Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

9. Ірраціональні нерівності

Розглянемо теореми, за допомогою яких розв’язують основні типи ірраціональних нерівностей. Доведення цих теорем аналогічні доведенню теореми 7.3.

Теорема 9.1. Нерівність виду рівносильна системі

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна системі

Звідси

Відповідь: [5; +∞).

Теорема 9.2. Нерівність виду рівносильна системі

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна системі

Звідси

Розв’язування цієї системи проілюстровано на рисунку 9.1. Отримуємо: 2,5 ≤ х < 3.

Відповідь: [2,5; 3).

Рис. 9.1

Теорема 9.3. Нерівність виду рівносильна сукупності двох систем

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності двох систем.

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Перепишемо дану нерівність у такому вигляді:

Ця нерівність рівносильна сукупності двох систем.

Друга нерівність системи рівносильна сукупності

Звідси

Тоді маємо:

Відповідь:

Нерівність прикладу 4 можна розв’язати інакше, використовуючи метод інтервалів. Справді, розв’язавши рівняння отримуємо два корені х = 3, х = -.

Розв’язування даної нерівності проілюстровано на рисунку 9.2.

Рис. 9.2

Під час розв’язування ірраціональних нерівностей можна користуватися більш загальною теоремою.

Теорема 9.4, Якщо для будь-якого х ∈ М виконуються нерівності f(x) ≥ 0 і g(x) ≥ 0, то нерівності f(x) > g(x) і (f(x))2k > (g(x))2k, k ∈ ℕ, рівносильні на множині М.

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть нерівність

Розв’язання. Обидві частини даної нерівності набувають невід’ємних значень на множині М = [3; +∞), яка є областю визначення цієї нерівності. Отже, дана нерівність на множині М рівносильна нерівності

Звідси

На множині М = [3; +∞) обидві частини останньої нерівності набувають невід’ємних значень. Тоді за теоремою 9.4 отримуємо:

Відповідь: [3; 4].

ВПРАВИ

9.1. Розв’яжіть нерівність:

9.2. Розв’яжіть нерівність:

9.3. Розв’яжіть нерівність:

9.4. Розв’яжіть нерівність:

9.5. Розв’яжіть нерівність:

9.6. Розв’яжіть нерівність:

9.7. Розв’яжіть нерівність:

9.8. Розв’яжіть нерівність:

9.9. Розв’яжіть нерівність:

9.10. Розв’яжіть нерівність:

9.11. Розв’яжіть нерівність:

9.12. Розв’яжіть нерівність:

9.13. Розв’яжіть нерівність:

9.14. Розв’яжіть нерівність

9.15. Розв’яжіть нерівність

9.16. При яких значеннях параметра а множиною розв’язків нерівності є проміжок завдовжки ?

9.17. При яких значеннях параметра а множиною розв’язків нерівності є проміжок завдовжки ?

9.18. При яких значеннях параметра система має розв'язки?

9.19. При яких значеннях параметра система має розв’язки?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити