§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

11. Тригонометричні функції числового аргументу

Поняття «синус», «косинус», «тангенс» і «котангенс» кутів від 0° до 180° знайомі вам з курсу геометрії 9 класу. Узагальнимо ці поняття для довільного кута повороту а.

Уводячи означення тригонометричних функцій кутів від 0° до 180°, ми користувалися одиничним півколом. Для довільних кутів повороту природно звернутися до одиничного кола.

Означення. Косинусом і синусом кута повороту а називають відповідно абсцису х і ординату у точки Р(х; у) одиничного кола такої, що (рис. 11.1).

Записують: cos а = х, sin а = у.

Рис. 11.1

Рис. 11.2

Точки Р₀, А, В і С (рис. 11.2) мають відповідно координати (1; 0), (0; 1), (-1; 0), (0; -1). Ці точки отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) відповідно на кути

Отже, користуючись даним означенням, можна скласти таблицю:

ПРИКЛАД 1 Знайдіть усі кути повороту а, при яких: 1) sin а = 0; 2) cos а = 0.

Розв’язання. 1) Ординату, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки одиничного кола: Р₀ і В (рис. 11.2). Ці точки отримано в результаті поворотів точки Р₀ на такі кути:

0, , 2, 3, ... або

, 2, 3, ... .

Усі ці кути можна знайти за допомогою формули a = k, де k ∈ ℤ. Отже, sin а = 0 при а = k, де k ∈ ℤ.

2) Абсцису, яка дорівнює нулю, мають тільки дві точки одиничного кола: А і С (рис. 11.2). Ці точки отримано в результаті поворотів точки Р₀ на такі кути:

Усі ці кути можна знайти за допомогою формули а = + k, де k ∈ ℤ. Отже, cos а = 0 при а = + k, де k ∈ ℤ.

Означення. Тангенсом кута повороту а називають відношення синуса цього кута до його косинуса:

Означення. Котангенсом кута повороту а називають відношення косинуса цього кута до його синуса:

Наприклад,

 

З означення тангенса випливає, що тангенс визначений для тих кутів повороту а, для яких cos а ≠ 0, тобто при а ≠ + k, k ∈ ℤ.

З означення котангенса випливає, що котангенс визначений для тих кутів повороту а, для яких sin а ≠ 0, тобто при а ≠ k, k ∈ ℤ .

Ви знаєте, що кожному куту повороту а відповідає єдина точка одиничного кола. Отже, кожному значенню кута а відповідає єдине число, яке є значенням синуса (косинуса, тангенса для а ≠ + k, котангенса для а ≠ k, k ∈ ℤ) кута а. Через це залежність значення синуса (косинуса, тангенса, котангенса) від величини кута повороту є функціональною.

Функції f(a) = sin а, g(a) = cos а, h(a) = tg a, p(a) = ctg а, які відповідають цим функціональним залежностям, називають тригонометричними функціями кута повороту а.

Кожному дійсному числу а поставимо у відповідність кут а рад. Це дає змогу розглядати тригонометричні функції числового аргументу.

Наприклад, запис sin 2 означає «синус кута 2 радіани».

З означень синуса та косинуса випливає, що областю визначення функцій у = sin х і у = cos х є множина ℝ.

Оскільки абсциси й ординати точок одиничного кола набувають усіх значень від -1 до 1 включно, то областю значень функцій у = sin х і у = cos х є проміжок [-1; 1].

Кутам повороту а і a + 2n, де n ∈ ℤ, відповідає одна й та сама точка одиничного кола, тому

sin а = sin (a + 2n), n ∈ ℤ

cos а = cos (a + 2n), n ∈ ℤ

Областю визначення функції у = tgx є множина

Областю визначення функції y = ctgx є множина {х ∈ ℝ. | х ≠ k, k ∈ ℤ}.

Щоб знайти області значень цих функцій, звернемося до такої геометричної інтерпретації.

Проведемо пряму х = 1 (рис. 11.3). Вона проходить через точку Р₀(1; 0) і дотикається до одиничного кола.

Нехай точку Р отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) на кут а і розміщено так, як показано на рисунку 11.3. Пряма ОР перетинає пряму х = 1 у точці М . Проведемо PN ⊥ОР₀.

Рис. 11.3

Із подібності трикутників OPN і ОМР₀ випливає, що

Оскільки PN = sin a, ON = cos а, ОР₀ = 1, то

Отже, ордината точки М дорівнює tg а.

Рис. 11.4

Рис. 11.5

При будь-якому іншому положенні точки Р на одиничному колі виконується таке: якщо пряма ОР перетинає пряму х = 1, то ордината точки перетину дорівнює tg а. Тому пряму х = 1 називають віссю тангенсів.

Зрозуміло, що внаслідок зміни положення точки Р на одиничному колі (рис. 11.4) точка М може зайняти довільне положення на прямій х = 1, тобто ординатою точки М може бути будь-яке число. Це означає, що областю значень функції у = tg х є множина М.

Нехай точку Р отримано в результаті повороту точки Р₀(1; 0) на кут а і розміщено так, як показано на рисунку 11.5. Можна показати, що коли пряма ОР перетинає пряму у = 1, то абсциса точки перетину дорівнює ctg а (рис. 11.5); тому пряму у = 1 називають віссю котангенсів.

З рисунка 11.6 зрозуміло, що областю значень функції у = ctg х є множина ℝ.

Якщо точки Р₁, О і Р₂ лежать на одній прямій, то прямі ОР₁ і ОР₂ перетинають вісь тангенсів (котангенсів) в одній і тій самій точці М (рис. 11.7, 11.8). Це означає, що тангенси (котангенси) кутів, які відрізняються на , 2, 3 і т. д., рівні. Звідси

tg а = tg (а + n), n ∈ ℤ

ctg а = ctg (а + n), n ∈ ℤ

Рис. 11.6

Рис. 11.7

Рис. 11.8

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що

Розв'язання. Нехай точки Р₁ і Р₂ отримано в результаті поворотів точки Р₀ на кути а і а + відповідно. Опустимо перпендикуляри Р₁А і Р₂В на осі х і у відповідно (рис. 11.9). Оскільки ∠P₁OP₂ = , то можна встановити, що ∆ОР₁А = = ∆ОР₂В. Звідси ОА = ОВ. Отже, абсциса точки Р₁ дорівнює ординаті точки Р₂, тобто

Випадки розміщення точок Р₁ і Р₂ в інших координатних чвертях можна розглянути аналогічно.

Розгляньте самостійно випадки, коли точки P₁ і Р₂ лежать на координатних осях.

Рис. 11.9

ПРИКЛАД 3 Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

Розв’язання. 1) Оскільки -1 ≤ cosa ≤ 1, то -4 ≤ -4cosa ≤ 4; -3 ≤ 1 - 4cosa ≤ 5. Отже, найменше значення даного виразу дорівнює -3; вираз набуває його при cosa = 1. Найбільше значення дорівнює 5; вираз набуває його при cos a = -1.

Відповідь: 5; -3.

2) Маємо:

Зрозуміло, що вираз 2 - sin a

набуває всіх значень від 1 до 3. Найменше значення виразу 2 - sin а, яке дорівнює 1, досягається лише при sina = 1, проте при цьому cos a = 0 і вираз не визначений. Отже, найменшого значення не існує.

Аналогічно вираз 2 - sinа набуває найбільшого значення лише при sin a = -1, проте при цьому також cos a = 0. Отже, і найбільшого значення не існує.

Відповідь: не існують.

ПРИКЛАД 4 Знайдіть область значень виразу:

Розв’язання. 1) Маємо: -1 ≤ cos2x ≤ 1; 1 ≤ 2 - cos2x ≤ 3;

Зрозуміло, що коли значення cos 2х змінюється від -1 до 1 включно, то значення виразу змінюється від до 1 включно.

Відповідь:

2) Маємо: -1 ≤ sinx ≤ 1; -3 ≤ 3sinx ≤ 3; -5 ≤ 3sinx - 2 ≤ 1.

При 0 < 3sinx - 2 ≤ 1 отримуємо, що причому рівність досягається при sin х = 1.

При -5 ≤ 3sinx - 2 < 0 отримуємо, що причому рівність досягається при sin х = -1.

Отже, область значень даного виразу — множина

ВПРАВИ

11.1. Обчисліть значення виразу:

11.2. Чому дорівнює значення виразу:

11.3. Чи є можливою рівність:

11.4. Чи може дорівнювати числу значення:

1) sin а; 2) cos а; 3) tg а; 4) ctg а?

11.5. Укажіть найбільше і найменше значення виразу:

1)2 - sin а; 2) 6 - 2 cos а; 3) sin² а; 4) 2 cos² а - 3.

11.6. Укажіть найбільше і найменше значення виразу:

1) -5 cos а; 2) cos а - 2; 3) 5 + sin² а; 4) 7 - 3 sin а.

11.7. Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:

1) sin х = 1; 2) sin х = -1.

11.8. Знайдіть усі значення х, при яких виконується рівність:

1) cosx = 1; 2) cosx = -1.

11.9. При яких значеннях а можлива рівність:

1) sin х = а² + 1; 2) cos х = а² - 1; 3) cos х = а² - 5а + 5?

11.10. При яких значеннях а можлива рівність:

1) sin х = а - 2; 2) cos х = а² + 2; 3) sin х = 2а - а² - 2?

11.11. Порівняйте значення виразів 2 sin а і sin² а, якщо 0 < а < .

11.12. Порівняйте значення виразів:

1) cos 10° і cos 10° cos 20°; 2) sin 40° і sin² 40°.

11.13. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

11.14. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

11.15. Знайдіть область значень виразу:

11.16. Знайдіть область значень функції:

11.17. Доведіть, що

11.18. Доведіть, що cos а = -cos (я + а).

СТАВАЙ ОСТРОГРАДСЬКИМ!

Видатний український математик Михайло Васильович Остроградський народився в селі Пашенівка на Полтавщині. У 1816-1820 рр. він навчався в Харківському університеті, а потім удосконалював математичну освіту, навчаючись у Франції в таких великих учених, як П’єр Симон Лаплас (1749-1827), Симеон Дені Пуассон (1781-1840), Огюстен Луї Коші (1789-1857), Жан Батист Жозеф Фур’є (1768-1830).

Серед величезної наукової спадщини, яку залишив нам Михайло Остроградський, значну роль відіграють роботи, пов’язані з дослідженням тригонометричних рядів і коливань. Багато важливих математичних теорем сьогодні носять ім’я Остроградського.

Крім наукових праць, Остроградський написав низку чудових підручників для молоді, зокрема «Програму і конспект тригонометрії». Сам Остроградський надавав питанню викладання тригонометрії такого великого значення, що це стало предметом доповіді в Академії наук.

Науковий авторитет Остроградського був настільки високим, що в ті часи, відправляючи молодь на навчання, говорили: «Ставай Остроградським!» Це побажання актуальне й сьогодні, тому

«Ставай Остроградським!»

Михайло Васильович Остроградський (1801-1862)