Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§29 ОСНОВНІ ВЛАСТИВОСТІ ГРАНИЦІ ФУНКЦІЇ

29.1. Доведення основних теорем про границі

Таблиця 42

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Знаходження границі функції в точці за означенням

Проілюструємо застосування означення границі функції в точці, наведеного в табл. 42, до обґрунтування того, що границя функції f(x) при х, що прямує до а, дорівнює В. У найпростіших випадках таке обґрунтування проводять за схемою:

1) для довільного додатного числа є розглядають нерівність |f(х) - В| < ε;

2) при всіх значеннях х ≠ а з деякого околу точки а з цієї нерівності одержують нерівність |х - а| < δ;

3) пояснюють (спираючись на рівносильність виконаних перетворень нерівності або на властивості нерівностей), що при одержаному значенні 5 (яке записують через є) з нерівності | х - а | < δ (при х ≠ а) випливає нерівність | f (х) - В | < ε;

4) використовуючи означення границі функції в точці а, роблять висновок:

Приклад 1

Використовуючи означення границі функції, перевірте, що

Розв’язання

Нехай f(x) = 2x + 3 і ε —деяке додатне число (ε > 0). Розглянемо нерівність |f(x) - 7| < ε (1)

і знайдемо таке число δ > 0, щоб за умови |х - 2 | < δ виконувалася нерівність (1).

Оскільки | f(x) - 7| = | (2х + 3) - 7| = | 2х - 4 | = | 2(х - 2) | = 2 | х - 2|, то нерівність |f(x) - 7| < ε рівносильна нерівності 2| х - 2 | < ε , яка, у свою чергу, рівносильна нерівності

Тому якщо обрати = , то за умови | х - 2 | < δ буде виконуватися нерівність | (2х + 3) - 7 | < ε , а це й означає, що

Зауваження. Як бачимо, вибір δ залежить від заданого значення ε. Щоб підкреслити цей факт, іноді записують δ = δ(ε).

Зазначимо, що точка а, у якій розглядають границю, може належати області визначення функції f(x) (як у прикладі 1), а може і не належати їй (як у прикладі 2).

Приклад 2

Доведіть, що

Розв’язання

Нехай і ε > 0 . Тоді на області визначення функції f(x) (при х ≠ 3) маємо

Якщо обрати δ = ε, то одержимо, що | f(x) - 6 | = | (х + 3) - 6 | = | х -3| < ε , як тільки | x - 3| < δ.

Тому згідно з означенням границі

Приклад 3

Доведіть, що границя станої функції дорівнює тій самій станій.

Розв’язання

Нехай f(x) = c для всіх х із деякого околу точки а. Тоді для будь-якого ε > 0:

| f(x) - с | = | с - с | = 0 < ε для всіх х з обраного околу точки а. Тому

Приклад 4

Доведіть, що

Розв’язання

Нехай f(x) = x і вибране деяке додатне число ε. Якщо взяти δ = ε > 0, одержимо, що |f (х) - а| = |х - а| < ε , як тільки | х - а | < δ. Отже, за означенням границі

Приклад 5

Доведіть, що

Розв’язання

Нехай f(x) = x2 і обрано деяке додатне число ε. Якщо взяти = > 0, одержимо, що | f (х) - 0 | = | х2| < ε , як тільки |х - 0 | = | x | < δ . Тому за означенням границі

Основні теореми про границі функції. Поняття нескінченно малої функції при х → а

За допомогою означення границі функції можна довести також теорему про границю суми двох функцій.

Теорема. Границя суми двох функцій дорівнює сумі їх границь, якщо границі доданків існують:

Задамо ε > 0. Якщо lіmf(х) = А, то знайдеться таке число що при |x - a| δ1 (крім, можливо, х = а) виконується нерівність

|f(x) — A| < . (1)

Аналогічно, якщо то знайдеться таке число δ2 > 0, що при | х - а | < δ2 (крім, можливо, х = а) виконується нерівність

(2)

Якщо вибрати як число δ найменше з чисел δ1 і δ2 (це можна позначити так: S = min{δ1; δ2}), то ми виберемо спільну частину обох околів точки а, і при | х - а | < δ (крім, можливо, х = а) будуть виконуватися обидві нерівності (1) і (2). Тоді, ураховуючи означення границі функції та обґрунтовану в п. 1.2 нерівність |а + b| ≤ |а | + |b| (модуль суми не перевищує суми модулів доданків), одержуємо

А це й означає, що

Для доведення властивостей границі добутку і частки функцій зручно ввести поняття нескінченно малої функції.

Означення. Функція f(x), визначена в деякому околі точки а, називається нескінченно малою функцією при х, що прямує до а, якщо

Наприклад,

(див. приклад 4), отже, f(x) = x — нескінченно мала функція при х → 0;

2) (див. приклад 5), отже, f(x) = x2 — нескінченно мала функція при х → 0.

Зауваження. Якщо то це еквівалентно тому, що f(x) = A + a(x), де а(х) — нескінченно мала функція при х → а .

• Дійсно, якщо розглянути функцію

а (х) = f(x) - А, (3)

то

А це й означає, що функція

а(х) є нескінченно малою при х → а. Але тоді з рівності (3) одержуємо, що f(x) = A + а(х), де а(х) — нескінченно мала функція при х → а .

Властивості нескінченно малих функцій

1. Якщо функції а(х) і β(х) нескінченно малі при х → а, то їх сума а(х) + β(х) і добутки а(х) β(х) і с ∙ а(х) (де c = const) теж є нескінченно малими функціями при х → а.

2. Якщо функція р(х) нескінченно мала при х → а і для всіх х, які задовольняють умову |х - а| < δ (крім, можливо, х = а), виконується нерівність | а(х) | ≤ | β(х) |, то функція а(х) теж нескінченно мала при х → а.

Доведіть ці властивості самостійно (перевірити правильність доведення ви можете, звернувшися до інтернет-підтримки підручника).

Доведемо теорему про границю добутку.

Якщо то це еквівалент но тому, що f(x) -= A + а(х), де а(х) — нескінченно мала функція при х → а .

Аналогічно, якщо то це еквівалентно тому, що g(x) = B + β(х), де β(х) — нескінченно мала функція при х → а. Тоді f(х)g(х)= (А + а(х))(B + β(х)) = А ∙ В + Аβ (х) + Ва (х) + а (х) β (х).

Ураховуючи властивості нескінченно малих функцій, одержуємо, що функція φ(х) = Аβ(х) + Ва(х) + a(х)β(х) — нескінченно мала.

Отже, f(x) ∙ g(x) = AB + φ(x), де φ(х) — нескінченно мала функція, а це й означає, що тобто

Границя добутку двох функцій дорівнює добутку їх границь, якщо границі множників існують.

Використовуючи метод математичної індукції, правила обчислення границі суми і добутку можна узагальнити для довільної кількості доданків або множників.

За правилом обчислення границі добутку одержуємо:

Отже,

тобто сталий множник можна виносити за знак границі.

Границя частки двох функцій дорівнює частці їх границь, якщо границі чисельника й знаменника існують і границя знаменника не дорівнює нулю.

Із доведенням цієї теореми та інших властивостей границь функцій і практичними прийомами обчислення границь функцій можна ознайомитися, звернувшися до інтернет- підтримки підручника.

Приклад 6

Знайдіть

Розв’язання

Застосовуючи теореми про границі суми, різниці та добутку, одержуємо:

Відповідь: 4.

29.2. Односторонні границі

В означенні границі функції в точці, наведеному в п. 29.1, аргумент х набуває всіх значень із δ-околу точки а (крім, можливо, х = а) як ліворуч, так і праворуч від а.

Якщо при знаходженні границі розглядати значення х тільки ліворуч від точки а, то таку границю називають лівою, або лівосторонньою, і позначають або f(a - 0). Якщо розглядати значення х тільки праворуч від точки а, то таку границю називають правою, або правосторонньою, і позначають або f(a + 0).

Лівосторонні та правосторонні границі називають односторонніми. Коли розглядають односторонні границі в точці х = 0 (при х → 0), запис спрощують і записують для лівосторонньої границі або f(-0), а для правосторонньої границі — або f(+0).

Означення. Число В+ , називається правосторонньою границею функції f(x) у точці а, якщо для довільного числа є>0 знайдеться таке число δ > 0, що для всіх х з області визначення функції, які задовольняють умову а < х < а + δ , виконується нерівність

| f(x)- B+ | < ε. (1)

Аналогічно дають означення числа

як лівосторонньої

границі функції f(x) у точці а. Тут нерівність

| f(х) - В_ | < ε (2)

має виконуватися для всіх х із лівої частини δ-околу точки а, тобто при а - δ < х < а.

Зазначимо зв’язок між односторонніми границями та границею функції в деякій точці а.

• Якщо число В є границею функції fix) при х → а, то нерівність

f(x) - B | < ε (3)

справедлива для всіх значень х із δ -околу точки а (х ≠ а). Тоді ця нерівність справедлива для всіх значень х із лівої половини вказаного δ-околу і для всіх х з її правої половини, тобто існують лівостороння і правостороння границі в точці а, і ці границі дорівнюють В. Тому якщо то тобто В_=В+ = В. Справедливе й обернене твердження: якщо виконується рівність В_=В+= В, то

Дійсно, якщо В_=В+=В, то нерівність (1), яка визначає існування правосторонньої границі функції, виконується і зліва від точки а (згідно з нерівністю (2)). Але тоді нерівність (1) фактично перетворюється на нерівність (3), і тому

У зв’язку з цим можна сформулювати такий критерій.

Критерій існування границі. Для того щоб у точці х = а існувала границя В функції f(x), необхідно і достатньо, щоб у цій точці існувала лівостороння границя функції fix), тобто B_= f(a - 0), і правостороння границя функції f(x), тобто B+ = f(a + 0), і щоб вони дорівнювали одна одній: В_ = В+ = В, при цьому

Приклад 7

З’ясуйте існування границі в точці 2 для функції

Розв’язання

Задана функція визначена на всій числовій прямій. Знайдемо односторонні границі цієї функції в точці х = 2.

(див. приклад 1 до п. 29.1);

(див. приклад 3 до п. 29.1).

Отже, f(2 - 0) ≠ f(2 + 0), тому задана функція не має границі в точці х = 2 і не є неперервною в цій точці. (Графік функції зображено на рис. 29.2.1.)

Рис. 29.2.1.

29.3. Границя відношення при х 0

Цю границю зазвичай називають першою чудовою границею, її часто доводиться використовувати при знаходженні границь тригонометричних функцій.

Теорема.

• Доведення. Можна вважати, що х набуває тільки додатних значень. Це випливає з того, що функція є парною функцією, оскільки

Рис. 29.3.1

Оскільки х → 0, то, починаючи з деякого значення, х потрапляє в першу чверть. Тому можна вважати, що 0 < х < .

На рис. 29.3.1 зображено одиничне коло, на якому відкладено кут в х радіан і проведено лінію тангенсів CD. Ураховуючи означення синуса і тангенса через одиничне коло, одержуємо АВ = sin х, CD = tgx. Порівняємо площі трикутників ОВС, ODC і сектора ОВС. Ці площі задовольняють нерівність

(1)

Оскільки

а площа кругового сектора ОВС:

то, підставляючи ці значення в нерівність (1), одержуємо

sinx ≤ x ≤ tgx. (2)

Оскільки 0 < х < , то sinx > 0 (і cosx > 0). Тому, поділивши нерівність (2) на sinx, одержимо:

Звідси (ураховуючи парність функцій cosx та , одержуємо, що ця нерівність виконується і при - . < х < 0).

Але (функція cosx — неперервна). Тоді за теоремою про границю проміжної функції маємо

Крім границі часто використовують деякі її варіації (див. інтернет- підтримку підручника та вправу 29.7).

29.4. Границя функції на нескінченності. Нескінченна границя функції. Границя послідовності

Під час вивчення функцій часто виникає потреба знайти границю функції на нескінченності, тобто таке число В (якщо воно існує), до якого прямує функція f(x) при необмеженому зростанні аргумента х або коли х, збільшуючись за абсолютною величиною, залишається від’ємним.

Розглянемо функцію

Очевидно, що зі збільшенням х знаменник дробу збільшується, і тому значення дробу стає як завгодно малим за абсолютною величиною. Отже, значення функції f(x) при дуже великих значеннях аргумента х мало відрізняється від числа 2. У цьому випадку говорять, що функція f(x) має своєю границею число 2 при х → ∞, і пишуть:

Означення. Нехай функція f(x) визначена на всій числовій прямій (або при всіх досить великих за модулем значеннях х). Число В називається границею f(x) при x → ∞, якщодля довільного числа ε > 0 знайдеться таке число М > 0, що для всіх х, які задовольняють умову | х | > М , виконується нерівність | f(x) - В |< ε .

У цьому випадку пишуть:

Поведінка функції f(x) може бути різною при х → -∞ та при х →+∞. Тому при дослідженні властивостей функції іноді розглядають окремо

Ці границі означають аналогічно до означення тільки умову | х | > М замінюють відповідно на х < -М і х > М.

Крім розглянутих скінченних границь функції f(x) при х → а (або при х → ∞), використовують також поняття нескінченної границі. Наприклад, функція

яка визначена для всіх х ≠ p0 (рис. 29.4.1), набуває яких завгодно великих значень при х → 0. Тоді говорять, що функція в точці х = 0 має нескінченну границю і пишуть:

Означення. Будемо вважати, що якщо для довільного числа М > 0 існує таке число δ > 0 , що для всіх х, які задовольняють умову | x - а | < δ (х ≠ а), виконується нерівність | f(x) | > М .

Рис. 29.4.1

Границя послідовності

Досить поширеними в курсі математики є нескінченні послідовності, тобто функції у = f(n), задані на множині натуральних чисел N. Щоб підкреслити, що аргумент такої функції набуває значень тільки з множини натуральних чисел, його позначають не х, а n. Для послідовності f(n) часто виникає необхідність знайти її границю при необмеженому зростанні аргумента n (n → +∞). Означення цієї границі в основному аналогічне означенню границі функції на нескінченності.

Означення. Число В називається границею послідовності f(n), якщо для довільного числа > 0 існує таке число М > 0, що для всіх n > М виконується нерівність |f(n) - В | < ε.

Для границь послідовності виконуються всі відомі вам теореми про границі (тільки в їх формулюваннях слово «функція» замінюється на слово «послідовність»).

Приклад 1

Знайдіть границю

Розв’язання

Винесемо за дужки в чисельнику й знаменнику найвищий степінь змінної та скоротимо чисельник і знаменник на х3. Тоді

Відповідь: -2.

Запитання

1. Дайте означення границі функції в точці. Сформулюйте і доведіть основні теореми про границю.

2. Дайте означення нескінченно малої функції при х → а. Сформулюйте і доведіть властивості нескінченно малих функцій.

3. Сформулюйте і доведіть першу чудову границю.

4. Дайте означення правосторонньої і лівосторонньої границь функції f(x) у точці а та границі функції на нескінченності.

Bправи

29.1. Користуючись означенням границі функції, доведіть справедливість рівності:

29.2*. Користуючись означенням границі послідовності, доведіть справедливість рівності:

29.3. Користуючись теоремами про границі, доведіть, що:

1) многочлен Р(х) є неперервною функцією при всіх значеннях х;

2) раціональна функція неперервна при всіх значеннях х, для яких її знаменник не дорівнює нулю.

29.4. У яких точках має розрив функція (відповідь обґрунтуйте):

У завданнях 29.5, 29.6 обчисліть границю.

29.5.

29.6.

29.7*. Користуючись першою чудовою границею, доведіть її варіації:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити