Розділ 5 ПОХІДНА

§33 ПОХІДНІ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ

Таблиця 46

ПОЯСНЕННЯ И ОБҐРУНТУВАННЯ

Формули с' = 0 (с — стала), (х)' =1, (хⁿ)' = nх^n-1.

було обґрунтовано в § 31 і 32.

• Для обґрунтування формули

(sinx) = cosх використаємо те, що при малих значеннях а значення sina = a (наприклад, sin 0,01 ≈ 0,010, sin 0,001 ≈ 0,001). Тоді при а → 0 відношення тобто

(1)

Якщо у = f(x) = sinx , то, використовуючи формулу перетворення різниці синусів у добуток і схему знаходження похідної за означенням (п. 4 § 31), маємо:

3) При ∆х → 0 Тоді а враховуючи рівність (1),  

При ∆х → 0 =-1 ∙ COSX₀ = COSX₀ , тобто f'(x₀) = cosx₀ . Отже, похідна функції у = sinx у довільній точці х:

(sinx) =cosx.

• Ураховуючи, що за формулами зведення

і використовуючи правило знаходження похідної складеної функції, одержуємо:

Отже, (cosx) =-sinx.

• Для знаходження похідних tgx і ctgx використаємо формули: tgx = , ctgx = і правило знаходження похідної частки.

* Справедливість цієї формули обґрунтовано в п. 29.3.

Отже,

Формулу

обґрунтуйте самостійно.

ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад 1

Знайдіть похідну функції:

Коментар

Послідовно визначаємо, від якого виразу слід узяти похідну (орієнтуючись на результат останньої дії).

У завданні 1 спочатку беруть похідну суми: (u + v) = u' + v'. Потім для кожного з доданків використовують похідну складеної функції: беруть похідну від u² і і помножують на u . Одержаний результат бажано спростити за формулой 2 sin х cos х = sin 2x .

У завданні 2 спочатку беруть похідну частки: а для похідної знаменника використовують похідну складеної функції (похідну cos u помножують на u' ).

Розв’язання

Приклад 2

Знайдіть усі значення х, при яких значення похідної функції

1) дорівнює нулю; 2) додатне; 3) від’ємне.

Коментар

Похідна функції може існувати тільки в их точках, які входять до її області визначення. Тому спочатку доцільно знайти область визначення заданої функції. Похідна функції сама є функцією від х, і тому для розв’язування нерівностей f'(х) ≷ 0 можна використати метод інтервалів. Після знаходження ОДЗ цієї нерівності потрібно співставити її з областю визначення функції f(x) і продовжувати розв’язання нерівності на їх спільній частині.

Розв’язання

Область визначення заданої функції:

Область визначення функції f(x): (-2;0)U(0; + ∞), тобто похідна f'(x) існує на всій області визначення функції f(x), крім точки х = -2 .

f(x) = 0 , х = - (не входить до області визначення f(x)).

На області визначення fix) розв’яжемо нерівності f'(x) > 0 та f'(x) < 0 методом інтервалів (рис. 33.1):

Відповідь: 1) таких значень х, при яких f(x) = 0, немає; 2) f(x)> 0 при х ∈ (-2; 0); 3) f'(х) < 0 при х ∈ (0; +∞).

Отже, нерівності f'(x) ≷ 0 завжди розв’язуються на спільній частині областей визначення функцій f(x) і f(x). Для розв’язування відповідних нерівностей достатньо на спільній області визначення функцій f(x) і f(x) позначити нулі f(x) і знайти знак f(x) у кожному з проміжків, на які розбивається ця спільна область визначення.

Рис. 33.1

Приклад 5

Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції у = х²cos(x - 1) у точці х₀ = 1.

Коментар

Рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀ у загальному вигляді записують так: y = f'(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Щоб записати це рівняння для заданої функції, потрібно знайти f(х₀), похідну f(x) і значення f'(x₀). Для виконання відповідних обчислень зручно позначити задану функцію через f(x) , а для знаходження її похідної використати формулу похідної добутку: (uv)' = u'v + v'u.

Розв’язання

Якщо f(x) = x²cos(x - 1), то f(x₀) = f(1) = 1 .

f'(x) = (x²) cos(x - 1) + (cos(x - 1)) х² =

= 2xcos(x - 1) - x² sin(x - 1).

Тоді f'(x₀) = f'(1) = 2. Підставляючи ці значення в рівняння дотичної y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀), одержуємо у = 1 + 2(х - 1), тобто у = 2х - 1 — шукане рівняння дотичної.

Запитання

1. Запишіть та обґрунтуйте формули знаходження похідних від тригонометричних функцій.

Вправи

У завданнях 33.1-33.7 знайдіть похідну функції.

33.1°.

1) y = cosx + l; 3) у = tgx + ctgx;

2) у = 2sinx - 3x; 4) y = x³ - ctgx.

33.2.

1) /f(x) = xtgx; 3) f(x) = sinxtgx ;

2) f(x) = xctgx; 4) f(x) = cosxctgx .

33.3.

33.4.

33.5*.

33.6.

33.7.

У завданнях 33.8-33.9 обчисліть значення похідної функції f у зазначеній точці.

33.8.

33.9.

У завданнях 33.10-33.11 знайдіть значення х, для яких похідна функції f дорівнює нулю.

33.10.

33.11.

33.12. Розв’яжіть нерівність f'(х) > 0, якщо:

33.13. Знайдіть значення х, при яких значення похідної функції f(x):

а) дорівнює нулю, б) додатне, в) від’ємне.

33.14. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х₀, якщо:

33.15. Знайдіть абсциси х₀ точок графіка функції у = f(x), у яких дотична до нього утворює кут φ з додатним напрямком осі Ох:

1) f(x) = sin2x, φ = 0° ; 3) f(x) = sin²х , φ = 135°.

2) f(х) = х³ - 11х, φ = 45°;

33.16*. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) - х³ - 3х + 5, яка паралельна прямій у = -3х + 7.

33.17*. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = х⁴ + х - 2, яка паралельна прямій у = 5х + 1.