Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - Є. П. Нелін - Ранок 2018 рік

Розділ 1 ФУНКЦІЇ, МНОГОЧЛЕНИ, РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

§6 МЕТОД МАТЕМАТИЧНОЇ ІНДУКЦІЇ

Під час розв’язування математичних завдань інколи виникає потреба обґрунтувати, що певна властивість виконується для довільного натурального числа n.

Перевірити задану властивість для кожного натурального числа ми не можемо: їх кількість нескінченна. Доводиться міркувати так:

1) я можу перевірити, що ця властивість виконується при n = 1;

2) я можу показати, що для кожного наступного значення n вона теж виконується, отже, властивість буде виконуватись для кожного наступного числа починаючи з одиниці, тобто для всіх натуральних чисел.

Такий спосіб міркувань при доведенні і математичних тверджень називається методом математичної індукції. Він є одним з універсальних методів доведення математичних тверджень, у яких містяться слова «для довільного натурального n (можливо, не сформульовані явно). Доведення за допомогою цього методу завжди складається з двох етапів:

1) початок індукції: перевіряють, чи виконується розглядуване твердження при n = 1;

2) індуктивний перехід: доводять, що коли задане твердження виконується для k, то воно виконується і для k + 1.

Таким чином, почавши з n = 1, ми на основі доведеного індуктивного переходу одержуємо справедливість сформульованого твердження для n = 2, 3, ..., тобто для будь-якого натурального n.

На практиці цей метод зручно використовувати за схемою, наведеною в табл. 9.

Таблиця 9

Приклади використання методу математичної індукції для розв'язування завдань на доведення нерівностей та подільності цілих чисел наведено в інтернет-підтримці підручника.

Вправи

Виконайте завдання 6.1—6.12 за допомогою методу математичної індукції.

6.1. при всіх натуральних n. Доведіть.

6.2. де n ∈ N. Доведіть.

6.3. де n ∈ N. Доведіть.

6.4. Доведіть: 1 ∙ 2 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 4 + ... + n(n + 1)(n + 2) = n(n + 1)(n + 2)(n + 3), де n ∈ N.

6.5. Добуток 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙...∙ n позначається n! (читається: «n факторіал»). Доведіть, що 1 ∙ 1! + 2 ∙ 2! + ... + n ∙ n! = (n + 1)! - 1, де n ∈ N.

6.6. Доведіть, що 4n > 7n - 5, якщо n ∈ N .

6.7. Доведіть, що 2n > n3 , якщо n ≥ 10, n ∈ N.

6.8. Доведіть, що при будь-якому натуральному n значення виразу:

1) 9n - 8n - 1 ділиться на 16;

2) 5n + 2 ∙ 3n - 3 ділиться на 8.

6.9. Доведіть, що значення виразу 7n + 3n - 2 ділиться на 8 при будь- якому натуральному n.

6.10. Доведіть, що значення виразу 23n+3 - 7n + 41 ділиться на 49 при будь-якому натуральному n.

6.11. Доведіть, що коли а1 = 2, а2 = 8, аn+2 - 4аn+1 - 3аn, то аn = 3n - 1, де n ∈ N.

Виявіть свою компетентність

6.12. За температури 0 °С металева рейка має довжину 10 = 25 м, а проміжок між сусідніми рейками дорівнює 12 мм. Унаслідок зростання температури відбувається теплове розширення рейки, при цьому її довжина змінюється за законом l(t) = l0 (l + at), де a = 1,2 ∙ 10-5°С-1 — коефіцієнт теплового розширення, t — температура (у градусах Цельсія). За якої температури проміжок між рейками зникне? Відповідь виразіть у градусах Цельсія.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити