Розділ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§3 РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

Таблиця 6

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Метод інтервалів

Розв’язування нерівностей методом інтервалів спирається на властивості функцій, пов’язані зі зміною знаків функції. Пояснимо ці властивості, використовуючи графіки відомих нам функцій, наприклад y = і у = 2х - 2 (рис. 3.1).

Розглядаючи ці графіки, помічаємо, що функція може змінити свій знак тільки у двох випадках:

1) якщо графік розривається (як у випадку функції у = (рис. 3.1, а) — графік розривається в точці 0, і знак функції змінюється в точці 0);

2) якщо графік без розриву переходить із нижньої півплощини у верхню (або навпаки), але тоді графік перетинає вісь Ох (як у випадку функції у = 2х - 2, рис. 3.1, б). На осі Ох значення функції дорівнюють нулю. (Нагадаємо, що значення аргумента, при яких функція перетворюється на нуль, називають нулями функції.) Отже, будь-яка функція може змінити свій знак тільки в нулях або в точках, де розривається графік функції (у так званих точках розриву функції ).

Точки, у яких розривається графік функції f(x) , ми виокремлюємо, як правило, коли знаходимо область визначення цієї функції. Наприклад, якщо f(х) = , то її область визначення х ≠ 0 , і саме в точці 0 графік функції розривається (див. рис. 3.1, а). Якщо ж на якомусь проміжку області визначення графік функції не розривається і функція не дорівнює нулю, то за наведеним вище висновком вона не може в цьому проміжку змінити свій знак *. Отже, якщо позначити нулі функції на її області визначення, то область визначення розіб’ється на проміжки, усередині яких знак функції змінитися не може (і тому цей знак можна визначити в будь-якій точці з цього проміжку).

* Докладніше це поняття буде розглянуто в розділі 5.

Рис. 3.1

План і приклад розв’язування нерівностей методом інтервалів наведено в п. 7 табл. 6.

Детальне пояснення й обґрунтування методів розв'язування рівнянь і нерівностей та додаткові приклади їх розв'язування різними методами наведені в інтернет-підтримці підручника.

Запитання

1. Поясніть зміст понять: «корінь рівняння», «розв’язок нерівності», «розв’язати рівняння чи нерівність», «область допустимих значень рівняння чи нерівності», «рівносильні рівняння чи нерівності».

2. Сформулюйте відомі вам теореми про рівносильність рівнянь і рівносильність нерівностей. Проілюструйте їх на прикладах.

3. Сформулюйте план розв’язування нерівностей методом інтервалів. Проілюструйте використання цього плану на прикладі.

4. Поясніть на прикладах, як можна виконувати рівносильні перетворення рівнянь і нерівностей у тих випадках, які не описуються відомими теоремами про рівносильність.

5. Дайте означення рівняння-наслідку заданого рівняння. Поясніть на прикладі, як можна розв’язувати рівняння за допомогою рівнянь-наслідків.

Виявіть свою компетентність

6. Доберіть власні приклади до таблиці «Причини появи сторонніх коренів і втрати коренів під час розв’язування рівнянь» (див. інтернет-підтримку підручника). Поясніть, як у кожному випадку одержати правильне (чи повне) розв’язування рівняння.

* У розділі 5 ми уточнимо формулювання цієї властивості (так званих неперервних функцій). Для всіх відомих вам функцій (лінійних, квадратичних, степеневих, дробово-раціональних) ця властивість має місце.

Bправи

3.1. З’ясуйте, чи є друге рівняння наслідком першого, чи є ці рівняння рівносильними. Відповідь обґрунтуйте.

3.2°. Обґрунтуйте рівносильність рівнянь:

1) 5х - 8 = 7 - 3х і 5х + 3х = 7 + 8 ;

2) (2х - 1)(х² + 5) = х(х² + 6) і 2х - 1 = х.

3.3°. Знайдіть область допустимих значень (ОДЗ) рівняння:

3.4°. Обґрунтуйте, що задані рівняння не є рівносильними:

3.5°. Поясніть, які перетворення було використано під час переходу від першого рівняння до другого і чи можуть вони приводити до порушення рівносильності:

3.6. Визначте, чи є рівносильними задані рівняння на ОДЗ першого з них:

3.7. Розв’яжіть рівняння і вкажіть, яке перетворення могло привести до порушення рівносильності:

3.8. Розв’яжіть рівняння за допомогою рівнянь-наслідків і вкажіть, яке перетворення могло привести до порушення рівносильності:

3.9. Визначте умову, за якої є рівносильними рівняння:

3.10. З’ясуйте, чи може відбутися втрата коренів або поява сторонніх коренів, якщо:

1) рівняння (х² + 7) ∙ f(х) = 4х² + 28 замінити рівнянням f(х) = 4

2) рівняння (x - 1) ∙ f(x) = (x - 1) ∙ g(x) замінити рівнянням f(x) = g(x);

3) рівняння замінити рівнянням f(x) = g(x);

4) рівняння замінити рівнянням f(х) = 0.

Розв’яжіть нерівності 3.11-3.12 двома способами: за допомогою рівносильних перетворень і методом інтервалів.

3.11°.

3.12*.

3.13°. Знайдіть область визначення функції:

Виявіть свою компетентність

3.14. Перебуваючи за кордоном, ви можете користуватися послугами одного з двох мобільних операторів. Перший пропонує сплачувати 10 грн за першу хвилину і 2 грн за кожну наступну хвилину розмов, а другий — 7 грн за першу хвилину і 3 грн за кожну наступну хвилину. За пропозиціями кожного оператора складіть функції, які виражають вартість розмови залежно від її тривалості. Побудуйте в одній системі координат графіки обох функцій, вважаючи, що тривалість розмови не перевищує 6 хв. Який висновок можна зробити стосовно доцільності використання послуг кожного оператора?