Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

10. Радіанна міра кута

Досі для вимірювання кутів ви використовували градуси або частини градуса — мінути та секунди.

У багатьох випадках зручно користуватися іншою одиницею вимірювання кутів. Її називають радіаном.

Означення. Кутом в один радіан називають центральний кут кола, що спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

На рисунку 10.1 зображено центральний кут АОВ, що спирається на дугу АВ, довжина якої дорівнює радіусу кола. Величина кута АОВ дорівнює одному радіану. Записують: ∠AOB = 1 рад. Також говорять, що радіанна міра дуги АВ дорівнює одному радіану. Записують: ◡АВ = 1 рад.

Радіанна міра кута (дуги) не залежить від радіуса кола. Справді, розглянемо два кола зі спільним центром О і радіусами R і r (R > r) (рис. 10.2). Сектор АОВ гомотетичний сектору А1ОВ1 із центром О і коефіцієнтом .

Тоді якщо довжина дуги АВ дорівнює радіусу R, то довжина дуги А1В1 дорівнює радіусу r.

Рис. 10.1

Рис. 10.2

На рисунку 10.3 зображено коло радіуса R і дугу MN, ДОВЖИНІ якої дорівнює R. У цьому випадку вважають, що радіанна міра кута MON (дуги MN) дорівнює рад. Узагалі, якщо центральний кут кола радіуса R спирається на дугу, довжина якої дорівнює aR, то говорять, що радіанна міра цього центрального кута дорівнює а рад.

Довжина півкола дорівнює R. Отже, радіанна міра півкола дорівнює я рад. Градусна міра півкола становить 180°. Сказане дає змогу встановити зв’язок між радіанною та градусною мірами, а саме:

рад = 180°. (1)

Рис. 10.3

Звідси

Поділивши 180 на 3,14 (нагадаємо, що ≈ 3,14), можна встановити: 1 рад ≈ 57°.

Якщо обидві частини рівності (1) поділити на 180, то отримаємо:

(2)

За цією формулою легко знайти, що, наприклад,

Записуючи радіанну міру кута, зазвичай позначення «рад» опускають. Наприклад, записують: 135° = .

У таблиці наведено градусні та радіанні міри кутів, які зустрічаються найчастіше:

Використовуючи радіанну міру кута, можна отримати зручну формулу для обчислення довжини дуги кола. Оскільки центральний кут в 1 рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу R, то кут в а рад спирається на дугу, довжина якої дорівнює aR. Якщо довжину дуги, що містить а рад, позначити через І, то можна записати:

l = a R

На координатній площині розглянемо коло одиничного радіуса із центром у початку координат. Таке коло називають одиничним.

Нехай точка Р, починаючи рух від точки Р0 (1; 0), переміщується по одиничному колу проти годинникової стрілки. У певний момент часу вона займе положення, при якому ∠P0OP = = 120° (рис. 10.4). Говоритимемо, що точку Р отримано в результаті повороту точки Р0 навколо початку координат на кут (на кут 120°).

Записують:

Рис. 10.4

Рис. 10.5

Нехай тепер точка Р перемістилася по одиничному колу за годинниковою стрілкою та зайняла положення, при якому ∠POP0 = = 120° (рис. 10.5). Говоритимемо, що точку Р отримано в результаті повороту точки Р0 навколо початку координат на кут - (на кут -120°). Записують:

Узагалі, коли розглядають рух точки по колу проти годинникової стрілки (рис. 10.4), то кут повороту вважають додатним, а за годинниковою стрілкою (рис. 10.5) — від’ємним.

Рис. 10.6

Рис. 10.7

Розглянемо ще кілька прикладів. Звернемося до рисунка 10.6. Можна сказати, що точку А отримано в результаті повороту точки Р0 навколо початку координат на кут (на кут 90°) або на кут - (на кут -270°), тобто

Точку В отримано в результаті повороту точки Р0 на кут (на кут 180°) або на кут - (на кут -180°), тобто

Точку С отримано в результаті повороту точки Р0 на кут (на кут 270°) або на кут - (на кут -90°), тобто

Якщо точка Р, рухаючись по одиничному колу, зробить повний оберт, то можна говорити, що кут повороту дорівнює 2 (тобто 360°) або -2 (тобто -360°).

Якщо точка Р зробить півтора оберта проти годинникової стрілки, то природно вважати, що кут повороту дорівнює 3 (тобто 540°), якщо за годинниковою стрілкою — то -3 (тобто -540°).

Величина кута повороту як у радіанах, так і в градусах може виражатися будь-яким дійсним числом.

Кут повороту однозначно визначає положення точки Р на одиничному колі. Проте будь-якому положенню точки Р на колі відповідає безліч кутів повороту. Наприклад, на рисунку 10.7 точці Р відповідають такі кути повороту:

а також

Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність точку Р одиничного кола таку, що

Тим самим ми задали відображення множини дійсних чисел на множину точок одиничного кола. Зауважимо, що це відображення не є взаємно однозначним: кожній точці одиничного кола відповідає безліч дійсних чисел. Наприклад, на рисунку 10.7 точці Р відповідають усі дійсні числа виду  + 2k, k ∈ ℤ. Звернемо увагу на те, що множину чисел виду + 2k, k ∈ ℤ, можна задати й інакше. Наприклад: + 2, n ∈ ℤ, або - + 2m, m ∈ ℤ.

ВПРАВИ

10.1. Знайдіть радіанну міру кута, який дорівнює:

1) 25°; 2) 40°; 3) 100°; 4) 160°; 5) 210°; 6) 300°.

10.2. Знайдіть градусну міру кута, радіанна міра якого дорівнює:

10.3. Обчисліть довжину дуги кола, якщо відомо її радіанну міру а та радіус R кола:

10.4. Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:

10.5. Порівняйте величини кутів, заданих у радіанах:

10.6. Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кут:

10.7. Позначте на одиничному колі точку, яку отримаємо в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кут:

10.8. У якій координатній чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана в результаті повороту точки Р0(1; 0) на кут:

10.9. У якій координатній чверті знаходиться точка одиничного кола, отримана в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кут:

10.10. Знайдіть координати точки одиничного кола, отриманої в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кут:

10.11. Які координати має точка одиничного кола, отримана в результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кут:

10.12. Укажіть найменший додатний і найбільший від’ємний кути, на які треба повернути точку Р0 (1; 0), щоб отримати точку з координатами:

1) (0; 1); 2) (-1; 0); 3) (0; -1); 4) (1; 0).

10.13. Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р одиничного кола (рис. 10.8).

Рис. 10.8

10.14. Укажіть усі дійсні числа, які відповідають точці Р одиничного кола (рис. 10.9).

Рис. 10.9

10.15. Знайдіть координати точок одиничного кола, отриманих у результаті повороту точки Р0 (1; 0) на кути:

10.16. Побудуйте на одиничному колі точки, яким відповідає така множина чисел:

10.17. Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку Р0 (1; 0), щоб отримати точку:

10.18. Знайдіть усі кути, на які потрібно повернути точку Р0 (1; 0), щоб отримати точку:

10.19. Доведіть, що площу сектора, який містить дугу в а рад, можна обчислити за формулою де R — радіус кола.

10.20. Спростіть:

10.21. Спростіть:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити