§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

12. Знаки значень тригонометричних функцій

Нехай точку Р отримано в результаті повороту точки Р₀ (1; 0) навколо початку координат на кут а. Якщо точка Р належить І координатній чверті, то говорять, що а є кутом І чверті. Аналогічно можна говорити про кути II, III і IV чвертей.

Наприклад, і —300° — кути І чверті, і -185° — кути II чверті, і -96° — кути III чверті, 355° і - — кути IV чверті.

Кути виду , k ∈ ℤ, не відносять до жодної чверті.

Точки, розміщені в І чверті, мають додатні абсцису й ординату.

Отже, якщо а — кут І чверті, то sin а > 0, cos а > 0.

Якщо а — кут II чверті, то sin а > 0, cos а < 0.

Якщо а — кут III чверті, то sin а < 0, cos а < 0.

Якщо а — кут IV чверті, то sin а < 0, cos а > 0.

Знаки значень синуса та косинуса схематично показано на рисунку 12.1.

Рис. 12.1

Рис. 12.2

Оскільки то тангенси й котангенси кутів І і III чвертей є додатними, а кутів II і IV чвертей — від’ємними (рис. 12.2).

Нехай точки Р₁ і Р₂ отримано в результаті повороту точки Р₀ (1; 0) на кути а і -а відповідно (рис. 12.3).

Для будь-якого кута а точки Р₁ і Р₂ мають рівні абсциси та протилежні ординати. Тоді з означень синуса та косинуса випливає, що для будь-якого а ∈ ℝ

cos (-а) = cos а

sin (-а) = -sin а

Рис. 12.3

Отримані властивості дають змогу зробити й такі висновки:

tg (-а) = -tg а

ctg (-а) = -ctg а

Справді,

ПРИКЛАД Порівняйте sin 200° і sin (-200°).

Розв’язання. Оскільки кут 200° — це кут III чверті, а кут -200° — кут II чверті, то sin 200° < 0, sin (-200°) > 0. Отже, sin 200° < sin (-200°).

ВПРАВИ

12.1. Додатним чи від’ємним числом є значення тригонометричної функції:

12.2. Який знак має:

12.3. Знайдіть значення виразу:

12.4. Знайдіть значення виразу:

12.5. Відомо, що < а < . Порівняйте з нулем значення виразу:

12.6. Відомо, що < β < . Порівняйте з нулем значення виразу:

12.7. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

12.8. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

1) sin 200° і sin (-250°); 3) cos 250° і cos 290°;

2) ctg 100° і ctg 80°; 4) cos 6,2 і sin 5.

12.9. Відомо, що а — кут III чверті. Спростіть вираз:

12.10. Відомо, що (3 — кут IV чверті. Спростіть вираз:

12.11. Кутом якої чверті є кут а, якщо:

12.12. Кутом якої чверті є кут а, якщо: