Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§31 ПОНЯТТЯ ПОХІДНОЇ, ЇЇ ФІЗИЧНИЙ І ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ

Таблиця 44

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Поняття приросту аргумента і приросту функції

Часто нас цікавить не значення якоїсь величини, а її приріст. Наприклад, сила пружності пружини пропорційна до видовження пружини; робота — це зміна енергії тощо.

Приріст аргумента чи функції традиційно позначають великою літерою грецького алфавіту ∆ (дельта). Дамо означення приросту аргумента і приросту функції.

Нехай х — довільна точка, що лежить у деякому околі фіксованої точки х0 з області визначення функції f(x).

Означення. Різниця х - х0 називається приростом незалежної змінної (або приростом аргумента) у точці х0 і позначається ∆х (читають: «дельта ікс»):

∆х = х - х0.

З цієї рівності маємо

х = х0 + ∆х, (1)

тобто початкове значення аргумента х0 набуло приросту ∆х. Зауважимо, що при ∆х > 0 значення х більше за х0, а при ∆х < 0 — менше за х0 (рис. 31.1).

Тоді, при переході аргумента від точки х0 до точки х, значення функції змінилося на величину ∆f = f(x) - f(x0).

Ураховуючи рівність (1), одержуємо, що функція змінилася на величину

∆f = f (х0 + ∆х) = f(х0) (2)

(рис. 31.2), яку називають приростом функції f у точці х0 що відповідає приросту аргумента ∆х (символ ∆f читають: «дельта еф»).

Рис. 31.1

Із рівності (2) маємо f(х0 + ∆х) = f(х0) + ∆f.

При фіксованому х0 приріст ∆f є функцією від приросту ∆х.

Якщо функція задана формулою уf = f(x), то ∆ називають також приростом залежної змінної у і позначають через ∆у.

Наприклад, якщо у = f(x) = х2, то приріст ∆у, що відповідає приросту ∆х, дорівнює

Запис неперервності функції через прирости аргумента і функції

Нагадаємо, що функція f(x) є неперервною в точці х0, якщо при х → х0 f(х) → f(х0), тобто

Але якщо х → х0, то х - х0 → 0, тобто ∆х → 0 (і навпаки, якщо ∆х → 0, то х - х0 0, тобто х → х0), отже, умова х → х0 еквівалентна умові ∆х →0. Аналогічно твердження f(х) →f(х0) еквівалентне умові f(х) - f(х0) → 0, тобто ∆f → 0. Отже, функція f(x) буде неперервною в точці х0 тоді і тільки тоді, коли при ∆x → 0 ∆f → 0, тобто малій зміні аргумента в точці х0 відповідають малі зміни значень функції. Саме через цю властивість графіки неперервних функцій зображають неперервними (нерозривними) лініями на кожному з проміжків, що цілком входить до області визначення.

Рис. 31.2

3. Задачі, які приводять до поняття похідної

1) Миттєва швидкість руху точки вздовж прямої

Розглянемо задачу, відому з курсу фізики, — рух точки вздовж прямої. Нехай координата х точки в момент часу t дорівнює x(t). Як і в курсі фізики, будемо вважати, що рух відбувається неперервно (як це ми спостерігаємо в реальному житті). Спробуємо за відомою залежністю x(t) визначити швидкість, з якою рухається точка в момент часу t0 (так звану миттєву швидкість). Розглянемо відрізок часу від t0 до t = t0 + ∆t (рис. 31.3). Визначимо середню швидкість на відрізку [t0; t0 + ∆t] як відношення пройденого шляху до тривалості руху:

Для того щоб визначити миттєву швидкість точки в момент часу t0, візьмемо відрізок часу завдовжки ∆t, обчислимо середню швидкість на цьому відрізку та почнемо зменшувати відрізок ∆t до нуля (тобто зменшувати відрізок [t0; t] і наближати t до t0). Ми помітимо, що значення середньої швидкості при наближенні ∆t до нуля буде наближатися до деякого числа, яке й уважають значенням швидкості в момент часу t0. Інакше кажучи, миттєвою швидкістю в момент часу t0 називають границю відношення , якщо ∆t → 0:

2) Дотична до графіка функції

Наочне уявлення про дотичну до кривої можна отримати, виготовивши криву з цупкого матеріалу (наприклад, із дроту) і прикладаючи до кривої лінійку у вибраній точці (рис. 31.4). Якщо ми зобразимо криву на папері, а потім будемо вирізати фігуру, обмежену цією кривою, то ножиці теж будуть напрямлені по дотичній до кривої.

Спробуємо наочне уявлення про дотичну виразити точніше.

Нехай задано деяку криву і точку М на ній (рис. 31.5). Візьмемо на цій кривій іншу точку N і проведемо пряму через точки М і N. Таку пряму зазвичай називають січною. Почнемо наближати точку N до точки М. Положення січної MN буде змінюватися, але при наближенні точки N до точки М почне стабілізуватися.

Означення. Дотичною до кривої в даній точці М називається граничне положення січної MN.

Для того щоб записати це означення за допомогою формул, будемо вважати, що крива — це графік функції у = f(x), а точка М на графіку задана координатами (x0; y0) = (x0; f(x0)). Дотичною є деяка пряма, яка проходить через точку М (рис. 31.6). Щоб побудувати цю пряму, достатньо знати кут φ нахилу дотичної* до осі Ох.

* Будемо розглядати невертикальну дотичну (φ ≠ 90°).

Рис. 31.4

Рис. 31.5

Рис. 31.6

Нехай точка N (через яку проходить січна MN) має абсцису х0 + ∆х. Якщо точка N, рухаючись по графіку функції у = f(x), наближається до точки М (це буде при ∆х → 0), то величина кута NMT наближається до величини кута φ нахилу дотичної МА до осі Ох. Оскільки

то при ∆х → 0 значення tg ∠NMT наближається до tgφ, тобто

Фактично ми прийшли до задачі, яку розглядали при знаходженні миттєвої швидкості: тут потрібно знайти границю відношення виразу виду (де y = f(x) — задана функція) при ∆х → 0. Одержане у такий спосіб число називають похідною функції у = f(x) у точці х0.

4. Означення похідної

Означення. Похідною функції у = f(x) у точці х0 називаєтся границя відношення приросту функції в точці х0 до приросту аргумента, коли приріст аргумента прямує до нуля.

Похідну функції у = f(x) у точці х0 позначають f'(х0) (або y'(x0)) і читають: «еф штрих у точці х0».

Коротко означення похідної функції у = f(x) можна записати так:

Ураховуючи означення приросту функції у = f(x) у точці х0, що відповідає приросту ∆х, означення похідної можна також записати:

Функцію f(x), що має похідну в точці х0, називають диференційовною в цій точці. Якщо функція fix) має похідну в кожній точці деякого проміжку, то кажуть, що ця функція диференційовна на цьому проміжку. Операцію знаходження похідної називають диференціюванням.

Для знаходження похідної функції у = f(x) за означенням можна користуватися такою схемою:

1. Знайти приріст функції ∆у = f(х0 + ∆х) - f(х0), який відповідає приросту аргумента ∆х.

2. Знайти відношення .

3. З’ясувати, до якої границі прямує відношення при ∆х → 0. Це і буде похідна заданої функції.

5. Похідні деяких елементарних функцій

Обґрунтуємо, користуючись запропонованою схемою знаходження похідної функції, формули, наведені в п. 5 табл. 44.

1. Обчислимо похідну функції у = с (тобто f(x) = c), де с — стала.

• 1) Знайдемо приріст функції, який відповідає приросту аргумента ∆х :

∆y = f(х0 + ∆х) - f(х0) = с - с = 0.

2) Знайдемо відношення

3) Оскільки відношення постійне і дорівнює нулю, то і границя цього відношення при ∆х → 0 теж дорівнює нулю. Отже, у' = 0, тобто с' = 0.

2. Обчислимо похідну функції у = х (тобто f(x) = x).

3) Оскільки відношення постійне і дорівнює 1, то і границя цього відношення при ∆х → 0 теж дорівнює одиниці. Отже, у' = 1 , тобто х' = 1.

3. Обчислимо похідну функції у = х2 (тобто f(х) = х2).

3) При ∆х → 0 значення = 2х0 + ∆х → 2х0. Це означає, що y(x0) = 2х0. Тоді похідна функції у = х2 у довільній точці х дорівнює у'(х) = 2х . Отже, (х2) = 2х.

4. Обчислимо похідну функції у = (тобто f(x)= ).

3) При ∆х → 0 значення х0 + ∆х → х0.

Тоді

Це означає, що

Тоді похідна функції у = у довільній точці х з її області визначення (при х ≠ 0)

Отже,

5. Обчислимо похідну функції y = (тобто f(x) = ).

1)

Помножимо і поділимо одержаний ви раз на суму та запишемо ∆y так:

3) При ∆х → 0 значення х0 + ∆х → х0.

Тоді

Це означає, що (звичайно, при х0 0). Тоді похідна функції y = у довільній точці х з її області визначення, крім х = 0 (тобто при х > 0),

Отже,

6. Геометричний зміст похідної та рівняння дотичної до графіка функції у = f(x)

Ураховуючи означення похідної функції у = f(x), запишемо результати, одержані при розгляді дотичної до графіка функції (рис. 31.7).

Як було обґрунтовано вище, тангенс кута φ нахилу дотичної в точці М з абсцисою х0 (рис. 31.7) обчислюють за формулою

З іншого боку,

Тоді f"(х0) = tgφ.

Нагадаємо, що в рівнянні прямої y = kx + b кутовий коефіцієнт k дорівнює тангенсу кута φ нахилу прямої до осі Ох. Якщо k — кутовий коефіцієнт дотичної, то k = tgφ = f' (x0). Отже, значення похідної в точці х0 дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної до графіка функції в точці з абсцисою х0 і дорівнює кутовому коефіцієнту цієї дотичної (кут відлічують від додатного напрямку осі Ох проти годинникової стрілки).

Отже, якщо y — kx + b — рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці М з координатами (х0;f(х0)) і k = f'(х0), то y = f'(x0)x + b. Оскільки дотична проходить через точку M(х0;f(х0)), то її координати задовольняють останнє рівняння, тобто f(x0) = f'(x0)x0 + b. Звідси знаходимо b = f(x0) - f'(x0)x0, і записуємо рівняння дотичної:

y = f'(х0)х + f(х0) - f'(х00.

Його зручно записати у вигляді:

y = f(x0) + f'(x0)(x - x0).

Риг . 31

Це рівняння дотичної до графіка функції y = f(х) у точці з абсцисою х0.

Зауваження. Кут ф, який утворює невертикальна дотична до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х0 з додатним напрямком осі Ох, може бути нульовим, гострим або тупим. Ураховуючи геометричний зміст похідної, одержуємо, що у випадку, коли f'(х0) > 0 (tgφ > 0), кут φ буде гострим, а у випадку, коли f'(х0) < 0 (tgφ < 0)

, кут φ буде тупим. Якщо f'(х0) = 0 (tgφ = 0), то φ = 0 (тобто дотична паралельна осі Ох). І навпаки, якщо дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0 утворює з додатним напрямком осі Ох гострий кут φ, то f'(х0) > 0, якщо тупий кут — тоf'(х0) < 0, а якщо дотична паралельна осі Ох або збігається з нею (φ = 0), то f'(х0) = 0.

Якщо ж дотична утворює з віссю Ох прямий кут (φ = 90°), то функція fix) похідної в точці х0 не має (tg90° не існує).

7. Фізичний зміст похідної

Записуючи означення похідної в точці t0 для функції x(t):

і співставляючи одержаний результат із поняттям миттєвої швидкості прямолінійного

Руху:

можна зробити висновок, що похідна характеризує швидкість зміни функції при зміні аргумента.

Зокрема, похідна за часом є мірою швидкості зміни відповідної функції, що може застосовуватися до найрізноманітніших фізичних величин. Наприклад, миттєва швидкість vнерівномірного прямолінійного руху є похідною від функції, яка виражає залежність пройденого шляху s від часу t; а прискорення а — похідною від функції, яка виражає залежність швидкості v від часу t.

Якщо s = s(t) — залежність пройденого шляху від часу, то v = s'(t) — швидкість прямолінійного руху (v = v(f)), a = v'(t) — прискорення прямолінійного руху.

8. Зв’язок між диференційовністю і неперервністю функції

• Якщо функція у = f(x) диференційовна в точці х0, то в цій точці існує її похідна тобто при ∆х → 0 значення

Для обґрунтування неперервності функції у = f(x) достатньо обґрунтувати, що при ∆х → 0 значення ∆у → 0.

Справді, при ∆х → 0 одержуємо:

А це й означає, що функція у= f(x) — неперервна. Отже, якщо функція f(x) диференційовна в точці х0, то вона неперервна в цій точці.

Із цього твердження випливає: якщо функція f(x) диференційовна на проміжку (тобто в кожній його точці), то вона неперервна на цьому проміжку.

Зазначимо, що обернене твердження неправильне. Функція, яка неперервна на проміжку, може не мати похідної в деяких точках цього проміжку.

Наприклад, функція у = |х| (рис. 31.8) неперервна при всіх значеннях х, але не має похідної в точці х = 0. Дійсно, якщо х0 = 0 і y = f(x) = |x|, то

Тому при ∆х → 0 відношення не має границі, а отже, і функція y = |х| не має похідної в точці 0.

Зауваження. Той факт, що неперервна функція f(x) не має похідної в точці х0, означає, що до графіка цієї функції в точці з абсцисою х0 не можна провести дотичної (або відповідна дотична перпендикулярна до осі Ох).

Графік у цій точці може мати злом (рис. 31.8), а може мати значно складніший вигляд .

Наприклад, до графіка неперервної функції (рис. 31.9) у точці М з абсцисою х = 2 не можна провести дотичну (а отже, ця функція не має похідної в точці 2). Дійсно, за означенням дотична — це граничне положення січної. Якщо точка N наближатиметься до точки М по лівій частині графіка, то січна MN набуде граничного положення МА. Якщо ж точка К буде наближатися до точки М по правій частині графіка, то січна МК займе граничне положення MB. Але це дві різні прямі, отже, у точці М дотичної до графіка даної функції не існує.

Рис. 31.8

Рис. 31.9

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть тангенс кута φ нахилу дотичної, проведеної до графіка функції y = f(x) у точці з абсцисою х0, до осі Ох, якщо:

Розв’язання

1) За геометричним змістом похідної tgφ = f’(x0). Ураховуючи, що одержуємо:

Отже, t1gφ = f'() = -1.

2) Оскільки то

За геометричним змістом похідної tg φ = f(x0).

Отже, tgφ = 0,1.

Коментар

За геометричним змістом похідної f'(x0) = tgφ, де φ — кут нахилу дотичної, проведеної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0, до осі Ох. Тому для знаходження tgφдостатньо знайти похідну функції f(x) , а потім значення похідної в точці х0.

Для знаходження похідних заданих функцій скористаємося формулами відповідних похідних, наведеними в п. 5 табл. 44 (та обґрунтованими в п. 5 цього параграфа).

У подальшому під час розв’язування задач ми будемо використовувати ці формули як табличні значення.

Приклад 2

Використовуючи формулу запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = у точці з абсцисою х0 = .

Коментар

Рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0 у загальному вигляді записують так:

y = f(x0) + f'(x0)(x - x0).

Щоб записати це рівняння для заданої функції, потрібно знайти значення f(x0), похідну f(x) і значення f'(x0). Для виконання обчислень зручно позначити задану функцію через f(x) та використати табличне значення похідної:

Розв’язання

Якщо

Тоді

Підставляючи ці значення в рівняння дотичної y = f(x0) + f'(x0)(x - x0), одержуємо y = 2 — 4 (x - ), тобто у = -4X + 4 — шукане рівняння дотичної.

Запитання

1. Поясніть на прикладах і дайте означення приросту аргумента й приросту функції в точці х0.

2. Охарактеризуйте поняття неперервності функції в точці, користуючись поняттями приросту аргумента і функції.

3. Поясніть, як можна обчислити миттєву швидкість матеріальної точки під час руху вздовж прямої.

4. Поясніть, яку пряму вважають дотичною до графіка функції.

5. Поясніть, як можна визначити тангенс кута φ нахилу дотичної до осі Ох.

6. 1) Дайте означення похідної. Як позначають похідну функції f у точці х0?

2) Опишіть схему знаходження похідної функції у = f(x).

7. 1) Запишіть, чому дорівнює похідна функції:

а) с (де с — стала);

2) Обґрунтуйте формули для знаходження похідних функцій, наведених у п. 1.

8. Що таке похідна з геометричної та фізичної точок зору?

9. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці 3 абсцисою х0.

10. Поясніть і обґрунтуйте зв’язок між диференційовністю і неперервністю функції.

Вправи

31.1°. Для функції у = 2х знайдіть приріст ∆у, який відповідає приросту аргумента ∆х у точці х0, якщо:

1) х0 = 2 і ∆х = 3; 2) х0 = 1,5 і ∆х = 3,5; 3) х0 = 0,5 і ∆х = 2,5.

31.2. Знайдіть приріст ∆у, який відповідає приросту аргумента ∆х у точці х0 для функції:

1) у =3х; 2) у = х3; 3) у = х2-х; 4) у = х + .

31.3. Закон руху матеріальної точки по прямій задано формулою x = x(f), де х — координата точки в момент часу t. Знайдіть:

1) середню швидкість руху точки на відрізку [2; 4];

2) миттєву швидкість руху точки при t = 2, якщо:

a) x(t)-3t + 4; б) x(t) = -2t + 1; в) x(t) = 5t - 7; r) x(t) = -3t - 2.

31.4. Користуючись схемою обчислення похідної, наведеною в п. 4 цього параграфа, знайдіть похідну функції:

1) у = 3х; 2) у= -5х; 3*) у = х3; 4") у = х2 - 2х.

31.5°. На рис. 31.10, а-г зображено графік функції у = f(x) та дотичні до нього в точках з абсцисами х1 і х2. Користуючись геометричним змістом похідної, запишіть значення f’,1) і f'(х2).

Рис. 31.10

31.6. Використовуючи формули, наведені в п. 5 табл. 44, та геометричний зміст похідної, запишіть кутовий коефіцієнт дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0, якщо:

31.7. Використовуючи формулу (х2)' = 2х, запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2 у точці з абсцисою х0, якщо:

1) х0 = 1; 2) х0 = 0; 3) х0 = 0,5; 4) х0 = -3.

Зобразіть графік даної функції та відповідну дотичну.

31.8. Використовуючи формулу запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = у точці з абсцисою х0, якщо:

1) х0 = 1; 2) х0 = 0,25; 3) х0 = 4; 4) х0 = 9.

31.9. Використовуючи фізичний зміст похідної, знайдіть швидкість тіла, яке рухається за законом s = s(t), у момент часу t, якщо:

31.10. На рис. 31.11 зображено графік функції у = f(x) на проміжку [-4; 7]. Використовуючи геометричний зміст похідної, укажіть

на проміжку (-4; 7):

1) значення аргумента, у яких похідна f'(x) дорівнює нулю;

2) значення аргумента, у яких похідна f'(x) не існує. Чи існує в кожній точці зі знайденими абсцисами дотична до графіка функції у = f(x)?

3*) проміжки, у яких похідна f'(x) додатна. Охарактеризуйте поведінку функції на кожному з цих проміжків;

4*)проміжки, у яких похідна f'(x) від’ємна. Охарактеризуйте поведінку функції на кожному з цих проміжків.

Виявіть свою компетентність

31.11. Закон руху матеріальної точки задано графіком залежності шляху s від часу t (рис. 31.12).

1) Знайдіть середню швидкість точки з моменту часу t = 2 до t = 3.

2) Порівняйте швидкості точки в моменти часу t1 = 2 і t2 = 3.

3) Чи змінювала точка напрям руху? Якщо змінювала, то в який момент часу?

Рис. 31.11

Рис. 31.12





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити