Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§36 ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ І НЕРІВНОСТЕЙ ТА ДОВЕДЕННЯ НЕРІВНОСТЕЙ

36.1. Застосування похідної до розв'язування рівнянь і нерівностей

У § 4 було розглянуто використання властивостей функцій для розв’язування деяких рівнянь. Іноді для з’ясування потрібних властивостей функцій доцільно використати похідну. Це перш за все дослідження проміжків зростання і спадання функції та оцінка області значень функції (відповідні прийоми такого дослідження подано в табл. 51).

Таблиця 51

Приклад

Розв’яжіть рівняння

Оцінимо значення лівої і правої частин рівняння: g(x) = x2 - 4х + 6 = (х - 2)2 + 2 ≥ 2 ,

Дослідимо функцію f (х) на найбільше і найменше значення за допомогою похідної.

Похідна не існує в точках 1 і 3 з області визначення функції f(x) , але ці точки не є внутрішніми для D(f), отже, вони не є критичними.

х = 2 — критична точка (f'(2) = 0). Неперервна функція* f(x) задана на відрізку [1; 3], тому вона набуває найбільшого та найменшого значень або на кінцях відрізка, або в критичній точці з цього відрізка. Оскільки f(1) = f(3) = - , а f(2) = 2 , то тобто** f(х) ≤ 2. Крім того, g(x) ≥ 2, отже, задане рівняння рівносильне системі

Відповідь: 2.

* Звичайно, у точці х = 1 функція f(x) неперервна справа, а в точці х = 3 — зліва.

** Ми могли б виконати точнішу оцінку області значень неперервної функції f(x) : оскільки але для наведеного розв’язання достатньо оцінкиf(x) ≤ 2.

* Корені рівнянь у прикладах 1 і 2 одержано підбиранням. Як правило, підбір починають із цілих значень: х = 0 , ±1, ±2, які підставляють у задане рівняння, а для тригономе

тричних рівнянь перевіряють також «табличні» значення

36.2. Застосування похідної до доведення нерівностей

Похідну інколи вдається використати при доведенні нерівностей від однієї змінної.

Наведемо орієнтовну схему доведення нерівностей виду φ(х) > g(х) (або φ(х) < g(х)) за допомогою похідної.

1. Розглянути допоміжну функцію f(x) = φ(x) - g(x) (на її області визначення або на заданому проміжку).

2. Дослідити за допомогою похідної поведінку функції f(x) (зростання чи спадання або її найбільше чи найменше значення) на розглянутому проміжку.

3. Обґрунтувати (спираючись на поведінку функції f(x)), що f(x) > 0 (або f(х)< 0) на розглянутому проміжку, і зробити висновок, що φ(х) > g(x) (або φ(х) < g(х)) на цьому проміжку.

Зауважимо, що при доведенні деяких нерівностей цю схему доводиться використовувати декілька разів, а іноді зручно використати другу похідну й опуклість відповідної функції (див. приклади в інтернет-підтримці підручника).

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад

Доведіть нерівність х2 + 3 ≥ 4 при х ≥ 1.

Розв’язання

Для доведення даної нерівності достатньо довести нерівність при х ≥1. Розглянемо функцію при х ≥ 1 (її область визначення х ≥ 0 містить заданий проміжок).

Похідна

при х > 1. Отже, функція f(x) зростає на інтервалі (1; +∞), а враховуючи неперервність функції f(x) у точці 1 (вона неперервна і на всій області визначення), одержуємо, що функція f(x) зростає і на проміжку [1; + ∞). Але f (1) = 0 . Тоді при х ≥ 1 значення f(x) ≥ f(1) = 0 . Отже, тобто при х ≥ 1, що й потрібно було довести. (Зазначимо, що при х > 1 значення f(х) > f (1) = 0 , а при х = 1 задана нерівність перетворюється на рівність.)

Докладно ознайомитись із застосуванням похідної до розв'язування рівнянь і нерівностей, а також доведення нерівностей можна в інтернет-підтримці підручника.

Запитання

1. Поясніть, у яких випадках вдається розв’язати рівняння за допомогою оцінки значень його лівої і правої частин. Наведіть приклад.

2. Поясніть, як можна використати зростання і спадання функцій для розв’язування рівнянь. Наведіть приклади.

Bправи

У завданнях 36.1-36.7 розв’яжіть рівняння.

36.1.

36.2.

36.3.

36.4.

36.5. 1) х6 - 63х + 62 = 0;

2) х6 - 364х + 363 = 0 ;

3) х6 + 63х + 62 = 0 .

36.6. 1) x7 - 21х2 - 64х + 84 = 0 ;

2) х7 + 21х2 - 64х - 84 = 0 ;

3) х9 - 170х2 - х + 170 = 0 .

36.7. Розв’яжіть систему рівнянь:

У завданнях 36.8—36.9 розв’яжіть нерівність.

36.8.

1) х7 - х4 + 3х >-5 ;

2) 2х9 - х5 +х > 2;

36.9.

У завданнях 36.10-36.13 доведіть нерівність.

36.10.

1) х5 - 2х3 + 2х >20 : при х > 2;

2) а3 + 4 > а2 + 3а при а ≥ 0;

36.11.

36.12.

36.13. 1) а3 + 4 > а2 + 3а при а ≥ 0;

2) а3 + 3а2 +10 > 13а при а ≥ 0.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити