + ∞).

У всіх інших випадках, які вам доводилося розглядати, областю визначення виразу були всі дійсні числа.

Приклад 2*

Знайдіть область значень функції у = х2 - 3.

Розв’язання

Складаємо рівняння х2 - 3 = а.

Воно рівносильне рівнянню х = а + 3 , яке має розв’язки, якщо а + 3 ≥ 0 , тобто при а ≥ - 3 . Усі ці числа і складуть область значень функції.

Отже, область значень заданої функції E(f) = [-3; +∞) (тобто y ≥ -3).

Коментар

Позначимо значення заданої функції f(x) (тобто х - 3 ) через а і з’ясуємо, для яких а можна знайти відповідне значення х (тобто таке значення х, при якому значення f(x) = а).

Тоді всі числа а, для яких існує хоча б один корінь рівняння f(x) = а , увійдуть до області значень функції f(x) . Множина всіх таких а і складе область значень функції f(x).

Корисно пам’ятати, що область значень функції y = f(x) збігається з множиною тих значень а, при яких рівняння f(x) = a має розв’язки.

Приклад 3*

Доведіть, що при k ≠ областю значень лінійної функції у = kx + b є множина всіх дійсних чисел.

Розв’язання

Якщо kx + b = а (де k ≠ 0), то розв’язок цього рівняння існує для будь-якого а ∈ R (k ≠ 0 за умовою).

Таким чином, значенням заданої функції може бути будь-яке дійсне число, отже, її область значень E(f) = R.

Коментар

Позначимо значення заданої функції fix) (тобто kx + b) через а і з’ясуємо, для яких а можна знайти відповідне значення х таке, що fix)-а .

Множина всіх таких значень а і буде складати область значень функції f(x) .

Приклад 4*

Доведіть, що лінійна функція у = kx + b при k > 0 є зростаючою, а при k < 0 — спадною.

Коментар

Задана функція f(x) - kx + b буде зростаючою, якщо з нерівності х2 > х1 випливатиме нерівність f (х2) > f(х,), а для доведення останньої нерівності достатньо знайти знак різниці f(х2) - f(х1). Аналогічно обґрунтовують і спадання функції.

* Надалі в курсі алгебри і початків аналізу 10 класу ми розглядатимемо нові вирази з обмеженнями: tga, ctg a, arcsina , arccosa, , аа (де а — неціле число).

Розв’язання

Нехай х2 > х1, тоді х2 - х1 > 0. Розглянемо різницю f(х2) - f(x1) = kx2 + b - (kx1 + 6) = k(x2 - x1). Оскільки х2 - х1 > 0, то при k > 0 маємо f(x2) - f(x1) > 0 , отже, f(х2) > f(х1) — функція зростає. При k < 0 маємо f(x2) - f(x1) < 0 , отже, f(х2) < f(х1) — функція спадає.

Обґрунтовуючи зростання або спадання функції, корисно пам’ятати, що для доведення нерівності f(x2) > f(x1) чи f(x2)< f(x1) достатньо знайти знак різниці f (x2) - f(x1).

Приклад 5*

Доведіть, що:

1) сума двох зростаючих на множині Р функцій завжди є зростаючою функцією на цій множині;

2) сума двох спадних на множині Р функцій завжди є спадною функцією на цій множині.

Розв’язання

1) Нехай функції f(x) і g(х) є зростаючими на одній і тій самій множині Р. Якщо х2 > х1, то f(х2) > f(х1) і g (x2) > g(x1). Додаючи почленно останні нерівності, одержуємо

f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1).

Це й означає, що сума функцій f(x) і g(x) є зростаючою функцією на множині Р.

2) Нехай функції f(x) і g(x) є спадними на множині Р. Тоді з нерівності х2 > х1 маємо: f(x2) < f(x1) і g(x2) < (x1). Після почленного до давання останніх нерівностей одержуємо:

f'(x2) + g (x2) < f(x1) + g(x1), а це й означає, що сума функцій f(x) і g(x) є спадною функцією на множині Р.

Коментар

Для доведення зростання суми двох зростаючих функцій f(x) і g(x) достатньо довести, що на множині Р з нерівності х2 > х1 випливає нерівність

f(x2) + g(x2) > f(x1) + g(x1).

Аналогічно для доведення того, що сума двох спадних функцій є спадною функцією, достатньо довести:

якщо х2 > х1, то

f(x2) + g(x2) < f(x1) + g(x1).

Приклад 6

Доведіть, що зростаюча або спадна функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Коментар

Доведемо це твердження методом від супротивного. Для цього достатньо припустити, що виконується протилежне твердження (функція може набувати одного й того самого значення принаймні у двох точках), і одержати суперечність. Це означатиме, що наше припущення неправильне, а правильним є задане твердження.

Розв’язання

Нехай функція f(x) є зростаючою і f(x1) = f(x2). (1)

Припустимо, що х1 ≠ х2 .

Якщо х1 ≠ х2, то або х1 > х2 , або х1 < х2 .

Ураховуючи зростання функції f(x), у випадку х1 > х2 маємо а(х1) > f(x2), що суперечить рівності (1).

У випадку х1 < х2 маємо f(x1) < f(x2), що також суперечить рівності (1). Отже, наше припущення неправильне і рівність

f(х1) = f(х2) можлива тільки при х12. Тобто зростаюча функція набуває кожного свого значення тільки в одній точці її області визначення.

Аналогічно доводиться твердження і для спадної функції.

Приклад 7

Дослідіть, чи є задана функція парною, непарною або ні парною, ні непарною:

Коментар

Для дослідження функції у = f(x) на парність чи непарність достатньо, по- перше, упевнитися, що область визначення цієї функції симетрична відносно точки О (разом із кожною точкою х містить і точку - х), і, по-друге, порівняти значення f(-x) i f(x) .

Розв’язання

1) Область визначення функції у = : х ≠ - 1, тобто вона не симетрична відносно точки О (точка х = 1 входить до області визначення, а х = - 1 не входить — див. рис. 2.1.11).

Рис. 2.1.11

Отже, задана функція не може бути ні парною, ні непарною.

2) Область визначення функції y = х4: D(y) — R, тобто вона симетрична відносно точки О.

f(-x) = (-х)4 = f(x), отже, функція парна.

3) Область визначення функції у = х3 + х: D(y) = R, отже, вона симетрична відносно точки О.

f(-x) = (-x)3 + (-x) = -x3 - x = -(x3 + x] = -f(x), отже, функція непарна.

Запитання

1. Сформулюйте означення числової функції. Наведіть приклади таких функцій.

2. На прикладах поясніть, що таке область визначення функції, область значень функції, найбільше і найменше значення функції на множині М. Які обмеження необхідно врахувати, щоб знайти область визначення функції

Знайдіть її область визначення.

3. Що називається графіком функції у = f(x)? Наведіть приклади.

4. Яка функція називається зростаючою? Наведіть приклади.

5. Яка функція називається спадною? Наведіть приклади.

6. Яка функція називається парною? Наведіть приклади. Як розміщено графік парної функції на координатній площині? Наведіть приклади.

7. Яка функція називається непарною? Наведіть приклади. Як розміщено графік непарної функції на координатній площині? Наведіть приклади.

Вправи

2.1.1°. Знайдіть значення функції в указаних точках:

2.1.2. Знайдіть область визначення функції, заданої формулою:

2.1.3°. Для функцій, які задано графіками (рис. 2.1.12), укажіть область визначення, область значень, найбільше і найменше значення на всій області визначення, проміжки зростання і спадання та значення кожної функції при х = 1.

Рис. 2.1.12

2.1.4. Знайдіть область значень функції, заданої формулою:

2.1.5. Обґрунтуйте, що задана функція є зростаючою (на її області визначення):

1) у = 3х; 2) у = х + 5; 3*) у = х3 ; 4*) у = х5 .

2.1.6*. Доведіть, що на заданому проміжку функція зростає:

2.1.7. Обґрунтуйте, що задана функція є спадною (на її області визначення):

1) у = -3х ; 2) у =-х - 1 ; 3*) у = -х3; 4*) y = -х5.

2.1.8*. Доведіть, що на заданому проміжку функція спадає:

2.1.9*. Доведіть, що функція у = х2 на проміжку [0; +∞) зростає, а на проміжку (-∞; 0] спадає.

2.1.1 0*. Користуючись твердженнями, доведеними у прикладі 5 до п. 2.1, визначте, чи є задана функція зростаючою або спадною.

2.1.11*. Користуючись твердженнями, доведеними у прикладі 6 до п. 2.1: 1) обґрунтуйте, що рівняння х3 + x = 10 має єдиний корінь х = 2;

2) підберіть корінь рівняння + х = 6 і доведіть, що інших коренів це рівняння не має.

2.1.12. Обґрунтуйте, що задана функція є парною:

2.1.13. Обґрунтуйте, що задана функція є непарною:

Виявіть свою компетентність

2.1.14. Медичними працівниками встановлено, що дитина віком а років (а <18) для нормального розвитку повинна спати протягом t год на добу, де t визначається за формулою f = 16 = -. Знайдіть t(16), t(15), t(14).

2.2. Побудова графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій

Таблиця 4

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Розглянемо способи побудови графіків функцій за допомогою геометричних перетворень відомих графіків функцій.

1. Побудова графіка функції у- =f(x)

Порівняємо графіки функцій у = х2 та y = -x2 (див. перший рядок табл. 4). Очевидно, що графік функції у = -х2 можна одержати з графіка функції у = х2 симетричним відображенням його відносно осі Ох. Покажемо, що графік функції у = -f(x) завжди можна одержати з графіка функції у = f(x) його симетричним відображенням відносно осі Ох.

Рис. 2.2.1

Дійсно, за означенням графік функції у = f(x) складається з усіх точок М координатної площини, які мають координати (х; у) = (х; f(x)) . Тоді графік функції y = -f(x) складається з усіх точок К координатної площини, які мають координати (х; у) = (x; -f (х)).

Точки M(х;f(х)) і K(x;-f(x)) розміщені на координатній площині симетрично відносно осі Ох (рис. 2.2.1). Отже, кожна точка К графіка функції y = -f{x) одержується симетричним відображенням відносно осі Ох деякої точки М графіка функції у - f(x) . Тому графік функції y = -f(x)

можна одержати з графіка функції у = f(x) його симетричним відображенням відносно осі Ох.

Ця властивість дозволяє легко обґрунтувати побудову графіка функції у = | f(x) |. Маємо:

Отже, графік функції y = |f(x)| може бути побудований так: частина графіка функції y = f(x), яка лежить вище від осі Ох (і на самій осі), залишається без зміни, а та частина, яка лежить нижче від осі Ох, відображується симетрично відносно цієї осі.

Наприклад, в табл. 4 (сьомий рядок) зображено графік функції у = | 2х - 1|, побудований із використанням цього правила.

Аналогічно обґрунтовуються інші геометричні перетворення графіка функції y = f(x), наведені в табл. 4 (див. інтернет-підтримку підручника).

ПРИКЛАДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Побудуйте графік функції y = .

Коментар

Ми можемо побудувати графік функції y = f(х) = .

Тоді графік функції у = = f(х + 3) = f(х-(-3)) можна одержати паралельним перенесенням графіка функції y - f (х) уздовж осі Ох на -3 одиниці (тобто вліво).

Розв’язання

Приклад 2*

Побудуйте графік функції

Коментар

Складемо план послідовної побудови графіка заданої функції. (Для того щоб можна було скористатися перетвореннями графіків, наведеними в табл. 4, підкореневий виразфункції запишемо так:

1. Ми можемо побудувати графік функції y = f(x) = .

2. Потім можна побудувати графік функції y = g(x) = = f (-x) (симетрія графіка функції f(x) відносно осі Оу).

3. Після цього можна побудувати графік функції (паралельне перенесення графіка функції g(x) уздовж осі Ох на 4 одиниці).

4. Потім уже можна побудувати графік за даної функції   (праворуч від осі Оу відповідна частина графіка функції у = φ(х) залишається без зміни, і та сама частина відображується симетрично відносно осі Оу).

Розв’язання

Запишемо рівняння заданої функції так:

Послідовно будуємо графіки:

Запитання

1. На прикладах поясніть, як можна з графіка функції y = f(x) одержати графік функції:

1) y = -f(x);

2) y = f(-x);

3) y = f(x - a);

4) y = f(x) + c;

5) у = kf (x), де k > 0 ;

6) y = f(ax), де a >0;

7) y = |f(x)|;

8) y = f(|x|).

2*. Обґрунтуйте геометричні перетворення, за допомогою яких із графіка функції y = f(x) можна одержати графіки вказаних вище функцій.

Bправи

У завданнях 2.2.1-2.2.7 побудуйте графіки функцій та рівнянь.

2.2.1.

2.2.2.

2.2.3.

2.2.4.

2.2.5.

2.2.6.

2.2.7.

2.2.8. Функція y = f(x) задана на проміжку [0;14], її графік зображений на рис. 2.2.2. Побудуйте графік функції або рівняння:

Рис. 2.2.2

Рис. 2.2.3

2.2.9. Виконайте завдання вправи 2.2.8 для функції у = f(x), заданої на проміжку [-14; 0], графік якої зображено на рис. 2.2.3.

2.3. Обернена функція

Таблиця 5

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Поняття оберненої функції

Відомо, що залежність шляху від часу для тіла, яке рухається рівномірно з постійною швидкістю v0, виражається формулою s = v0t . Із цієї формули можна знайти обернену залежність — часу відпройденого шляху:

Функцію називають оберненою до функції s(t) = v0t. Зазначимо, що в розглянутому прикладі кожному значенню t (t ≥ 0) відповідає єдине значення s і, навпаки, кожному значенню s (s ≥ 0) відповідає єдине значення t.

Розглянемо процедуру одержання оберненої функції в загальному вигляді.

Нехай функція f(x) набуває кожного свого значення в єдиній точці її області визначення (така функція називається оборотною). Тоді для кожного числа у0 = b (з області значень функції f(x)) існує єдине значення х0 = а таке, що f(a) = b. Розглянемо нову функцію g(x), яка кожному числу b з області значень функції f(x) ставить у відповідність число а, тобто g(b) = а для кожного b з області значень функції f(x). У цьому випадку функція g(x) називається оберненою до функції f(x), а функція f(x) — оберненою до функції g(x).

Обґрунтуйте самостійно властивості оберненої функції, наведені в п. 2 табл. 5, використовуючи відповідний рисунок в таблиці та інтернет-підтримку підручника.

Із курсу геометрії вам відомо поняття «обернена теорема». Спробуйте провести аналогію між поняттями «обернена функція» і «обернена теорема».

Практичний спосіб знаходження формули функції, оберненої до функції у = f(х)

Із процедури одержання оберненої функції випливає, що для отримання оберненої залежності (яка і буде задавати обернену функцію) необхідно знати, як значення х виражається через значення у. Це можна зробити, розв’язавши рівняння у = f(x) відносно змінної х. Якщо задана функція оборотна, то рівняння матиме

єдиний розв’язок для всіх у з області значень функції f(x) і ми одержимо формулу x = 8(y), яка задає обернену функцію. Але в цій формулі аргумент позначено через у, а функцію — через х. Якщо поміняти позначення на традиційні, то одержимо запис функції, оберненої до функції у = f(x).

Ці міркування разом із відповідним алгоритмом наведено в табл. 5 і реалізовано в прикладах, наведених нижче.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть функцію, обернену до функції у = x2 .

Коментар

Область значень заданої функції: у ≥ 0 . Але при у > 0 з рівності у = х2 не можна однозначно виразити х через у. Наприклад, при у = 4 одержуємо х = ±2 . Через це ми не можемо значенню у = 4: поставити у відповідність єдине число, щоб побудувати обернену функцію.

Розв’язання

Із рівності у = х2 при у ≥ 0 одержуємо x = ± .

Тоді при у > 0 одному значенню у відповідають два значення х. Отже, на всій області визначення х ∈ (-∞; +∞) функція у = х2 не є оборотною і для неї неможливо знайти обернену функцію.

Приклад 2

Знайдіть функцію, обернену до функції у = х2 при х ≥ 0.

Коментар

Область значень заданої функції: у ≥ 0 . При х ≥ 0

задана функція у = х2 зростає, отже, на проміжку х ≥ 0 вона має обернену функцію. Тому на цьому проміжку ми зможемо однозначно розв’язати рівняння х2 = у : при х ≥ 0 маємо х = .

Ця формула задає обернену функцію, але в ній аргумент позначено через у, а функцію — через х. Замінюючи позначення на традиційні, одержуємо кінцевий результат.

Розв’язання

Із рівності у = х2 при у ≥ 0 одержуємо x = ± . Ураховуючи, що за умовою х ≥ 0, маємо х = .

Позначимо аргумент через х, а функцію — через у і одержимо, що функцією, оберненою до функції у = х2, яка задана тільки при х ≥ 0, буде функція у = .

Зауваження. У прикладах 1 і 2 ми фактично розглядаємо різні функції (вони мають різні області визначення), хоча в обох випадках ці функції задаються однією й тією самою формулою. Як відомо, графіком функції у = х2 (приклад 1) є парабола, а графіком функції у = х2 при х ≥ 0 (приклад 2) стільки права вітка цієї параболи (рис. 2.3.1).

Рис. 2.3.1

Запитання

1. За якої умови для заданої функції y = f(x) можна побудувати обернену функцію?

2. Поясніть побудову графіка оберненої функції на прикладі функції y = f(x), яка задана табл. 1. Задайте функцію y = g(x), обернену до функції y = f(x), за допомогою табл. II.

3. Як розміщено графіки прямої і оберненої функцій, якщо їх побудовано в одній системі координат? Проілюструйте на прикладі.

4. Обґрунтуйте взаємне розміщення графіків прямої і оберненої функцій.

5. Чи існує функція, обернена до функції у = х2 , де х ≤ 0 ? Поясніть це, спираючись на відповідні властивості оберненої функції. Якщо обернена функція існує, задайте її формулою виду y = g(x).

Bправи

2.3.1. Запишіть формулу, яка задає функцію y = g(x), обернену до заданої. Укажіть область визначення і область значень функції g(x):

2.3.2. На одному рисунку побудуйте графік даної функції та функції, оберненої до даної:

2.3.3. Знайдіть функцію, обернену до даної на заданому проміжку, і побудуйте на одному рисунку графіки даної функції та функції, оберненої до неї:

Виявіть свою компетентність

2.3.4. Вартість поїздки в таксі включає оплату подання автомобіля 25 грн та вартість пройденої відстані в розмірі 5 грн за кожний кілометр.

1) Складіть функцію, яка визначає вартість поїздки в таксі залежно від пройденої відстані.

2) Знайдіть вартість поїздки, якщо пасажир проїхав 30 км.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити