Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§32 ПРАВИЛА ОБЧИСЛЕННЯ ПОХІДНИХ. ПОХІДНА СКЛАДЕНОЇ ФУНКЦІЇ

Таблиця 45

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Правила диференціювання

Використовуючи означення похідної, у п. 5 § 31 було знайдено похідні деяких елементарних функцій: с' = 0 (с — стала), (х)' =1,  

Для знаходження похідних у складніших випадках доцільно пам’ятати спеціальні правила (правила диференціювання),

за якими знаходять похідні від суми, добутку та частки тих функцій, для яких ми вже знаємо значення похідних, та похідну від складеної функції (функції від функції).

Обґрунтуємо ці правила. Для скорочення записів використаємо такі позначення функцій та їх похідних у точці х0: u(х0) = u, u(х0) = u, u'(х0) = u', v'(х0) = v'.

Правило 1. Якщо функції u і v диференційовні в точці х0, то їх сума диференційовна в цій точці і (u + v)' = u + v'.

* У позначеннях у'х , f'x , u'х нижній індекс указує, за яким аргументом беруть похідну.

Коротко говорять: похідна суми дорівнює сумі похідних.

• Для доведення позначимо у(х) = = u(x) + v(x) і використаємо план знаходження у' за означенням похідної в точці х0 (п. 4 § 31).

1) Приріст функції в точці х0:

3) З’ясуємо, до якої границі прямує відношення при ∆ → 0. Оскільки функції u і v диференційовні в точці х0, то при а тобто

Ураховуючи, що границя суми дорівнює сумі границь доданків, одержуємо, що при

А це й означає, що y' = u' + v', тобто

Отже, (u + v) = u' + v'.

Правило 1 можна поширити на будь- яку скінченну кількість доданків* (n ∈ N):

Правило 2. Якщо функції и і v диференційовні в точці х0, то їх добуток диференційовний у цій точці і (uv)' = u'v + v'u.

Із доведенням правила 2 можна ознайомитися, звернувшися до інтернет-підтримки підручника.

Наслідок (правило 3). Якщо функція и диференційовна в точці х0, а с — стала, то функція сu диференційовна в цій точці і (сu)' = сu'.

Коротко говорять: сталий множник можна виносити за знак похідної.

• Для доведення використаємо правило 2 і відомий з § 31 факт, що с' = 0:

(сu) =с'u + uс = 0 ∙ u + u'с = сu'.

Правило 4. Якщо функції u і v диференційовні в точці х0 І функція v не дорівнює нулю в цій точці, то їх частка також диференційовна в точці х0

• Цю формулу можна одержати аналогічно до похідної добутку. Але можна використати простіші міркування, якщо прийняти без доведення, що похідна заданої частки існує. Позначимо функцію через і. Тоді = t, u = vt. Знайдемо похідну функції и за правилом диференціювання добутку: u = v't + t'v .

Виразимо з цієї рівності t', а замість t підставимо його значення .

Одержимо:

Отже,

Використовуючи правило знаходження похідної добутку і формулу х' = 1, обґрунтуємо, що похідну функції у = хn при натуральному пn > 1 обчислюють за формулою

n)' = nхn-1. (3)

• При n = 2 одержуємо: (х2) =(х ∙ х) = х' ∙ х + х' ∙ х = 1х + 1х = 2х. Той самий результат дає і застосування формули (3):

2)' = 2х2-1 =2х1 =2х.

* Для обґрунтування того, що ця формула правильна для будь-якого натурального п, потрібно використати метод математичної індукції (див. § 6).

При n = 3 маємо: (х3)' = (х2  х)' =(х2)' ∙ x + x ∙ x2 = 2х ∙ х + 1 ∙ х2 =3х2 . Той самий результат дає і застосування формули (3):

3)' = 3х3-1 = 3х2.

Як бачимо, наведені міркування дозволяють, спираючись на попередній результат, обґрунтувати формулу для наступного значення п. Припустимо, що формула (3) виконується для n =k (k > 1), тобто (хk)' = kхk-1.

Покажемо, що тоді формула (3) правильна і для наступного значення n = k + 1. Дійсно,

k+1)' = (хk ∙ х)' = (хk)' ∙ х + х' ∙ хk = kxk-1 ∙ х + 1 ∙ хk = kхk + хk = (k + 1)xk.

Отже, якщо формула (3) виконується при n = 2, то вона справедлива і для наступного значення n = 3. Але тоді формула (3) виконується і для наступного значення n = 4 , а отже, і для n = 5 і т. д., для будь-якого натурального n > 1.

Можна обґрунтувати, що формула (хn)' = nхn-1 буде правильною для будь- якого дійсного показника n (але тільки при тих значеннях х, при яких визначена її права частина).

• Наприклад, якщо n = 1 або n = 0, то при х ≠ 0 ця формула теж правильна. Дійсно, якщо Х ≠ 0 , то за формулою (3):

1)' = 1 ∙ х1-1 = 1 ∙ х0 = 1,

0)' = 0 ∙ х0-1 = 0,

що збігається зі значеннями похідних функцій х та 1, одержаних у п. 5 § 31.

Якщо n — ціле від’ємне число, то n = -m, де m — натуральне число. Тоді при х ≠ 0

Отже, формула (3) виконується і для будь-якого цілого показника степеня.

Якщо n = , то при х>0 маємо

Як відомо з § 31, (при х > 0). Але за формулою (3):

тобто формула (3) правильна і при n = .

Похідна складеної функції

Складеною функцією зазвичай називають функцію від функції. Якщо змінна у є функцією від u: y = f(u), а u, у свою чергу, — функцією від х: u = u(х), то у є складеною функцією від х, тобто y = f(u(x)).

У такому разі кажуть, що у є складеною функцією незалежного аргумента х, а u — її проміжним аргументом.

Наприклад, якщо y= f(u) = , u = u(х) = х - 2, то у(х) = f(u(х)) = складена функція, визначена тільки при тих значеннях х, для яких х - 2 ≥ 0, тобто при х ≥ 2 (проміжний аргумент u = х - 2).

Правило 5 (похідна складеної функції). Якщо функція и(х) має похідну в точці х0, а функція f(u) — похідну в точці У0 = У(Х0), то складена функція у = f(u(x)) також має похідну в точці х0, причому (f(u(x))) =fu'(у)u'x(х).

• Оскільки за умовою функція и(х) має похідну в точці х0, то вона є неперервною в цій точці (п. 8 табл. 44), і тоді малій зміні аргумента в точці х0 відповідають малі зміни значень функції, тобто при ∆х → 0 ∆u → 0 (п. 2 табл. 44).

З рівності ∆u = U(Х0 + ∆Х) - U(Х0) маємо: u(х0 + ∆х) = у(х0) + ∆u - u0 + ∆u.

Тоді

∆у = у(х0 + ∆х) - y(х0) = f(u(х0 + ∆х)) -

- f(у(х0)) = f(f0 + ∆u) - f’(u0) = ∆f.

* У наведеному обґрунтуванні фактично неявно використано метод математичної індукції (див. § 6), який дозволяє аргументовано зробити висновок, що розглянуте твердження виконується для будь-якого натурального n (у даному випадку для n > 1).

Подальше доведення проведемо тільки для таких функцій u(х), у яких ∆u ≠ 0 у деякому околі точки х0. При ∆u ≠ 0 подамо так:

Ураховуючи, що при а при одержуємо, що при ∆х → 0 (і відповідно при ∆u → 0)

А це й означає, що

Отже, похідна складеної функції y = f( u (х)) дорівнює добутку похідної даної функції y = f(u) по проміжному аргументу u (позначено f'u ) на похідну проміжного аргумента u = u(х) по незалежному аргументу х (позначено u'х).

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть похідну функції:

Коментар

Нагадаємо, що алгебраїчний вираз (чи формулу, яка задає функцію) називають за результатом останньої дії, яку потрібно виконати при знаходженні значення заданого виразу. Отже, у завданні 1 спочатку потрібно знайти похідну суми: (u + v)' = u' + v', у завданні 2 — похідну добутку:

(uv)' = u'v + u'v,

а в завданні 3 — похідну частки:

У завданнях 1 і 2 слід використати також формулу (хn)' = nхn-1, а в завданні 2 врахувати, що при обчисленні похідної від 2х постійний множник 2 можна винести за знак похідної.

У завданні 2 краще спочатку розкрити дужки, а потім узяти похідну суми.

Розв’язання

Ураховуючи, що (х8') = 8х7;

Ураховуючи, що

(х + 2)' = х' + 2' = 1 + 0 = 1, (5 - х)' = 5' - х' = 0 - 1 = -1, маємо

Приклад 2

Обчисліть значення похідної функції f(x) = x2 - 5 у точках:

х = 4, х = 0,01.

Коментар

Для знаходження значення похідної в указаних точках достатньо знайти похідну даної функції і в одержаний вираз підставити задані значення аргумента.

При обчисленні похідної слід урахувати, що задану різницю можна розглядати як алгебраїчну

Розв’язання

Відповідь:

суму виразів х2 і (-5), а при знаходженні похідної (-5) за знак похідної можна винести постійний множник (-5). У результаті фактично ми отримаємо різницю похідних функцій х2 і 5 .

Приклад 3

Знайдіть значення х, для яких похідна функції f (х) = х4 - 32х дорівнює нулю.

Коментар

Щоб знайти відповідні значення х, достатньо знайти похідну заданої функції, прирівняти її до нуля і розв’язати одержане рівняння.

Розв’язання

Відповідь: 2.

Приклад 4

Знайдіть похідну функції f:

Коментар

У завданнях 1 і 2 необхідно знайти відповідно похідну степеня і кореня, але в основі степеня і під знаком кореня стоїть не аргумент х, а вирази з цим аргументом (теж функції від х). Отже, потрібно знайти похідні від складених функцій. Позначаючи (на чернетці або уявно) проміжний аргумент через u (для завдання 1: u = х3 - 1, а для завдання 2: u = 5х + х), за формулою f'x = f'u ∙ u'х записуємо похідні заданих функцій з урахуванням формул

Розв’язання

Ураховуючи, що

одержуємо

Ураховуючи, що

(5Х2 + Х)' = 5 (х2)' + х' = 5 ∙ 2х + 1 = 10х + 1,

одержуємо

Запитання

1. Запишіть правила знаходження похідної суми, добутку та частки двох функцій. Проілюструйте їх застосування на прикладах.

2. Запишіть формулу знаходження похідної степеневої функції хn. Проілюструйте її застосування на прикладах.

3. Поясніть на прикладах правило знаходження похідної складеної функції.

4*. Обґрунтуйте правила знаходження похідної суми, добутку та частки двох функцій і правила знаходження похідної від складеної функції.

5*. Обґрунтуйте формулу знаходження похідної степеневої функції для цілих значень n.

Bправи

У завданнях 32.1-32.5 знайдіть похідну функції.

32.1°.

32.2.

32.3.

32.4.

32.5.

32.6. Обчисліть значення похідної функції f(x) у зазначених точках:

32.7. Знайдіть значення х, для яких похідна функції f(x) дорівнює нулю:

32.8. Розв’яжіть нерівність f'(x)< 0, якщо:

32.9. Задайте формулами елементарні функції f(u) і u(х), з яких складається складена функція y = f(u(x)):

32.10. Знайдіть область визначення функції:

32.11. Знайдіть похідну функції f(x):

32.12. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці

з абсцисою х0, якщо:

Виявіть свою компетентність

32.13. Наведіть приклад моделі складеної функції з реального життя.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити