Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§35 ДРУГА ПОХІДНА Й ПОХІДНІ ВИЩИХ ПОРЯДКІВ. ПОНЯТТЯ ОПУКЛОСТІ ФУНКЦІЇ

Таблиця 50

* По аналогії з критичними точками (див. п. 34.1) внутрішні точки області визначення, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує, часто називають критичними точками другого роду, або критичними точками за другою похідною.

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Друга похідна й похідні вищих порядків

Якщо функція у = f(x) має похідну f'(x) у всіх точках деякого проміжку, то цю похідну можна розглядати як функцію від аргумента х. Якщо функція f'(x) є диференційовною, то її похідну називають другою похідною від f(x) і позначають f(x) (або у").

Наприклад, якщо f(x) - 2x - sinx, то f'(x) + 2x - sinx) = 2 - cosx, тоді f"(x) = (2-cosx) = sinx.

По аналогії з другою похідною означають і похідні вищих порядків. Похідну від другої похідної функції fix) називають третьою похідною, або похідною третього порядку цієї функції і т. д., тобто похідною n-го порядку функції f(x) називають похідну від похідної (n - 1)-го порядку цієї функції. Похідну n-го порядку функції f(x) позначають f(n)(x).

Наприклад, якщо f(x) = x5, то*

f'(x) = (x5) = 5х4; f"(х) = (5х4) =20х3;

f'''(х) = (20х3)' = 60х2; f(4) (х) = (60х2)' = 120х ;

f(5) (х) = (120х)' =120; f(6) (х) = (120)' =0 .

2. Опуклість функції

Нехай функція f(x) визначена на інтервалі (а; b) , а в точці х0 (а; b) має скінченну похідну. Тоді до графіка цієї функції в точці М(х0; f’(х0)) можна провести дотичну. Залежно від розміщення графіка відносно дотичної функцію називають опуклою вниз, якщо графік розміщено вище дотичної (рис. 35.1) або опуклою вгору, якщо графік розміщено нижче дотичної (рис. 35.2). Відповідно і сам графік у першому випадку називають опуклим униз, а в другому — опуклим угору.

Наведемо відповідні означення та властивості для функції f(x), визначеної і диференційовної двічі на інтервалі (a; b) .

Означення. Функція fix) називається опуклою вниз на інтервалі (а; b), якщо для будь-якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х ∈ (а; b) і х ≠ х0 графік функції лежить вище дотичної до цього графіка в точці (х0; f(х0)).

Означення. Функція fix) називається опуклою вгору на інтервалі (а; b), якщо для будь-якої точки х0 із цього інтервалу при всіх х ∈ (а; b) і х ≠ х0 графік функції лежить нижче дотичної до цього графіка в точці (х0; f(х0)).

Зазначимо, що на інтервалі, де функція f(x) опукла вниз, її похідна f'(x) зростає. Дійсно, як видно з рис. 35.1, із зростанням аргумента х величина кута φ, що утворює дотична до графіка функції f(x) із додатним напрямком осі Ох, зростає, набуваючи значень між - i . Але тоді tgφ = f'(x) теж зростає.

На інтервалі, де функція f(x) опукла вгору, її похідна f(x) спадає. Дійсно, як видно з рис. 35.2, зі зростанням аргумента х величина кута , що утворює дотична до графіка функції fix) із додатним напрямком осі Ох, спадає, набуваючи значень між i -. Але тоді tgφ = f'(x) теж спадає.

Можна довести, що справедливі й обернені твердження.

1. Якщо похідна f'(x) функції f(x) зростає на інтервалі (а; b) , то функція fix) є опуклою вниз на цьому інтервалі.

Рис. 35.1

Рис. 35.2

* Четверту, п’яту й шосту похідні функції f(x) часто позначають відповідно fIV (х) , fV (х), fVI(x).

2. Якщо похідна f'(x) функції f(x) спадає на інтервалі (а; b), то функція f(x) є опуклою вгору на цьому інтервалі.

Ці властивості дозволяють сформулювати достатні умови опуклості функції (і графіка функції).

1. Якщо на інтервалі (а; b) двічі диференційовна функція f(x) має додатну другу похідну (f"(x) > 0 при всіх х ∈ (а; b)), то її графік на інтервалі (а; b) напрямлений опуклістю вниз.

2. Якщо на інтервалі (а; b) двічі диференційовна функція f(x) має від’ємну другу похідну (f"(x) < 0 при всіх х ∈ (а; b)), то її графік на інтервалі (а; b) напрямлений опуклістю вгору. Дійсно, нехай f"(x) > 0 при всіх x ∈ (a; b). Якщо розглядати f'(x) як функцію від х, то f"(x) є похідною цієї функції (f"(x) = (f'(x))' ). Але тоді, маючи додатну похідну, функція f'(x) зростає на інтервалі (a; b), Отже, за властивістю 1 функція f(x) є опуклою вниз на цьому інтервалі, її графік відповідно опуклий униз на інтервалі (а; b).

Аналогічно обґрунтовують і другу достатню умову.

Ці умови є тільки достатніми, але не є необхідними. Наприклад, функція у = х4 є опуклою вниз на всій числовій прямій (рис. 35.3), хоча в точці х = 0 її друга похідна у" = 12х2дорівнює нулю.

У випадку, коли функція f(x) опукла вниз на інтервалі (а; b) і М1 та М2 — точки її графіка на цьому інтервалі (рис. 35.4),

то на інтервалі (х1; х2), де а < х1 < х2 < b, графік функції у = f(x) лежить нижче відрізка М1М2. Цей відрізок по аналогії з відрізком, що сполучає дві точки дуги кола, часто називають хордою кривої. Отже, у цьому випадку на інтервалі (х1; х2) графік лежить нижче хорди.

Якщо функція f(x) опукла вгору на інтервалі (а; b) і М1 та М2 — точки її графіка на цьому інтервалі (рис. 35.5), то на інтервалі (х1; х2), де а < х1 < х2 < b, графік функції у = f(x) лежить вище відрізка М1М2, тобто графік лежить вище хорди.

Точки перегину

Означення. Точку М графіка неперервної функції f(x), у якій існує дотична і при переході через яку крива змінює напрям опуклості, називають точкою перегину графіка функції.

Ураховуючи означення опуклості функції вгору й опуклості функції вниз (п. 2 цього параграфа), одержуємо, що дотична розміщена вище від однієї частини графіка і нижче за іншу (рис. 35.6). Інакше кажучи, у точці перегину дотична перетинає криву, а сам графік функції переходить з одного боку дотичної на інший.

Абсцису х0 точки перегину графіка функції fix) називають точкою перегину функції. Тоді х0 є одночасно кінцем інтервалу опуклості вгору і кінцем інтервалу опуклості вниз функції f(x) .

Точки перегину двічі диференційовної функції можна знайти за допомогою її другої похідної. Наведемо достатню умову існування точки перегину.

Рис. 35.3

Рис. 35.4

Рис. 35.5

Рис. 35.6

Нехай функція f(x) має на інтервалі (а; b) другу похідну. Якщо f"(x) змінює знак при переході через х0, де x0 ∈ (a; b), то х0 — точка перегину функції f(x).

• Дійсно, якщо функція f(x) має на інтервалі (а; b) другу похідну, то вона має на цьому інтервалі й першу похідну. Отже, функція f(x) є неперервною на заданому інтервалі та існує дотична до графіка функції в точці з абсцисою х0. Нехай f"(x)< 0 при х < х0 і f"(x) > 0 при х > х0 (на заданому інтервалі). Тоді, використовуючи достатні умови опуклості функції, одержуємо, що при х < х0 графік функції fix) напрямлений опуклістю вгору, а при х > х0 — опуклістю вниз. Отже, точка х0 є точкою перегину функції f(x) .

Аналогічно розглядається і випадок, коли f"(x) > 0 при х < х0 та f"(x) < 0 при х > х0 : точка х0 є також точкою перегину функції f(x) .

Для знаходження проміжків опуклості функції та точок її перегину потрібно враховувати таке.

Рис. 35.7

Рис. 35.8

• Нехай функція f(x) задана на інтервалі (а; b) і в кожній точці цього інтервалу має другу похідну f''(x) , яка є на ньому неперервною функцією. Якщо для точки х0 із цього інтервалу f"(х0) > 0, то в деякому δ-околі цієї точки друга похідна теж буде додатною, тобто для всіх х ∈ (х0 -δ; х0 +δ) значення f"(х) > 0. Але тоді в інтервалі (х0-δ; х0 +δ) функція f(х) напрямлена опуклістю вниз, і точка х0 не може бути точкою перегину функції f(x). Аналогічно, якщо "(х0) < 0, то в деякому околі точки х0 функція f(x) напрямлена опуклістю вгору, і точка х0 не може бути точкою перегину функції f(x) . Отже, точкою перегину може бути тільки така точка х0, у якій друга похідна дорівнює нулю, з цього випливає необхідна умова існування точок перегину, якщо функція f(x) задана на інтервалі (а; b), у кожній точці цього інтервалу має другу похідну f(x), яка є неперервною функцією на заданому інтервалі, і має точку перегину х0 > то f"(х0) = 0.

Наприклад, функція у = х3 (рис. 35.7) має перегин у точці 0, у якій її друга похідна дорівнює нулю. Дійсно, у' = 3х2, у" = 6х , у"(0) = 0 . При х > 0 значення у"(х) > 0 і графік напрямлений опуклістю вниз; а при х < 0 значення у"(х) < 0 і графік напрямлений опуклістю вгору. Отже, х = 0 — точка перегину функції.

Точка перегину функції f(x) може бути і в тій точці х0, у якій f"(x0) не існує (але f'(х0) існує).

Наприклад, функція означена на всій числовій прямій (рис. 35.8), має перегин у точці 0, у якій існує її перша похідна (у'(0) = 0), але не існує друга похідна

(у"(0) не існує).

При х > 0 значення у"(х) > 0 і графік напрямлений опуклістю вниз, а при х < 0 значення у"(х) < 0 і графік напрямлений опуклістю вгору. Отже, 0 — точка перегину функції.

Щоб знайти проміжки опуклості функції f(x), потрібно розв’язати нерівності f"(x) > 0 і f"(x) < 0 на області визначення функції f(x) . Оскільки f(x) теж є функцією від змінної х, то у випадку, коли функція f(x) є неперервною в кожній точці своєї області визначення, для

розв’язування цих нерівностей можна використати метод інтервалів, точніше, його узагальнення, що спирається на властивість: точки, у яких друга похідна дорівнює нулю або не існує, розбивають область визначення функції f(x) на проміжки, у кожному з яких f"(x) зберігає сталий знак.

Ураховуючи цю властивість і умови опуклості функції та існування її точок перегину, одержуємо схему дослідження функції f(x) на опуклість і точки перегину, наведену в п. 6 табл. 50.

Застосування цієї схеми також показано в п. 6 табл. 50. Використання другої похідної дозволяє детальніше дослідити властивості функції для побудови її графіка. У табл. 50 наведено розширену схему (порівняно зі схемою в табл. 48) дослідження функції та приклад її використання. До схеми додатково включено знаходження інтервалів опуклості функції, точок перегину й асимптот графіка функції (див. також § 30 та інтернет-підтримку підручника).

Запитання

1. Використовуючи графік, поясніть, яку функцію називають опуклою вгору, яку — опуклою вниз.

2. Сформулюйте достатні умови опуклості вгору та опуклості вниз функції, що має другу похідну на заданому інтервалі. Наведіть приклади.

3. Дайте означення точки перегину функції. Сформулюйте необхідну і достатню умови існування точок перегину функції, що має другу похідну на заданому інтервалі.

4. Охарактеризуйте розширену схему дослідження функції для побудови її графіка.

Bправи

35.1. Знайдіть другу похідну заданої функції:

35.2. Знайдіть інтервали опуклості вгору й опуклості вниз і точки перегину функції:

35.3. Дослідіть функцію за розширеною схемою та побудуйте її графік:

Виявіть свою компетентність

35.4. Перевірте правильність виконання завдання 35.3, побудувавши відповідні графіки за допомогою комп’ютерних програм.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити