Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ
13. Періодичні функції
Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через 27,3 доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця; якщо сьогодні субота, то через 7 діб знову настане субота.
Подібні явища та процеси називають періодичними, а функції, які є їхніми математичними моделями, — періодичними функціями.
Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності:
sin (х - 2
) = sin х = sin (х + 2);
cos (х - 2) = cos х = cos (х + 2).
Це означає, що значення функцій синус і косинус періодично повторюються зі зміною аргументу на 2. Функції у = sin х і у = cos х є прикладами періодичних функцій.
Означення. Функцію f називають періодичною, якщо існує таке число Т ≠ 0, що для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності
f(х - Т) = f(x) = f(x + T).
Число Т називають періодом функції f.
Виконання рівностей f(x - Т) = f(х) = f(х + Т) для будь-якого х ∈ D(f) означає, що область визначення періодичної функції f має таку властивість: якщо х0 ∈ D(f), то (х0 - Т) ∈D(f) і (х0 + Т) ∈ D(f).
Ви знаєте, що для будь-якого х із області визначення функції у = tg х виконуються рівності
tg(x - 
) = tg x = tg(x + ).
Також для будь-якого х із області визначення функції у = ctg х виконуються рівності
ctg(x - ) = ctg x = ctg(x + ).
Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс і котангенс є періодичними з періодом л.
Періодичною є функція дробова частина числа у = {х}. Її періодом є будь-яке ціле число, відмінне від нуля. Справді, для будь-яких х ∈ R і k ∈ ℤ виконується рівність {х + k} = {х}.
Розглянемо деякі властивості періодичних функцій.
Теорема 13.1. Якщо число Т є періодом функції f, тo й число — Т також є періодом функції f.
Справедливість цієї теореми випливає з означення періодичної функції.
Теорема 13.2. Якщо числа Т1 і Т2 є періодами функції f, причому Т1 + Т2 ≠ 0, то число Т1 + Т2 також є періодом функції f.
Доведення. Для будь-якого х ∈ D(f) можна записати: f(x) = f(x + Т1) = f((х + Т1) + T2) = f(x + (T1 + T2));
f(х) = f(x - Т1) = f((x - Т1) - Т2) = f(x - (Т1 + T2)).
Звідси для будь-якого x ∈ D(f) виконуються рівності f(x - (Т1 + Т2)) = f(x) = f(x + (Т1 + T2)).
Отже, число Т1 + Т2 є періодом функції f.
Наслідок Якщо число Т є періодом функції f, тo будь-яке число виду nТ, де n ∈ ℤ, n ≠ 0, також є її періодом.
Доведіть цей факт самостійно.
Остання властивість означає, що кожна періодична функція має безліч періодів.
Наприклад, будь-яке число виду 2 n, n ∈ ℤ, n ≠ 0, є періодом функцій у = sin х і у = cos х; будь-яке число виду пn, n ∈ ℤ, n ≠ 0, є періодом функцій у = tg x і у = ctg x.
Теорема 13.3. Якщо число Т є періодом функції y = f(x), тo число 
, де k ≠ 0, є періодом функції у = f(kx + b).
Доведення. Для будь-якого х із області визначення функції у = f(kx + b) можна записати:
Звідси для будь-якого х із області визначення функції у = f(kx + b) виконуються рівності
Отже, число є періодом функції у = f(kx + b).
Якщо серед усіх періодів функції існує найменший додатний період, то його називають головним періодом цієї функції.
Наприклад, головним періодом функції у = {х} є число 1.
Теорема 13.4. Головним періодом функцій у = sin х і у = cos х є число 2; головним періодом функцій у = tg х і у = ctg х є число .
Доведення. Проведемо доведення для функції у = sin х (решту тверджень теореми можна довести аналогічно).
Якщо число Т є періодом функції у = sin х, то рівність sin (х + Т) = sin х виконується при будь-якому дійсному значенні x, зокрема при х = -.
Тоді отримуємо:
Звідси 
= k; Т = 2 k, k ∈ ℤ. З останньої рівності випливає, що будь-який період функції у = sin х має вигляд 2 k, k ∈ ℤ.
Найменшим додатним числом виду 2 k, k ∈ ℤ, є число 2 — період функції у = sin х.
Отже, число 2 — головний період функції у = sin х.
Застосовуючи теореми 13.3 і 13.4 до функцій у = sin (kx + b) і у = cos (kx + b), де k ≠ 0, отримуємо, що число 
є періодом, а число 
є головним періодом цих функцій.
Головним періодом функцій у = tg(kx + и) і у - ctg(kx + b), де k ≠ 0, є число 
Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний період. Наприклад, функція у = с, де с — деяке число, є періодичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, є її періодом. Отже, ця функція не має головного періоду.
Існують періодичні функції, відмінні від константи, які теж не мають головного періоду.
Наприклад, розглянемо функцію Діріхле1 
Ця функція є періодичною, причому будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, є її періодом. Це випливає з того, що сума двох раціональних чисел — число раціональне, а сума раціонального та ірраціонального чисел — число ірраціональне. Отже, функція Діріхле не має головного періоду.
1 Нагадаємо, що 
Теорема 13.5. Якщо Т — головний період функції п, тo будь- який період функції f має вигляд nТ, де n ∈ ℤ і n ≠ 0.
Доведення. Нехай Т1 — період, відмінний від указаних. Тоді можна підібрати таке ціле n і таке дійсне а ∈ (0; 1), що Т1 = nТ + аТ. Маємо:
f(х) = f(х + T1) = f(x + nT + aT) = f(x + aT),
f(x) = f(x - Т1) = f (х - nТ - аТ) = f(x - aT).
Отже, аТ — період. Проте 0 < аТ < Т. Отримали суперечність (оскільки за умовою теореми Т — головний період).
ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу:
Розв’язання
На рисунку 13.1 зображено графік деякої періодичної функції f з періодом Т, D(f) = ℝ.
Рис.13.1
Фрагменти графіка цієї функції на проміжках [0; Т], [Т; 2Т], [2Т; 3T] і т. д., а також на проміжках [-Т; 0], [-2Т; -T], [-3Т; -2Т] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яку із цих фігур можна отримати з будь-якої іншої паралельним перенесенням на вектор з координатами (nТ; 0), де n — деяке ціле число.
Узагалі, якщо проміжки [а; b] і [с; d] є такими, що с = а + Тn, d = b + Тn, n ∈ ℤ, то частини графіка функції f на цих проміжках є рівними фігурами (рис. 13.2).
Рис.13.2
ПРИКЛАД 2 На рисунку 13.3 зображено фрагмент графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку 
Рис. 13.3
Рис. 13.4
Розв’язання. Побудуємо образи зображеної фігури, отримані в результаті паралельного перенесення на вектори з координатами (Т; 0), (2Т; 0) і (-Т; 0). Об’єднання даної фігури та отриманих образів — шуканий графік (рис. 13.4).
ПРИКЛАД 3 Покажіть, що число Т = є періодом функції 
Розв’язання. Областю визначення функції f є множина значень змінної х, при яких cos х = 0, тобто
Тоді якщо х ∈ D(f), то (х + ) ∈ D(f) і (х - ) ∈ D(f).
Оскільки Е (f) = {0}, то f(x - ) = f(х) = f(х + ) = 0.
ПРИКЛАД 4 Доведіть, що функція f(x) = 
не є періодичною.
Розв’язання. Зауважимо, що D(f) = (-∞;2)U(2;+∞). Припустимо, що функція f є періодичною з періодом Т ≠ 0. Очевидно, що х0 = 2 - Т ∈ D(f), тоді х0 + Т = 2 - Т + Т є D(f), тобто 2 ∈ D(f) — отримали суперечність.
Означення. Додатні числа а і b називають сумірними (спільномірними), якщо 
— раціональне число. Якщо ірраціональне число, то числа а і b є несумірними.
Наприклад, числа в парах 3 і 5, 
i 
є сумірними, а числа 1 і 
є несумірними.
Означення. Число Т, що є як періодом функції f, так і періодом функції g, називають спільним періодом функцій f i g.
Наприклад, число Т = 2 є спільним періодом функцій у = sin х і у = tg х.
Теорема 13.6. Якщо існують період Tf функції f і період Tg функції g такі, що числа Tf і Tg є сумірними, то функції f i g мають спільний період.
Доведення. Оскільки періоди Tf і Tg є сумірними, то 
де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ. Звідси Tf ∙ n = Tg ∙ m. Тоді за наслідком з теореми 13.2 число Т = Tf ∙ n = Tg ∙ m є періодом як функції f, так і функції g.
Доведення цієї теореми показує, як можна знаходити спільний період двох функцій.
ПРИКЛАД 5 Знайдіть період функції 
Розв’язання. Якщо ми знайдемо спільний період функцій 
то цим самим знайдемо період даної функції.
Скориставшись теоремою 13.3, запишемо:
Тоді 
Отже, періоди Tf і Tg є сумірними, а тому функції f і g мають спільний період Т. Він дорівнює 7Tf або 10Тg, тобто 
Відповідь: 
ВПРАВИ
13.1. Знайдіть значення виразу:
13.2. Знайдіть значення виразу:
13.3. На рисунку 13.5 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; ЗТ].
Рис. 13.5
13.4. На рисунку 13.6 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; 2Т].
Рис. 13.6
13.5. Доведіть, що число Т є періодом функції f:
13.6. Доведіть, що числа 
і -4 є періодами функції f(x) = cos 3х.
13.7. Знайдіть головний період функції:
13.8. Знайдіть головний період функції:
13.9. Функція f визначена на ℝ. Доведіть, що є періодичною функція:
1) y = f(cosx); 2) y = f(sinx).
13.10. Для довільної функції f доведіть періодичність функції:
1) y = f(tgx); 2) y = f(ctgx).
13.11. Доведіть, що число є періодом функції 
13.12. Знайдіть головний період функції 
13.13. Доведіть, що функція 
не є періодичною.
13.14. Доведіть, що функція 
не є періодичною.
13.15. Знайдіть період функції:
13.16. Знайдіть період функції:
13.17. При яких значеннях параметра а число є періодом функції 
13.18. При яких значеннях параметра а число 
є періодом функції 
13.19. Знайдіть усі раціональні значення параметра а, при яких функції 
мають спільний період.
13.20. При яких значеннях параметра а, де а ∈ ℚ, серед періодів функцій 
знайдуться однакові?
13.21. При яких цілих значеннях n число 5 є періодом функції 
13.22. Функцію f задано формулою
Чи має функція f додатний період, менший від 2?
13.23. Чи існує функція, для якої кожне ірраціональне число є її періодом, проте не існує раціонального числа, яке було б її періодом?
13.24. Відомо, що функція у = (f(х))3 + f(х) є періодичною. Доведіть, що функція f також є періодичною.
13.25. Функція f є такою, що функція у = (f(х))2 + f(х) є періодичною. Чи обов’язково функція f також є періодичною?
13.26. При яких значеннях параметра а рівняння 2 cos ах - 3 tg2 х - 2 = 0 має єдиний розв’язок?
13.27. При яких значеннях параметра а рівняння 1 + sin2 ах = cos х має єдиний розв’язок?
13.28. Періодична функція f є такою, що серед чисел f(1), f(2), … є нескінченна кількість різних. Доведіть, що кожний період функції f — число ірраціональне.
13.29. Чи існує періодична функція f така, що f(n) = n для всіх n ∈ ℕ
13.30. Неперіодичні функції f i g визначені на ℝ. Чи може функція у = f(g(x)) бути періодичною?
13.31. Функція f є такою, що f(0) = 1 і при всіх х ∈ ℝ виконується рівність 
Знайдіть f(100).
13.32. Функція f є такою, що при всіх х ∈ ℝ виконується рівність f (х +1) + f (х - 1) = f(х). Доведіть, що f — періодична функція.
13.33. Доведіть:
1) періодичність функції 
2) рівність 
для всіх х ∈ ℝ.
Про суму періодичних функцій
Функції
є періодичними. У прикладі 5 п. 13 ми з’ясували, що функція у = f(x) + g(x) також є періодичною.
Виникає природне запитання: «Чи завжди сума двох періодичних функцій є періодичною функцією?»
Розглянемо функції 
Ці функції є періодичними (див. приклад 3 і задачу 13.11 п. 13). При цьому
Очевидно, що D(f) ⋂ D(g) = 0. Отже, функція у = f(х) + g(x) не визначена при жодному значенні х.
Спробуємо підкорегувати питання. Нехай періодичні функції f і g такі, що D(f) ⋂ D(g) ≠ 0. Чи завжди функція y = f(x) + g(x)
є періодичною?
Якщо існують сумірні періоди Tf і Tg функцій fig відповідно, то згідно з теоремою 13.6 функції f i g мають спільний період, а отже, функція у = f(x) + g(x) є періодичною.
Залишається розглянути випадок, коли будь-який додатний період функції f є несумірним з будь-яким додатним періодом функції g.
Наприклад, розглянемо функції f(х) = cos х і g(x) = cos (x). Очевидно, що функції f і g не мають сумірних періодів.
Доведемо, що функція у = cos x + cos (x) є неперіодичною.
Припустимо супротивне. Нехай число Т ≠ 0 є періодом цієї функції. Тоді для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність
При х = 0 ця рівність набуває такого вигляду:
Оскільки cos Т ≤ 1 і cos (T) ≤ 1, то доходимо висновку, що
З першого рівняння системи знаходимо, що Т = 2 m, m ∈ ℤ, з другого — 
n ∈ ℤ. Це означає, що для деяких цілих m i n має виконуватися рівність 
Звідси 
Але з огляду на ірраціональність числа остання рівність можлива лише при m = n = 0, що суперечить умові Т ≠ 0.
Після цього прикладу може скластися враження, що коли періодичні функції f і g не мають сумірних періодів і D(f) ⋂ D(g) ≠ 0, то функція у = f(x) + g(x) завжди є неперіодичною. Проте це не так. Розглянемо функції
де а і b — довільні цілі числа.
Наприклад,
оскільки число неможливо подати у вигляді а + b із цілими а і b.
Множину чисел виду а + b , де а і b — цілі числа, позначатимемо Z (). Зауважимо, що кожне число х ∈ ℤ () однозначно задає відповідні числа а і b.
Неважко переконатися, що Т = 1 є періодом функції f. Покажемо, що це число є головним періодом.
Припустимо, що функція f має період Т1∈ (0; 1). Розглянемо два випадки.
1) Т ∈ ℤ (), тобто Т = а + b , де а і b — деякі цілі числа.
Зазначимо, що b ≠ 0, інакше Т1 — ціле і Т1 ∉ (0; 1). Тоді рівність f(x) = f(x + T1) не виконується, наприклад, при х = 0. Справді, f(0) = 0, a f(T) = f(a + b) = b.
2) Т ∉ Z ().
Тоді рівність f(x) = f(x + T1) не виконується, на приклад, при х = . Справді, f() = 1, а f( + Т1) = 0, оскільки 
Аналогічно можна показати, що головним періодом функції g є число .
Отже, згідно з теоремою 13.5 періодами функції f є лише цілі числа n, де n ≠ 0, а періодами функції g — лише числа виду k, де k ∈ ℤ \ {0}. Тоді зрозуміло, що жодні два періоди функцій f i g не є сумірними.
Функція y = f(x) + g(x) визначається так:
де а і b — довільні цілі числа.
Легко перевірити, що число Т = - 1 є періодом цієї функції.
Отже, ми показали, що коли будь-які додатні періоди функцій f і g несумірні та D(f) ⋂ D(g) ≠ ∅, то функція y = f(x) + g(x) може бути як неперіодичною, так і періодичною.
Проте можна довести такий факт: якщо неперервні на ℝ. періодичні функції f і g не мають сумірних періодів, то функція у = f(x) + g(x) є неперіодичною.