Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік
Розділ 5 ПОХІДНА
§33 ПОХІДНІ ЕЛЕМЕНТАРНИХ ФУНКЦІЙ
Таблиця 46
ПОЯСНЕННЯ И ОБҐРУНТУВАННЯ
Формули с' = 0 (с — стала), (х)' =1, (хn)' = nхn-1.
було обґрунтовано в § 31 і 32.
• Для обґрунтування формули
(sinx) = cosх використаємо те, що при малих значеннях а значення sina = a (наприклад, sin 0,01 ≈ 0,010, sin 0,001 ≈ 0,001). Тоді при а → 0 відношення 
тобто
(1)
Якщо у = f(x) = sinx , то, використовуючи формулу перетворення різниці синусів у добуток і схему знаходження похідної за означенням (п. 4 § 31), маємо:
3) При ∆х → 0 
Тоді 
а враховуючи рівність (1), 
При ∆х → 0 
=-1 ∙ COSX0 = COSX0 , тобто f'(x0) = cosx0 . Отже, похідна функції у = sinx у довільній точці х:
(sinx) =cosx.
• Ураховуючи, що за формулами зведення
і використовуючи правило знаходження похідної складеної функції, одержуємо:
Отже, (cosx) =-sinx.
• Для знаходження похідних tgx і ctgx використаємо формули: tgx = 
, ctgx = 
і правило знаходження похідної частки.
* Справедливість цієї формули обґрунтовано в п. 29.3.
Отже,
Формулу
обґрунтуйте самостійно.
ПРИКЛАДИ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ
Приклад 1
Знайдіть похідну функції:
Коментар
Послідовно визначаємо, від якого виразу слід узяти похідну (орієнтуючись на результат останньої дії).
У завданні 1 спочатку беруть похідну суми: (u + v) = u' + v'. Потім для кожного з доданків використовують похідну складеної функції: беруть похідну від u2 і 
і помножують на u . Одержаний результат бажано спростити за формулой 2 sin х cos х = sin 2x .
У завданні 2 спочатку беруть похідну частки: 
а для похідної знаменника використовують похідну складеної функції (похідну cos u помножують на u' ).
Розв’язання
Приклад 2
Знайдіть усі значення х, при яких значення похідної функції 
1) дорівнює нулю; 2) додатне; 3) від’ємне.
Коментар
Похідна функції може існувати тільки в их точках, які входять до її області визначення. Тому спочатку доцільно знайти область визначення заданої функції. Похідна функції сама є функцією від х, і тому для розв’язування нерівностей f'(х) ≷ 0 можна використати метод інтервалів. Після знаходження ОДЗ цієї нерівності потрібно співставити її з областю визначення функції f(x) і продовжувати розв’язання нерівності на їх спільній частині.
Розв’язання
Область визначення заданої функції:
Область визначення функції f(x): (-2;0)U(0; + ∞), тобто похідна f'(x) існує на всій області визначення функції f(x), крім точки х = -2 .
f(x) = 0 , 
х = - 
(не входить до області визначення f(x)).
На області визначення fix) розв’яжемо нерівності f'(x) > 0 та f'(x) < 0 методом інтервалів (рис. 33.1):
Відповідь: 1) таких значень х, при яких f(x) = 0, немає; 2) f(x)> 0 при х ∈ (-2; 0); 3) f'(х) < 0 при х ∈ (0; +∞).
Отже, нерівності f'(x) ≷ 0 завжди розв’язуються на спільній частині областей визначення функцій f(x) і f(x). Для розв’язування відповідних нерівностей достатньо на спільній області визначення функцій f(x) і f(x) позначити нулі f(x) і знайти знак f(x) у кожному з проміжків, на які розбивається ця спільна область визначення.
Рис. 33.1
Приклад 5
Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції у = х2cos(x - 1) у точці х0 = 1.
Коментар
Рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0 у загальному вигляді записують так: y = f'(x0) + f'(x0)(x - x0).
Щоб записати це рівняння для заданої функції, потрібно знайти f(х0), похідну f(x) і значення f'(x0). Для виконання відповідних обчислень зручно позначити задану функцію через f(x) , а для знаходження її похідної використати формулу похідної добутку: (uv)' = u'v + v'u.
Розв’язання
Якщо f(x) = x2cos(x - 1), то f(x0) = f(1) = 1 .
f'(x) = (x2) cos(x - 1) + (cos(x - 1)) х2 =
= 2xcos(x - 1) - x2 sin(x - 1).
Тоді f'(x0) = f'(1) = 2. Підставляючи ці значення в рівняння дотичної y = f(x0) + f'(x0)(x - x0), одержуємо у = 1 + 2(х - 1), тобто у = 2х - 1 — шукане рівняння дотичної.
Запитання
1. Запишіть та обґрунтуйте формули знаходження похідних від тригонометричних функцій.
Вправи
У завданнях 33.1-33.7 знайдіть похідну функції.
33.1°.
1) y = cosx + l; 3) у = tgx + ctgx;
2) у = 2sinx - 3x; 4) y = x3 - ctgx.
33.2.
1) /f(x) = xtgx; 3) f(x) = sinxtgx ;
2) f(x) = xctgx; 4) f(x) = cosxctgx .
33.3.
33.4.
33.5*.
33.6.
33.7.
У завданнях 33.8-33.9 обчисліть значення похідної функції f у зазначеній точці.
33.8.
33.9.
У завданнях 33.10-33.11 знайдіть значення х, для яких похідна функції f дорівнює нулю.
33.10.
33.11.
33.12. Розв’яжіть нерівність f'(х) > 0, якщо:
33.13. Знайдіть значення х, при яких значення похідної функції f(x):
а) дорівнює нулю, б) додатне, в) від’ємне.
33.14. Запишіть рівняння дотичної до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0, якщо:
33.15. Знайдіть абсциси х0 точок графіка функції у = f(x), у яких дотична до нього утворює кут φ з додатним напрямком осі Ох:
1) f(x) = sin2x, φ = 0° ; 3) f(x) = sin2х , φ = 135°.
2) f(х) = х3 - 11х, φ = 45°;
33.16*. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(x) - х3 - 3х + 5, яка паралельна прямій у = -3х + 7.
33.17*. Знайдіть рівняння дотичної до графіка функції f(х) = х4 + х - 2, яка паралельна прямій у = 5х + 1.