Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§34 ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО ДОСЛІДЖЕННЯ ФУНКЦІЙ

34.1. Застосування похідної до знаходження проміжків зростання і спадання та екстремумів функції

Таблиця 47

* Внутрішні точки області визначення функції, у яких похідна дорівнює нулю, називають також стаціонарними точками.

** Мається на увазі перехід через точку х0 при русі зліва направо.

*** Знаком « ↗» позначено зростання функції, а знаком « ↘ » — її спадання на відповідному проміжку.

Зауваження. Результати дослідження функції на монотонність і екстремуми зручно унаочнювати не тільки у вигляді схеми, зображеної в п. 6 табл 47, а й у вигляді спеціальної таблиці:

х

(-∞;-1)

- 1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; +∞)

f'(х)

+

0

 

0

 

0

+

f(x)

3

1

- 1

 

max

 

mіn

 

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Монотонність і сталість функції.

Критичні точки функції

Похідна є важливим інструментом дослідження функції, зокрема, на монотонність (тобто на зростання та спадання).

Нагадаємо, що функцію f(x) називають зростаючою на множині Р, якщо більшому значенню аргумента з цієї множини відповідає більше значення функції, тобто для будь-яких х1і х2 з цієї множини з умови х2 > х1 випливає, що f(x2) > f(x1).

Функцію f(x) називають спадною на множині Р, якщо більшому значенню аргумента з цієї множини відповідає менше значення функції, тобто для будь-яких х1 і х2 з цієї множини з умови х2 > х1 випливає, що f(х2) < f(х1).

* Як зазначається в Прикладі 3 п. 34.1, оскільки функція f(x) неперервна (наприклад, через те, що вона диференційовна на всій області визначення), то точки —1 і 1 можна включити до проміжків зростання і спадання функції.

Як видно з рис. 34.1.1, а, у кожній точці графіка зростаючої функції дотична утворює з додатним напрямком осі Ох або гострий кут а (тоді f’(x0) = tga > 0), або кут, що дорівнює нулю (f'(x1) = tg0 = 0). У кожній точці графіка спадної функції (рис. 34.1.1, б) дотична утворює з додатним напрямком осі Ох або тупий кут а (f(x0) = tga < 0) , або кут, що дорівнює нулю (f'(x1) = tg0 = 0).

Отже, якщо на якомусь інтервалі функція f(x) диференційовна і зростає, то f'(x) > 0 на цьому інтервалі; якщо на якомусь інтервалі функція f(x) диференційовна і спадає, то f'(х)< 0 на цьому інтервалі.

Але для розв’язування задач на дослідження властивостей функцій важливими є обернені твердження, які дозволяють за знаком похідної з’ясувати характер монотонності функції.

Для обґрунтування відповідних тверджень скористаємося так званою формулою Лагранжа. Її строге доведення наводиться в курсах математичного аналізу, а ми обмежимося тільки її геометричною ілюстрацією та формулюванням.

Нехай функція f(x) неперервна на відрізку [a; b] і диференційовна в усіх точках інтервалу (а; b). Тоді на цьому інтервалі знайдеться така точка с, що дотична до графіка функції f(x) у точці з абсцисою с буде паралельна січній АВ, яка проходить через точки A(a; f(a)), B(b; f(b)) (рис. 34.1.2).

Дійсно, розглянемо всі можливі прямі, що паралельні січній АВ і мають з графіком функції fix) на інтервалі (а; b) хоча б одну спільну точку. Пряма, яка лежить на найбільшій відстані від січної АВ, і буде дотичною до графіка функції fix) (це граничне положення січної, паралельної АВ). Якщо позначити абсцису точки дотику через с, то, ураховуючи геометричний зміст похідної, одержуємо f'(c) = tga, де а — кут між прямою і додатним напрямком осі Ох. Але ||АВ, тому кут а дорівнює куту нахилу січної АВ до осі Ох. Цей кут, у свою чергу, дорівнює куту А прямокутного трикутника ABD з катетами: AD = b - a , BD = f(b) - f(a).

Рис. 34.1.2

Тоді

Отже, можна зробити такий висновок.

Якщо функція fix) неперервна на відрізку [а; b] і диференційовна в усіх точках інтервалу (a; b), то на інтервалі (a; b) знайдеться така точка с ∈ (a; b), що

Цю формулу називають формулою Лагранжа. Застосуємо її для обґрунтування достатніх умов зростання і спадання функції.

1. Якщо f'(x) > 0 у кожній точці інтервалу (а; b), то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

2. Якщо f'(x)< 0 у кожній точці інтервалу (a; b), то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

• Візьмемо дві довільні точки х1 і х2 із заданого інтервалу. За формулою Лагранжа існує число с ∈ (х1; х2), таке, що

(1)

Число с належить заданому інтервалу, оскільки йому належать числа х1 і х2. Нехай х2 > х1. Тоді х2 - х1 > 0 .

Якщо f'(x)> 0 в кожній точці заданого інтервалу, то f'(c) > 0, і з рівності (1) одержуємо, що f(x2) - f(x1) > 0, тобто f (x2) > f ( x1). Це означає, що функція f(x) зростає на заданому інтервалі.

Якщо f'(x) < 0 у кожній точці заданого інтервалу, то f'(c)< 0, і з рівності (1) маємо, що f(х2) - f(х1) < 0, тобто f(х2) < f(х1). А це означає, що функція f(x) спадає на заданому інтервалі.

Приклад 1

Функція f(х) = х3 + х означена на всій множині дійсних чисел (х ∈ R) і має похідну f(x) = 3x2 + 1 > 0 при всіх значеннях х. Отже, ця функція зростає на всій області визначення.

Приклад 2

Функція g'(x) = sinx - 3х означена на всій множині дійсних чисел (х ∈ R) і має похідну g'(x) = cosx - 3 . Оскільки -1 ≤ COSX ≤ 1, то cosх - 3 < 0 при всіх значеннях х. Отже, ця функція спадає на всій області визначення.

Наприклад, розглядаючи степеневу функцію в п. 12.2, ми без доведення зазначили, що при х > 0 функція у = ха, де а — неціле число, зростає при а > 0 і спадає при а < 0. Обґрунтуємо це. Дійсно, у'= (ха)' = ахa-1. Тоді при х > 0 і а > 0 значення у' > 0, отже, функція у= ха зростає. При х > 0 і а < 0 значення у' < 0, тобто функція у = ха спадає.

Достатні ознаки зростання і спадання функції мають наочну фізичну ілюстрацію. Нехай по осі ординат рухається матеріальна точка, яка в момент часу t має ординату у= f(t) . Ураховуючи фізичний зміст похідної, одержуємо, що швидкість цієї точки в момент часу t дорівнює f(t). Якщо f(t) > 0, то точка рухається в додатному напрямку осі ординат, зі збільшенням часу ордината точки збільшується, тобто функція зростає. Якщо ж f'(t) < 0, то точка рухається у від’ємному напрямку осі ординат, і зі збільшенням часу ордината точки зменшується: функція спадає.

У тому випадку, коли f(t) — 0, швидкість точки дорівнює нулю, тобто точка не рухається, і тому її ордината залишається сталою. Одержуємо умову сталості функції.

Функція f(x) є сталою на інтервалі (а; b) тоді і тільки тоді, коли fix) = 0 в усіх точках цього інтервалу.

• Дійсно, якщо f(x) = k (де k — стала), то f'(х) = 0 .

Навпаки, якщо f'(х) = 0 в усіх точках інтервалу (a; b), то зафіксуємо деяке число х0 з цього інтервалу і знайдемо значення функції в точці х0 (нехай f(х0) = й). Для будь-якого числа х із заданого інтервалу за формулою Лагранжа можна знайти число с, яке міститься між х і х0 , таке, що

Тоді f(x) - f(x0) = f'(c)(x - x0). Оскільки с ∈ (а; b), то за умовою f'(c) = 0 . Отже, f(х) - f(х0) = 0. Таким чином, для всіх х із заданого інтервалу f(x) = f(x0) = k, тобто функція f(x) є сталою.

У випадку, якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a; b] і f'(x) = 0 в усіх точках інтервалу (a; b), то при наближенні значення х до точки а справа значення f(x) → f(a). Але f(x) = k, тоді і f(a) = k (аналогічно, наближаючи значення х до точки b зліва, обґрунтовують, що f(b) = k). Отже, функція f(x) є постійною на відрізку [а; b].

Для знаходження проміжків зростання і спадання функції потрібно розв’язати нерівності f'(x) > 0 і f'(x) < 0 на області визначення функції f(x) . Оскільки f'(x) є функцією від змінної x, то для розв’язування цих нерівностей можна використати метод інтервалів, точніше, його узагальнення, що спирається на твердження, яке в курсах математичного аналізу називають теоремою Дарбу*:

Теорема. Точки, у яких похідна дорівнює нулю або не існує, розбивають область визначення функції f(x) на проміжки, у кожному з яких f'(x) зберігає сталий знак.

Означення. Внутрішні** точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує, називаються критичними точками цієї функції.

Виходячи з плану розв’язування нерівностей методом інтервалів (п. 6 табл. 41), одержуємо, що проміжки зростання і спадання функції f(x) можна знаходити за схемою:

1. Знайти область визначення функції f(x) .

2. Знайти похідну f'(x).

3. З’ясувати, у яких внутрішніх точках області визначення функції похідна f'(x) дорівнює нулю або не існує (тобто знайти критичні точки цієї функції).

4. Позначити знайдені точки на області визначення функції f(x) і знайти знак f'(x) у кожному з проміжків, на які розбивається область визначення функції (знак можна визначити, обчисливши значення f'(x) у будь-якій точці проміжку).

Приклад 3

Дослідіть функцію f(x) = x3 - 3х на зростання і спадання.

Розв’язання

1. Область визначення заданої функції — усі дійсні числа (-D(f) = R) .

2. Похідна f'(x) = 3x2 - 3.

3. Похідна існує на всій області визначення функції, і f'(x) = 0, якщо 3х2 - 3 = 0, тобто при х = 1 або x = - 1.

4. Розв’язуємо нерівності f'(х) > 0 і f'(х) < 0 на області визначення функції fix) методом інтервалів. Для цього відмічаємо точки 1 і (-1) на області визначення функції f(x) і знаходимо знак f'(x) у кожному з одержаних проміжків (рис. 34.1.3).

Ураховуючи достатні умови зростання і спадання функції, одержуємо, що в тих інтервалах, де похідна додатна, функція fix) зростає, а в тих інтервалах, де похідна від’ємна, — спадає. Отже, функція f(x) зростає на кожному з інтервалів -1) та (1; + ∞) і спадає на інтервалі (-1; 1).

Рис. 34.1.3

* Жан Ґастон Дарбу (1842—1917) — французький математик, який зробив значний внесок у розвиток диференціальної геометрії, інтегрального числення та механіки.

** Внутрішньою точкою множини називають таку точку, яка належить цій множині разом із деяким своїм околом.

Графік функції у = х3 - 3х зображено на рис. 34.1.4. При побудові графіка враховано, що f(-1) = 2 і f(1) = -2. Із графіка видно, що функція f (х) - х3 - 3х зростає не тільки на інтервалах (-∞; - 1) та (1; + ∞), а й на проміжках (-∞; - 1] та [1; + ∞) і спадає не тільки на інтервалі (-1; 1), а й на відрізку [-1; 1].

Виявляється, що завжди, коли функція f(x) неперервна в будь-якому з кінців проміжку зростання (спадання), то його можна приєднати до цього проміжку (як точки -1 i 1 yпопередньому прикладі).

Приймемо це твердження без доведення.

2. Екстремуми (максимуми і мінімуми) функції

На рис. 34.1.4 зображено графік функції у = х - 3х . Розглянемо окіл точки х = -1, тобто довільний інтервал, що містить точку -1 (наприклад, δ-окіл цієї точки). Як видно з рисунка, існує такий окіл точки х = -1, що найбільшого значення для точок із цього околу функція f(x) = х3 - 3х набуває в точці х = -1. Наприклад, на інтервалі (-2; 0) найбільшого значення, яке дорівнює 2, функція набуває в точці x = -1. Точку x = -1 називають точкою максимуму цієї функції і позначають хmaх , а значення функції в цій точці f(-1) = 2 називають максимумом функції.

Аналогічно точку х = 1 називають точкою мінімуму функції f(x) = x3 - 3х, оскільки значення функції в цій точці менше за її значення в будь-якій точці деякого околу точки 1, наприклад околу (0,5; 1,5). Позначають точку мінімуму хmin, а значення функції в цій точці f(1) = -2 називають мінімумом функції.

Рис. 34.1.4

Точки максимуму і мінімуму функції ще називають точками екстремуму, а значення функції в цих точках називають екстремумами функції.

Наведемо означення точок максимуму і мінімуму.

Означення. Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою максимуму цієї функції, якщо знайдеться δ-окіл (х0 - δ; х0 + δ) точки х0, такий, що для всіх Х ≠ Х0 із цього околу виконується нерівність f(x) < f(x0).

Означення. Точка х0 з області визначення функції f(x) називається точкою мінімуму цієї функції, якщо знайдеться δ-окіл (х0 - δ; х0 + δ) точки х0 такий, що для всіх Х ≠ Х0 із цього околу виконується нерівність f(x) > f(x0).

За означенням у точці максимуму х0 значення функції f9x) є найбільшим серед значень функції з деякого околу цієї точки. Через це графік функції f(x) в околі х0 найчастіше має вигляд гладенького «горба» (рис. 34.1.5, а), але може мати вигляд загостреного «піка» (рис. 34.1.5, б) або навіть ізольованої точки (зрозуміло, що в цьому випадку функція не буде неперервною в точці х0) (рис. 34.1.5, в).

Максимум — від латин. maximum — найбільше.

Мінімум — від латин. minimum — найменше.

Екстремум — від латин. extremum — крайній.

Рис. 34.1.5

Рис. 34.1.6

Аналогічно значення функції f(x) у точці мінімуму х0 є найменшим серед значень функції з деякого околу цієї точки. Графік функції f(x) в околі х0 найчастіше має вигляд «западини», теж гладенької (рис. 34.1.6, а) або загостреної (рис. 34.1.6, б), або навіть ізольованої точки (рис. 34.1.6, в).

Зауваження. За означенням точки екстремуму — це такі точки, в яких функція набуває найбільшого чи найменшого значення, порівняно зі значеннями цієї функції в точках деякого околу екстремальної точки. Такий екстремум зазвичай називають локальним екстремумом.*

Необхідна і достатня умови екстремуму

При дослідженні функції та побудові її графіка важливе значення має знаходження точок екстремумів функції. Покажемо, що точками екстремуму можуть бути тільки критичні точки функції, тобто внутрішні точки області визначення функції, у яких її похідна дорівнює нулю або не існує.

Теорема Ферма (необхідна умова екстремуму). Якщо х0 є точкою екстремуму функції f(x) і в цій точці існує похідна f'(x0), то вона дорівнює нулю: f'(x0) = 0.

• Доведемо це твердження методом від супротивного. Нехай х0 є точкою екстремуму функції f(x) і в цій точці існує похідна f'(x0). Припустимо, що f'(х0) ≠ 0.

Розглянемо випадок, коли f'(х0) > 0. За означенням похідної при х → х0 (тобто при ∆х → 0 ) відношення прямує до додатного числа f'(x0), а отже, і саме буде додатним при всіх х, достатньо близьких до х0. Тобто

Тоді при х > х0 одержуємо, що f(х) > f(х0), і точка х0 не може бути точкою максимуму.

При х < х0f(х) < f(х0), і точка х0 не може бути точкою мінімуму, тобто точкою екстремуму, що суперечить умові.

Аналогічно розглядається й випадок, коли f'(х0) < 0. Отже, наше припущення неправильне, і f(x0) = 0.

Теорема Ферма дає лише необхідну умову екстремуму: з того, що f'(х0) = 0 , не обов’язково випливає, що в точці х0 функція має екстремум. Наприклад, якщо f(x) = x3, то f(x) =3х2 і f'(0) = 0 . Але точка х = 0 не є точкою екстремуму, оскільки функція х зростає на всій числовій прямій (рис. 34.1.7).

Рис. 34.1.7

* Наприклад, на рис. 34.1.4 зображено графік функції, яка має локальні екстремуми, але на всій області визначення не має ні найбільшого, ні найменшого значень.

Рис. 34.1.8

Теорема Ферма має наочний геометричний зміст: дотична до графіка функції у = f(x) у точці з абсцисою х0 (де х0 — точка екстремуму функції) паралельна осі абсцис (або збігається з нею) і тому її кутовий коефіцієнт f'(х0) дорівнює нулю (рис. 34.1.8).

У точці з абсцисою х0 = 0 до графіка функції у = х теж можна провести дотичну: оскільки f(0) = 0 , то цією дотичною є вісь Ох. Але графіки функцій, наведених на рис. 34.1.7 і 34.1.8, по-різному розміщуються відносно дотичних. На рис. 34.1.8, де х0 і х1 — точки екстремуму, можна вказати околи цих точок, для яких відповідні точки графіка розміщуються по один бік від дотичної, а на рис. 34.1.7 графік функції у = х3 при переході аргумента через точку х0= 0 (у якій похідна дорівнює нулю, але точка не є точкою екстремуму) переходить з одного боку дотичної до іншого. У цьому випадку точку х0 називають точкою перегину* функції.

Функція може мати екстремум і в тій критичній точці, у якій не існує похідна заданої функції. Наприклад, як було показано в п. 8 § 31, функція y = |х| не має похідної в точці х = 0 , але, як видно з її графіка (рис. 34.1.9), саме в цій точці функція має мінімум.

Рис. 34.1.9

Рис. 34.1.10

Проте не кожна критична точка, у якій не існує похідна заданої функції, буде точкою екстремуму цієї функції. Наприклад, розглядаючи функцію f(х) = 3х + | х |, помічаємо, що вона не має похідної в точці х = 0: графік має злом при х = 0 (рис. 34.1.10). Дійсно, якщо припустити, що функція f(x) = 3x + |x| має похідну в точці 0, то функція f(x) = 3х теж повинна мати похідну в точці 0. Але f(x) = 3х = | х |, а функція | х | не має похідної в точці 0, тобто ми прийшли до суперечності. Отже, функція f9x) у точці 0 похідної не має. Однак, як видно з рис. 34.1.10, функція fix) зростає на всій числовій прямій і екстремуму не має.

Наведені міркування і приклади показують, що для знаходження точок екстремуму функції потрібно насамперед знайти її критичні точки. Але щоб з’ясувати, чи є відповідна критична точка точкою екстремуму, необхідно провести додаткове дослідження. Цьому часто допомагають достатні умови існування екстремуму в точці.

Теорема 1 (ознака максимуму функції). Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і при переході через точку х0 її похідна змінює знак із «плюса» на «мінус» (тобто в деякому δ-околі точки х0 при х < х0 значення f'(x)> 0, а при х > х0 значення f'(х) < 0), то точка х0 є точкою максимуму функції f(x) .

* У точках перегину похідна може набувати різних значень — головне, що в цій точці крива переходить з одного боку дотичної на інший. Детальніше про точки перегину див. у п. 3 § 35.

• Розглянемо заданий δ-окіл точки х0, тобто інтервал (х0 - δ; х0 + δ). За умовою похідна f'(x) > 0 на інтервалі (х0 - δ; х0) (при х < х0). Отже, функція f(x) зростає на цьому інтервалі, а через те що f(x) неперервна в точці х0, то вона зростає і на проміжку (х0 -δ; х0]. Тоді для всіх х з інтервалу (х0 - δ; х0) маємо х < х0, таким чином, f(х) < f(х0). Аналогічно за умовою похідна f'(x) < 0 на інтервалі (х0; х0 + δ) (при х > х0). Звідси випливає, що функція f(x) спадає на цьому інтервалі, а оскільки f(x) неперервна в точці х0, то вона спадає і на проміжку [х0; х0 + δ). Тоді для всіх х з інтервалу (х0; х0 + δ) маємо х > х0, отже, f(x) < f(x0). Таким чином, f'(х) < f(х0) для всіх х ≠ х0 з деякого δ-околу точки х0, а це й означає, що точка х0 є точкою максимуму функції f(x).

Теорема 2 (ознака мінімуму функції). Якщо функція f(x) неперервна в точці х0 і при переході через точку х0 її похідна змінює знак з «мінуса» на «плюс» (тобто в деякому δ-околі точки х0 при х < х0 значення f'(х) < 0, а при х>х0 значення f'(х) > 0), то точка х0 є точкою мінімуму функції f(x).

Доведення цієї теореми повністю аналогічне доведенню теореми 1 (пропонуємо провести його самостійно).

Теореми 1 і 2 дають можливість зробити такий висновок: якщо функція f(x) неперервна в точці х0 І похідна f(x) змінює знак при переході через точку х0, то х0 — точка екстремуму функції, f(x).

Якщо ж функція fix) неперервна в точці х0, а Ті похідна fix) не змінює знак при переході через точку х0, то точка х0 не може бути точкою екстремуму функції.

• Дійсно, якщо, наприклад, f'(x) > 0 на інтервалі (х0 - δ; х0) і на інтервалі (х0; х0 + δ), то функція зростає на кожному з цих інтервалів. Ураховуючи її неперервність у точці х0(див. доведення теореми 1), одержуємо, що для всіх х ∈ (х0 -δ; х0) виконується нерівність f(x) < f(x0), а для всіх х ∈ (х0; х0+ δ) — нерівність f'(х0) < f’(х). Це означає, що на всьому проміжку (х0 -δ; х0+δ) функція fix) зростає і точка х0 не є точкою екстремуму. Аналогічно розглядається і випадок, коли f'(х)<0 на розглянутих інтервалах.

Зауваження. Наведене обґрунтування дозволяє уточнити умови зростання і спадання функції.

Якщо f'(x) ≥ 0 у кожній точці інтервалу (a; b) (причому рівняння f(x) — 0 має лише скінченну або зліченну* множину коренів), то функція f(x) зростає на цьому інтервалі.

Якщо f'(х) < 0 у кожній точці інтервалу (a; b) (причому рівняння f(x) = 0 має лише скінченну або зліченну множину коренів), то функція fix) спадає на цьому інтервалі.

Для практичного дослідження функції на екстремуми можна використовувати схему, наведену в п. 6 табл. 47. Приклади її використання також наведено в інтернет-підтримці підручника.

* Зліченність множини означає, що ми можемо встановити взаємно однозначну відповідність між елементами заданої множини і натуральними числами, тобто можемо вказати, як занумерувати всі елементи множини.

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад

Функція y = f(x) означена на проміжку (-7; 8). На рис. 34.1.11 зображено графік її похідної.

1) Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(x) .

2) Знайдіть критичні точки функції. Визначте, які з них є точками максимуму, які — точками мінімуму, а які не є точками екстремуму.

Рис. 34.1.11

Коментар

1) Як відомо, на тих проміжках, де похідна функції додатна, функція зростає, а на тих, де похідна від’ємна, спадає. Тому за графіком похідної з’ясовуємо проміжки, у яких похідна додатна і в яких — від’ємна. Це і будуть проміжки зростання і спадання функції.

2) Критичні точки — це внутрішні точки області визначення, у яких похідна дорівнює нулю або не існує. За графіком бачимо, що похідна f(x) існує на всій заданій області визначення. Отже, критичними точками будуть тільки ті значення х, при яких похідна дорівнює нулю.

Для визначення того, чи є критична точка точкою екстремуму, використовуємо достатні умови екстремуму: якщо в критичній точці функція неперервна та її похідна змінює знак з «+» на «-», то ця критична точка є точкою максимуму, а якщо з «-» на «+», — то точкою мінімуму.

Розв’язання

1) За графіком маємо, що f'(х) > 0 на проміжках (-4; 2) та (6; 8) , отже, f(x) зростає на цих проміжках. Аналогічно f'(x) < 0 на проміжках (-7; - 4) та (2;б), отже, f(x) спадає на цих проміжках. Оскільки в точках -4, 2 і 6 існує похідна f(x) , то функція f(x) неперервна в цих точках, і тому їх можна включити до проміжків зростання та спадання функції.

Відповідь: f(x) зростає на проміжках [-4; 2] та [2; 8) і спадає на проміжках (-7;-4] та [2; 6].

2) Похідна f(x) існує на всій області визначення функції f(x) і дорівнює нулю в точках -4, 2 і 6. Це внутрішні точки області визначення, отже, критичними точками будуть тільки точки -4, 2 і 6.

Оскільки похідна існує на всій області визначення функції, то функція неперервна в кожній точці області визначення.

У точках -4 і 6 похідна змінює знак з «-» на «+», отже, це точки мінімуму.

У точці 2 похідна змінює знак з « + » на «-», отже, це точка максимуму.

Відповідь: x1min =-4, x2min = 6, xmax = 2.

Запитання

1. Дайте означення зростаючої та спадної на множині функції.

2. Сформулюйте та обґрунтуйте достатні умови зростання та спадання функції. Наведіть приклади їх застосування.

3. Сформулюйте і обґрунтуйте умову сталості функції на інтервалі.

4. Зобразіть графік функції, що має екстремуми. Дайте означення точок екстремуму функції та її екстремумів.

5. Сформулюйте і обґрунтуйте необхідну та достатні умови екстремуми функції.

Вправи

34.1.1°. На рис. 34.1.12 зображено графік функції y = f(x) (на рис. 34.1.12, а, функція задана на проміжку [-6; 6], а на рис. 34.1.12, б — на проміжку [-7; 7]). Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(x) .

34.1.2°. Відомо, що похідна деякої функції у = f(x), заданої на множині всіх дійсних чисел, має такі знаки, як показано на рис. 34.1.13. Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(x).

34.1.3. Функція y = f(x) означена на проміжку (-6; 3) . На рис. 34.1.14 зображено графік її похідної. Укажіть проміжки зростання та спадання функції f(x).

34.1.4. Доведіть, що задана функція зростає на всій області визначення:

1°) f(x) = x3 + 5х; 3) f(x) = 2x + cosx ;

2) f(x) = х3 - х2 + х - 7 ; 4) f(x) = sinx + 3x + 2 .

34.1.5. Доведіть, що задана функція спадає на всій області визначення:

1°) у = -х3 - 3х ; 3) f(x) = cosx - 6x;

2) f(x) = -x7 + х4 - х + 2 ; 4) f(x) = sinx - 2x + 1.

Рис. 34.1.12

Рис. 34.1.13

Рис. 34.1.14

У завданнях 34.1.6, 34.1.7 знайдіть проміжки зростання і спадання функції.

34.1.6.

34.1.7.

1) у = х3 - 27х + 1; 3*) у = х + 2cosx;

2) у = х - х5; 4*) у = х - sin2x.

34.1.8*. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція зростає на всій числовій прямій:

1) f(x) = x3 - 3ax; 2) f(x) = ax + cosx ; 3) f(x) = x3 + ax2 +3ax - 5 .

34.1.9*. Доведіть, що рівняння має єдиний корінь, і знайдіть цей корінь.

1) 2х3 + 3х-5 = 0 ; 3) 5х - соs3х - 5; = 1;

2) х3 - х2 + х = 0; 4) х3 - х5 - х = 1.

34.1.10°. За графіком функції у = f(x), зображеним на рис. 34.1.12, знайдіть точки максимуму і мінімуму функції f(x). Чи існує похідна в кожній із цих точок? Якщо існує, то чому дорівнює її значення?

34.1.11°. Відомо, що похідна деякої функції у = f(x), заданої на множині всіх дійсних чисел, має такі знаки, як показано на рис. 34.1.13, і f'(-5) = f'(5) = 0. Укажіть критичні точки, точку максимуму і точку мінімуму цієї функції.

34.1.12°. Користуючись даними про похідну f'(x), наведеними в таблиці, укажіть:

1) проміжки зростання і спадання функції f(x);

2) точки максимуму і точки мінімуму функції fix) .

x

(-∞; -2)

-2

(-2; 1)

1

(1; 5)

5

(5; +∞)

f(x)

+

0

-

0

+

0

+

34.1.13. Функція y = f(x) означена на проміжку (-6; 3) . На рис. 34.1.14 зображено графік її похідної. Знайдіть критичні точки функції. Які з них є точками максимуму, які — точками мінімуму?

У завданнях 34.1.14, 34.1.15 дослідіть функцію на екстремуми.

34.1.14°.

34.1.15.

У завданнях 34.1.16, 34.1.17 визначте проміжки монотонності, точки екстремуму функції та значення функції в точках екстремуму.

34.1.16.

34.1.17*.

34.2. Загальна схема дослідження функції для побудови її графіка

Таблиця 48

* Найчастіше періодичність доводиться встановлювати для тригонометричних функцій.

Пояснення до схеми дослідження функції для побудови її графіка та приклади розв'язування завдань наведено в інтернет-підтримці підручника.

Запитання

1. За якою схемою можна досліджувати властивості функції для побудови її графіка?

2*. Охарактеризуйте особливості виконання основних етапів дослідження функції та відображення результатів дослідження на графіку функції. Наведіть приклади.

Bправи

34.2.1°. Побудуйте схематичний графік функції, визначеної та неперервної на множині всіх дійсних чисел, користуючись її властивостями, указаними в таблиці.

1)

x

(-∞; -2)

-2

(-2: 0)

0

(0; + ∞)

f'(x)

+

0

-

0

+

f(x)

5

2

 

max

 

min

 

* У цьому випадку говорять, що х = 0 — вертикальна асимптота графіка функції f(x) (див. § 30).

** У цьому випадку говорять, що у = х — похила асимптота графіка функції f(x) .

2)

x

(-∞; -1)

-1

(-1; 0)

0

(0; 1)

1

(1; +)

f'(x)

-

0

+

0

-

0

+

f(x)

-3

1

-3

 

min

 

max

 

min

 

У завданнях 34.2.2, 34.2.3 дослідіть функцію і побудуйте її графік.

34.2.2.

34.2.3.

34.2.4. а) Дослідіть функцію f(x) і побудуйте її графік, б) Знайдіть область значень функції f(x).

в*) Скільки коренів має рівняння fix) = a залежно від значення параметра а (див. інтернет-підтримку підручника)?

34.2.5. Скільки коренів має рівняння:

34.3. Найбільше і найменше значення функції

Таблиця 49

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

Людині в житті часто доводиться шукати найкращий, або, як часто кажуть, оптимальний розв’язок поставленої задачі. Частину таких задач вдається розв’язати за допомогою методів математичного аналізу — це задачі, які можна звести до знаходження найбільшого або найменшого значення функції.

У курсах аналізу доводиться теорема Вейєрштрасса.

Теорема Вейєрштрасса. Неперервна на відрізку [a; b] функція f(x) має на цьому відрізку найбільше і найменше значення, тобто існують точки відрізка [а; b], у яких f(x) набуває найбільшого та найменшого на [а; b] значень.

Розглянемо випадок, коли неперервна на відрізку [a; b] функція fix) має на цьому відрізку лише скінченне число критичних точок. Тоді має місце властивість: якщо функція f(x) неперервна на відрізку і має на ньому скінченне число критичних точок, то вона набуває свого найбільшого і найменшого значень на цьому відрізку або в критичних точках, які належать цьому відрізку, або на кінцях відрізка.

Геометрична ілюстрація цієї властивості наведена в п. 1 табл. 49.

• 1) Спочатку розглянемо випадок, коли неперервна на відрізку [а; b] функція f(x) не має на цьому відрізку критичних точок. Тоді на відрізку [а; b] похідна f(x) зберігає постійний знак (див. п. 34.1), отже, функція fix) на відрізку [а; b] зростає (рис. 34.3.1, а) або спадає (рис. 34.3.1, б). Тому найбільше і найменше значення функції fix) на відрізку [a; b] — це значення на кінцях а і b.

2) Нехай тепер функція fix) має на відрізку [a; b] скінченне число критичних точок. Ці точки розбивають відрізок [а; b] на скінченне число відрізків, усередині яких критичних точок немає. Тоді, згідно з п. 1, найбільшого і найменшого значень функція fix) набуває на кінцях таких відрізків, тобто в критичних точках функції, або в точках а і b.

Отже, щоб знайти найбільше і найменше значення неперервної на відрізку функції, яка має на цьому відрізку скінченне число критичних точок, достатньо обчислити значення функції в усіх критичних точках і на кінцях відрізка та з одержаних чисел вибрати найбільше і найменше.

Для використання цього орієнтиру потрібно впевнитися, що заданий відрізок входить до області визначення даної функції і що функція неперервна на цьому відрізку (останнє випливає, наприклад, з того, що функція диференційовна на заданому відрізку). Для знаходження критичних точок функції потрібно знайти її похідну і з’ясувати, де похідна дорівнює нулю або не існує. Уточнену схему знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку, і приклад використання наведено в п. 2 табл. 49. Інші приклади знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку, наведено далі (див. Приклад) та в інтернет-підтримці підручника.

Твердження, що найбільше значення функції f(x) на відрізку [а; b] досягається в точці х0, можна позначати так: mахf(х) = (х0); а твердження, що найменше значення функції f(x) на відрізку [a; b] досягається в точці х0, так: minf(x) = f(x0).

Під час розв’язування деяких задач доводиться знаходити найбільше і найменше значення неперервної функції не на відрізку, а на інтервалі. Найчастіше в таких задачах функція має на заданому інтервалу — найменшого значення на даному інтервалі (рис. 34.3.3) — див. повне формулювання відповідних властивостей у п. З табл. 49, а обґрунтування — в інтернет-підтримці підручника.

34.3.1

34.3.2

34.3.3

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

лі тільки одну критичну точку: або точку максимуму, або точку мінімуму. У цих випадках у точці максимуму функція f(x) набуває найбільшого значення на даному інтервалі (рис. 34.3.2), а в точці мінімум.

Приклад

Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) = 2sinx + cos2x на відрізку [0; ].

Коментар

Використаємо схему знаходження найбільшого і найменшого значень неперервної на відрізку функції f(x):

1) упевнитися, що заданий відрізок входить до області визначення функцій;

2) знайти похідну;

3) знайти критичні точки (f'(x) = 0 або не існує);

4) вибрати критичні точки, які належать заданому відрізку;

5) обчислити значення функції в критичних точках і на кінцях відрізка;

6) порівняти одержані значення і вибрати з них найбільше і найменше.

Щоб упевнитися в неперервності заданої функції, достатньо після знаходження її похідної з’ясувати, що похідна існує в кожній точці області визначення функції, або зазначити, що задана функція неперервна як сума двох неперервних функцій 2sinx і cos2x.

Визначити, які критичні точки належать заданому відрізку, можна на відповідному рисунку, відмічаючи критичні точки на числовій прямій (рис. 34.3.4):

Рис. 34.3.4

Розв’язання

1) D(f) = R, отже, відрізок [0; л] входить до області визначення функції f(x).

2) f'(x) = 2cosx - 2sin2x.

3) f(x) існує на всій області визначення функції f(x) (отже, функція f(x) є неперервною на заданому відрізку);

f'(x) = 0, 2cosx - 2sin2x = 0,

cos х - 2 sin x cos x = 0, cos x (1 - 2 sin x) = 0,

cosx = 0 або sinx = , x = + k, k ∈ Z, x = (- 1)n + n, n ∈ Z, — критичні точки.

4) у заданий відрізок попадають тільки критичні точки:

Приклад застосуваня похідної до розв'язування практичної задачі на знаходження найбільшого значення заданої величини наведено п. 4 табл. 49. Звернувшися до інтернет-підтримки підручника, можна ознайомитися з розв'язуванням інших прикладних задач.

Запитання

1. Поясніть, у яких точках неперервна на відрізку функція може набувати свого найбільшого і найменшого значень на цьому відрізку. Проілюструйте відповідну властивість на графіках функцій і обґрунтуйте її.

2. Опишіть схему знаходження найбільшого і найменшого значень функції, неперервної на відрізку. Наведіть приклад.

3. Сформулюйте і обґрунтуйте властивості неперервної на інтервалі функції, яка має на цьому інтервалі тільки одну точку екстремуму.

4. Опишіть схему розв’язування задач на найбільше і найменше значення за допомогою дослідження відповідних функцій. Наведіть приклад.

Bправи

У завданнях 34.3.1-34.3.4 знайдіть найбільше і найменше значення функції на заданому відрізку.

34.3.1°.

34.3.2.

34.3.3.

34.3.4*.

34.3.5. Із квадратного листа картону зі стороною а треба виготовити відкриту зверху коробку, вирізавши по кутах квадратики (рис. 34.3.5) і загнувши утворені краї. Якою має бути висота коробки, щоб її об’єм був найбільшим?

Рис. 34.3.5

34.3.6°. Число 10 подайте у вигляді суми двох невід’ємних доданків так, щоб сума квадратів цих чисел була найменшою.

34.3.7°. Число 4 розбийте на два доданки так, щоб сума першого доданка з квадратом другого була найменшою.

34.3.8. Різниця двох чисел дорівнює 8. Які мають бути ці числа, щоб добуток куба більшого числа на друге число був найменшим?

34.3.9. З усіх прямокутників, площа яких дорівнює 25 см2, знайдіть прямокутник із найменшим периметром.

34.3.10. Доведіть, що з усіх рівнобедрених трикутників, вписаних у коло радіуса R, найбільшу площу має рівносторонній трикутник.

34.3.11. На сторінці текст займає 384 см2. Верхнє і нижнє поля мають бути по 2 см, праве і ліве — по 3 см. Якими мають бути розміри сторінки з точки зору економії паперу?

34.3.12*. У прямокутний трикутник із гіпотенузою 8 см і кутом 60° вписано прямокутник найбільшої площі так, що одна з його сторін лежить на гіпотенузі, а дві вершини — на катетах. Визначте більшу із сторін прямокутника.

34.3.13*. Із трикутників, що мають даний кут а між сторонами, сума довжин яких постійна і дорівнює а, знайдіть такий, який має найменший периметр.

34.3.14*. У кулю радіуса R вписано циліндр, що має найбільшу бічну поверхню. Знайдіть об’єм цього циліндра.

34.3.15*. Точка А лежить на графіку функції y = f(x), точка В — на осі Ох, і її абсциса дорівнює ординаті точки А. Знайдіть найменше значення площі трикутника ОАВ, де точка О — початок координат,

Виявіть свою компетентність

34.3.16. Човен перебуває на відстані 3 км від найближчої точки берега А. Пасажир човна хоче дістатися села В, розташованого на березі на відстані 5 км від А (ділянка АВ берега прямолінійна). Швидкість човна 4 км/год; пасажир, вийшовши з човна, може пройти за годину 5 км. До якого пункту на березі має пристати човен, щоб пасажир прибув у село В за найкоротший час?

34.3.17. Звернувшися до інтернет-підтримки підручника, ознайомтеся з формулами похідних обернених тригономечних функцій та з можливістю застосування похідної до доведення тотожностей. Наведіть приклади такого застосування.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити