Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§4 ЗАСТОСУВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ФУНКЦІЙ ДО РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ

Таблиця 7

ПОЯСНЕННЯ Й ОБҐРУНТУВАННЯ

1. Скінченна ОДЗ

Нагадаємо, що в разі, коли задано рівняння f(x) = g(x), спільну область визначення для функцій f(x) і g(x) називають областю допустимих значень цього рівняння. Зрозуміло, що кожний корінь заданого рівняння входить як до області визначення функції f(x), так і до області визначення функції g(x). Отже, кожний корінь рівняння обов’язково входить до ОДЗ цього рівняння. Це дозволяє в деяких випадках, аналізуючи ОДЗ, одержати розв’язки рівняння.

Наприклад, якщо задано рівняння то його ОДЗ можна записати за допомогою системи нерівностей

Розв’язуючи цю систему, одержуємо: тобто х = 2. Отже, ОДЗ заданого рівняння складається лише з одного значення х = 2. Але якщо тільки для одного числа потрібно з’ясувати, чи є воно коренем заданого рівняння, то для цього достатньо підставити це значення в рівняння. У результаті одержуємо правильну числову рівність (0 = 0). Отже, х= 2 — корінь цього рівняння, інших коренів бути не може, оскільки всі корені рівняння розташовані в його ОДЗ, а там немає інших значень, крім х = 2.

Розглянутий приклад дозволяє виділити орієнтир, наведений у п. 1 табл. 7

Зауваження. У тому випадку, коли ОДЗ — порожня множина (не містить жодного числа), ми можемо одразу дати відповідь, що задане рівняння не має коренів.

З обґрунтуванням інших орієнтирів застосування властивостей функцій для розв'язування рівнянь і додатковими прикладами їх використання можна ознайомитися, звернувшись до інтернет-підтримки підручника. Спробуйте провести таке обґрунтування самостійно.

ПРИКЛАД РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ЗАВДАНЬ

Приклад

Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання

ОДЗ:

Розглянемо функцію

На своїй області визначення ( t ≥ 0) ця функція є зростаючою (як сума двох зростаючих функцій). Тоді перше рівняння заданої системи, яке має вигляд f(x) = f(y), рівносильне рівнянню х = у . Отже, на ОДЗ задана система рівнянь рівносильна системі

Підставляючи х = у у друге рівняння системи, маємо 4y2 = 36; у = 9; у = ±3. Ураховуючи, що на ОДЗ у ≥ 0 , одержуємо у = 3 . Тоді х = у = 3.

Відповідь: (3; 3).

Коментар

Іноді властивості функцій удається використати під час розв’язування систем рівнянь. Якщо помітити, що в лівій і правій частинах першого рівняння заданої системи стоять значення однієї і тієї ж функції, яка є зростаючою (як сума двох зростаючих функцій), то рівність f(х) = f(y) для зростаючої функції можлива тоді й тільки тоді, коли х = у, оскільки однакових значень зростаюча функція може набувати тільки при одному значенні аргумента. (Зауважимо, що така сама властивість матиме місце і для спадної функції.)

Зауваження. Під час розв’язування завдань може бути використано таке твердження: якщо функція f(x) є зростаючою (або спадною) на певній множині, то на цій множині f(a) =f(β) <=> а = β .

Запитання

1. Поясніть на прикладах, як можна використати властивості функцій до розв’язування рівнянь.

2*. Обґрунтуйте правильність орієнтирів для розв’язування рівнянь із використанням властивостей функцій, які наведено в табл. 7.

Вправи

Розв’яжіть рівняння 4.1—4.4, використовуючи властивості відповідних функцій.

4.1°.

4.2.

4.3.

4.4.

4.5*. Розв’яжіть систему рівнянь:

Виявіть свою компетентність

4.6. Розгляньте графік (рис. 4.1), що ілюструє виробництво електроенергії в Україні (млрд. кВт∙год).

1) Знайдіть область визначення функції, що зображена на графіку.

2) Яка кількість електроенергії вироблялася в Україні в 1995 р.?

3) У який ще рік вироблялося стільки ж електроенергії, як у 1995 р.?

4) Чи були роки, коли електроенергії вироблялося менше ніж 150 млрд. кВт∙год?

5) У які роки електроенергії вироблялося більше ніж 200 млрд. кВт∙год?

Рис. 4.1





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити