Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 5 ПОХІДНА

§37 ЗАСТОСУВАННЯ ПОХІДНОЇ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ ІЗ ПАРАМЕТРАМИ

При розв’язуванні завдань із параметрами можна використовувати похідну для дослідження функцій на монотонність і екстремуми та для дослідження функції та побудови її графіка, для запису рівнянь дотичних до графіків функцій, для знаходження найбільшого і найменшого значень функції. Слід також пам’ятати ті орієнтири, які використовувалися для розв’язування завдань із параметрами в § 9, 15, 27. Зокрема, якщо в завданні з параметрами йдеться про кількість розв’язків рівняння (нерівності або системи), то для аналізу заданої ситуації зручно використати графічну ілюстрацію розв’язування (див. відповідні приклади до цього параграфа в інтернет-підтримці підручника).

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад

Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція у = (а + 2)х3 - 3ах2 + 9ах - 2 спадає для всіх x ∈ R.

Коментар

Використаємо уточнений варіант умови спадання функції (п. 34.1).

Якщо f'(х) ≤ 0 у кожній точці інтервалу (а; b) (причому рівняння f'(x) = 0 має лише скінченну множину коренів), то функція f(x) спадає на цьому інтервалі.

Ця умова є не тільки достатньою, а й необхідною для диференційовної на інтервалі функції (якщо на якомусь інтервалі функція f(x) диференційовна і спадає, то f'(х) ≤ 0 на цьому інтервалі — див. п. 34.1). Отже, умову задачі можуть задовольняти ті й тільки ті значення параметра, які ми знайдемо за цією умовою. Аналізуючи похідну заданої функції, ураховуємо, що вона є квадратичною функцією тільки у випадку, коли а + 2 ≠ 0 (тобто а ≠ -2).

Тому випадок а + 2 = 0 (тобто а= -2) слід розглянути окремо.

Для квадратичної функції згадуємо всі можливі варіанти розміщення параболи відносно осі абсцис (див. таблицю нижче) і з’ясовуємо, коли нерівність 0 виконується для всіх X ∈R.

Розв’язання

Область визначення функції D(y) = R. Функція диференційовна на всій числовій прямій: у' = 3(а + 2)х2 - 6ах + 9а .

Задана функція буде спадати для всіх х ∈ R, якщо y' ≤ 0 на всій числовій прямій (причому рівняння у' = 0 має тільки скінченну множину коренів).

Якщо а = -2, то у' = 12х -18 і нерівність у' ≤ 0 не виконується на всій числовій прямій (12х - 18 ≤ 0 тільки при х ≤ 1,5). Якщо а ≠-2 , то похідна є квадратичною функцією відносно змінної х, яка набуває значень у' ≤ 0 на всій числовій прямій тоді й тільки тоді (таблиця в коментарі), коли виконуються умови

(1)

(при цьому рівняння у' = 0 може мати хіба що один корінь).

З нерівності а + 2 < 0 одержуємо а <- 2.

З нерівності D ≤ 0 маємо:

36а2 - 4 ∙ 3(а + 2) ∙ 9а ≤ 0 ,

36а(а - 3а - 6) ≤ 0 ,

36а(-2а - 6) ≤0 ,

-72а(а + 3) ≤ 0 . (2)

Ураховуючи одержану умову а < - 2, отримуємо, що (-72а) > 0 . Тоді з нерівності (2) маємо а + 3 ≤ 0 , тобто а < - 3 . Отже, система (1) рівносильна системі

Звідси одержуємо а < - 3 .

Відповідь: (-3].

Зауважимо, що нерівність D ≤ 0 (при а ≠-2 ), яка звелася до нерівності (2), можна було розв’язати окремо методом інтервалів або за допомогою графіка квадратичної функції (виключаючи точку з абсцисою а = -2), а вже потім знайти спільний розв’язок системи (1).

Bправи

37.1. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція зростає для всіх х ∈ R.

37.2. При якому значенні а пряма 16x + y - 13 = 0 є дотичною до графіка функції

37.3. Знайдіть найбільше значення k, при якому графік функції у= х2+ 2(k + 1) x + 2k2 + k - 1 дотикається до осі абсцис.

37.4. Знаючи, що рівняння х3 + 2 - ах при х > 0 має тільки один корінь, знайдіть цей корінь і відповідне значення а.

37.5. Графік функції у = -х3 + ах2 + bх + с перетинає вісь Ох у точці з абсцисою х = -2 і дотикається до осі Ох у точці з абсцисою х = 7. Знайдіть точки локального мінімуму цієї функції.

37.6. Знайдіть значення а і b, при яких пряма у = 7х - 2 дотикається до графіка функції у = ах2+ bx + 1 у точці А (1; 5).

37.7. Знайдіть значення а, при якому дотична до параболи у = 2х2 + 3х + 5 у точці х0 = -2 є дотичною до параболи у = -х2 + 4х + а,

37.8. Знайдіть усі значення параметра а, при яких функція не є спадною ні на якому відрізку, що належить її області визначення.

37.9. При яких значеннях параметра а рівняння має хоча б один корінь?

37.10. Знайдіть усі значення а, при яких рівняння 4sin3 x = a + 7cos2x не має коренів.

37.11. Знайдіть усі значення а, при яких рівняння має хоча б один корінь.

37.12. Знайдіть усі значення а, при яких рівняння 7 - 2cosx = a(1 + tg2 х) має хоча б один корінь.

37.13. Сторони трикутника лежать на осях координат і на дотичній до графіка функції у = х2 + 4х + 4 в точці, абсциса а якої задовольняє умову 1 ≤ а ≤ 0 . Знайдіть значення а, при якому площа трикутника буде найбільшою.

Додаткові завдання до теми «Границя та неперервність функції. Похідна та її застосування» наведено на сайті interactive.ranok.com.ua.

ЗАВДАННЯ ДЛЯ ПІДГОТОВКИ ДО ОЦІНЮВАННЯ

Тест № 5

1. Функція у = f(x) задана графіком (див. рисунок).

Укажіть усі точки, в яких похідна функції y = f(x) дорівнює нулю.

А - 4; -1,5; 4

Б -4; -1,5

В 4

Г -5; -3; 0,5; 5,5

2. Знайдіть похідну функції у = х3 + cosx .

A 3x2 + sinx

Б 3x2 + cosx

В 3x2 - cosx

Г 3x2 - sinx

3. Обчисліть значення похідної функції f(x) = в точці х0 = 12.

А 0,2

Б 0,1

В 5

Г 0,05

4. Знайдіть миттєву швидкість (у м/с) руху точки в момент часу t = 1 с, якщо точка рухається прямолінійно за законом s(t) = t2 + 2t + 3 (s вимірюється в метрах).

А 6

Б 7

В 4

Г 3

5. Серед наведених нижче графіків функцій, які визначені й диференційовні на множині всіх дійсних чисел, укажіть ту функцію, яка на всій області визначення має від’ємну похідну.

6. На рисунку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-3; 8) . У якій точці цього інтервалу функція f(х) набуває найменшого значення?

А 1,5

Б -2

В 4

Г 6

7. На рисунку зображено графік функції y = f(x), визначеної на проміжку [-4; 4]. Установіть відповідність між властивостями (1-3) функції та їх числовими значеннями (А-Г).

1 Точка локального мінімуму функції

А 1

2 Локальний максимум функції

Б 2

3 Найбільше значення функції на проміжку [0; 4]

В 3

Г 4

8. Укажіть проміжки, на яких функція у = -х3 + 6х2 + 7 спадає.

А (-∞; + ∞) В (-∞;- 4] і [-4; +∞]

Б (-∞;0] і [4;+∞) Г [0; 4]

9. Знайдіть найбільше і найменше значення функції у = х4 - 2х2 + 7 на проміжку [2; 0] (запишіть розв’язання).

10. 1) Дослідіть функцію на монотонність і екстремуми та побудуйте її графік (запишіть розв’язання).

2) Дослідіть, скільки коренів має рівняння х3 - х = а залежно від значення параметра а (запишіть розв’язання).

Пройдіть онлайн-тестування на сайті interactive.ranok.com.ua.

Теми навчальних проектів

1. Використання похідної та нерівностей під час розв’язування економічних задач.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити