§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

13. Періодичні функції

Багато процесів і подій, які відбуваються в навколишньому світі, повторюються через рівні проміжки часу. Наприклад, через 27,3 доби повторюється значення відстані від Землі до Місяця; якщо сьогодні субота, то через 7 діб знову настане субота.

Подібні явища та процеси називають періодичними, а функції, які є їхніми математичними моделями, — періодичними функціями.

Ви знаєте, що для будь-якого числа х виконуються рівності:

sin (х - 2) = sin х = sin (х + 2);

cos (х - 2) = cos х = cos (х + 2).

Це означає, що значення функцій синус і косинус періодично повторюються зі зміною аргументу на 2. Функції у = sin х і у = cos х є прикладами періодичних функцій.

Означення. Функцію f називають періодичною, якщо існує таке число Т ≠ 0, що для будь-якого х із області визначення функції f виконуються рівності

f(х - Т) = f(x) = f(x + T).

Число Т називають періодом функції f.

Виконання рівностей f(x - Т) = f(х) = f(х + Т) для будь-якого х ∈ D(f) означає, що область визначення періодичної функції f має таку властивість: якщо х₀ ∈ D(f), то (х₀ - Т) ∈D(f) і (х₀ + Т) ∈ D(f).

Ви знаєте, що для будь-якого х із області визначення функції у = tg х виконуються рівності

tg(x - ) = tg x = tg(x + ).

Також для будь-якого х із області визначення функції у = ctg х виконуються рівності

ctg(x - ) = ctg x = ctg(x + ).

Тоді з означення періодичної функції випливає, що тангенс і котангенс є періодичними з періодом л.

Періодичною є функція дробова частина числа у = {х}. Її періодом є будь-яке ціле число, відмінне від нуля. Справді, для будь-яких х ∈ R і k ∈ ℤ виконується рівність {х + k} = {х}.

Розглянемо деякі властивості періодичних функцій.

Теорема 13.1. Якщо число Т є періодом функції f, тo й число — Т також є періодом функції f.

Справедливість цієї теореми випливає з означення періодичної функції.

Теорема 13.2. Якщо числа Т₁ і Т₂ є періодами функції f, причому Т₁ + Т₂ ≠ 0, то число Т₁ + Т₂ також є періодом функції f.

Доведення. Для будь-якого х ∈ D(f) можна записати: f(x) = f(x + Т1) = f((х + Т₁) + T₂) = f(x + (T₁ + T₂));

f(х) = f(x - Т₁) = f((x - Т₁) - Т₂) = f(x - (Т₁ + T₂)).

Звідси для будь-якого x ∈ D(f) виконуються рівності f(x - (Т₁ + Т₂)) = f(x) = f(x + (Т₁ + T₂)).

Отже, число Т₁ + Т₂ є періодом функції f.

Наслідок Якщо число Т є періодом функції f, тo будь-яке число виду nТ, де n ∈ ℤ, n ≠ 0, також є її періодом.

Доведіть цей факт самостійно.

Остання властивість означає, що кожна періодична функція має безліч періодів.

Наприклад, будь-яке число виду 2 n, n ∈ ℤ, n ≠ 0, є періодом функцій у = sin х і у = cos х; будь-яке число виду пn, n ∈ ℤ, n ≠ 0, є періодом функцій у = tg x і у = ctg x.

Теорема 13.3. Якщо число Т є періодом функції y = f(x), тo число , де k ≠ 0, є періодом функції у = f(kx + b).

Доведення. Для будь-якого х із області визначення функції у = f(kx + b) можна записати:

Звідси для будь-якого х із області визначення функції у = f(kx + b) виконуються рівності

Отже, число є періодом функції у = f(kx + b).

Якщо серед усіх періодів функції існує найменший додатний період, то його називають головним періодом цієї функції.

Наприклад, головним періодом функції у = {х} є число 1.

Теорема 13.4. Головним періодом функцій у = sin х і у = cos х є число 2; головним періодом функцій у = tg х і у = ctg х є число .

Доведення. Проведемо доведення для функції у = sin х (решту тверджень теореми можна довести аналогічно).

Якщо число Т є періодом функції у = sin х, то рівність sin (х + Т) = sin х виконується при будь-якому дійсному значенні x, зокрема при х = -.

Тоді отримуємо:

Звідси = k; Т = 2 k, k ∈ ℤ. З останньої рівності випливає, що будь-який період функції у = sin х має вигляд 2 k, k ∈ ℤ.

Найменшим додатним числом виду 2 k, k ∈ ℤ, є число 2 — період функції у = sin х.

Отже, число 2 — головний період функції у = sin х.

Застосовуючи теореми 13.3 і 13.4 до функцій у = sin (kx + b) і у = cos (kx + b), де k ≠ 0, отримуємо, що число є періодом, а число є головним періодом цих функцій.

Головним періодом функцій у = tg(kx + и) і у - ctg(kx + b), де k ≠ 0, є число

Зазначимо, що не будь-яка періодична функція має головний період. Наприклад, функція у = с, де с — деяке число, є періодичною. Очевидно, що будь-яке дійсне число, відмінне від нуля, є її періодом. Отже, ця функція не має головного періоду.

Існують періодичні функції, відмінні від константи, які теж не мають головного періоду.

Наприклад, розглянемо функцію Діріхле¹

Ця функція є періодичною, причому будь-яке раціональне число, відмінне від нуля, є її періодом. Це випливає з того, що сума двох раціональних чисел — число раціональне, а сума раціонального та ірраціонального чисел — число ірраціональне. Отже, функція Діріхле не має головного періоду.

¹ Нагадаємо, що

Теорема 13.5. Якщо Т — головний період функції п, тo будь- який період функції f має вигляд nТ, де n ∈ ℤ і n ≠ 0.

Доведення. Нехай Т₁ — період, відмінний від указаних. Тоді можна підібрати таке ціле n і таке дійсне а ∈ (0; 1), що Т₁ = nТ + аТ. Маємо:

f(х) = f(х + T₁) = f(x + nT + aT) = f(x + aT),

f(x) = f(x - Т₁) = f (х - nТ - аТ) = f(x - aT).

Отже, аТ — період. Проте 0 < аТ < Т. Отримали суперечність (оскільки за умовою теореми Т — головний період).

ПРИКЛАД 1 Знайдіть значення виразу:

Розв’язання

На рисунку 13.1 зображено графік деякої періодичної функції f з періодом Т, D(f) = ℝ.

Рис.13.1

Фрагменти графіка цієї функції на проміжках [0; Т], [Т; 2Т], [2Т; 3T] і т. д., а також на проміжках [-Т; 0], [-2Т; -T], [-3Т; -2Т] і т. д. є рівними фігурами, причому будь-яку із цих фігур можна отримати з будь-якої іншої паралельним перенесенням на вектор з координатами (nТ; 0), де n — деяке ціле число.

Узагалі, якщо проміжки [а; b] і [с; d] є такими, що с = а + Тn, d = b + Тn, n ∈ ℤ, то частини графіка функції f на цих проміжках є рівними фігурами (рис. 13.2).

Рис.13.2

ПРИКЛАД 2 На рисунку 13.3 зображено фрагмент графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку

Рис. 13.3

Рис. 13.4

Розв’язання. Побудуємо образи зображеної фігури, отримані в результаті паралельного перенесення на вектори з координатами (Т; 0), (2Т; 0) і (-Т; 0). Об’єднання даної фігури та отриманих образів — шуканий графік (рис. 13.4).

ПРИКЛАД 3 Покажіть, що число Т = є періодом функції

Розв’язання. Областю визначення функції f є множина значень змінної х, при яких cos х = 0, тобто

Тоді якщо х ∈ D(f), то (х + ) ∈ D(f) і (х - ) ∈ D(f).

Оскільки Е (f) = {0}, то f(x - ) = f(х) = f(х + ) = 0.

ПРИКЛАД 4 Доведіть, що функція f(x) = не є періодичною.

Розв’язання. Зауважимо, що D(f) = (-∞;2)U(2;+∞). Припустимо, що функція f є періодичною з періодом Т ≠ 0. Очевидно, що х₀ = 2 - Т ∈ D(f), тоді х₀ + Т = 2 - Т + Т є D(f), тобто 2 ∈ D(f) — отримали суперечність.

Означення. Додатні числа а і b називають сумірними (спільномірними), якщо — раціональне число. Якщо ірраціональне число, то числа а і b є несумірними.

Наприклад, числа в парах 3 і 5, i є сумірними, а числа 1 і є несумірними.

Означення. Число Т, що є як періодом функції f, так і періодом функції g, називають спільним періодом функцій f i g.

Наприклад, число Т = 2 є спільним періодом функцій у = sin х і у = tg х.

Теорема 13.6. Якщо існують період T_f функції f і період T_g функції g такі, що числа T_f і T_g є сумірними, то функції f i g мають спільний період.

Доведення. Оскільки періоди T_f і T_g є сумірними, то де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ. Звідси T_f ∙ n = T_g ∙ m. Тоді за наслідком з теореми 13.2 число Т = T_f ∙ n = T_g ∙ m є періодом як функції f, так і функції g.

Доведення цієї теореми показує, як можна знаходити спільний період двох функцій.

ПРИКЛАД 5 Знайдіть період функції

Розв’язання. Якщо ми знайдемо спільний період функцій то цим самим знайдемо період даної функції.

Скориставшись теоремою 13.3, запишемо:

Тоді

Отже, періоди T_f і T_g є сумірними, а тому функції f і g мають спільний період Т. Він дорівнює 7T_f або 10Тg, тобто

Відповідь:

ВПРАВИ

13.1. Знайдіть значення виразу:

13.2. Знайдіть значення виразу:

13.3. На рисунку 13.5 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; ЗТ].

Рис. 13.5

13.4. На рисунку 13.6 зображено частину графіка періодичної функції, період якої дорівнює Т. Побудуйте графік цієї функції на проміжку [-2Т; 2Т].

Рис. 13.6

13.5. Доведіть, що число Т є періодом функції f:

13.6. Доведіть, що числа і -4 є періодами функції f(x) = cos 3х.

13.7. Знайдіть головний період функції:

13.8. Знайдіть головний період функції:

13.9. Функція f визначена на ℝ. Доведіть, що є періодичною функція:

1) y = f(cosx); 2) y = f(sinx).

13.10. Для довільної функції f доведіть періодичність функції:

1) y = f(tgx); 2) y = f(ctgx).

13.11. Доведіть, що число є періодом функції

13.12. Знайдіть головний період функції

13.13. Доведіть, що функція не є періодичною.

13.14. Доведіть, що функція не є періодичною.

13.15. Знайдіть період функції:

13.16. Знайдіть період функції:

13.17. При яких значеннях параметра а число є періодом функції

13.18. При яких значеннях параметра а число є періодом функції

13.19. Знайдіть усі раціональні значення параметра а, при яких функції мають спільний період.

13.20. При яких значеннях параметра а, де а ∈ ℚ, серед періодів функцій знайдуться однакові?

13.21. При яких цілих значеннях n число 5 є періодом функції

13.22. Функцію f задано формулою

Чи має функція f додатний період, менший від 2?

13.23. Чи існує функція, для якої кожне ірраціональне число є її періодом, проте не існує раціонального числа, яке було б її періодом?

13.24. Відомо, що функція у = (f(х))³ + f(х) є періодичною. Доведіть, що функція f також є періодичною.

13.25. Функція f є такою, що функція у = (f(х))² + f(х) є періодичною. Чи обов’язково функція f також є періодичною?

13.26. При яких значеннях параметра а рівняння 2 cos ах - 3 tg² х - 2 = 0 має єдиний розв’язок?

13.27. При яких значеннях параметра а рівняння 1 + sin² ах = cos х має єдиний розв’язок?

13.28. Періодична функція f є такою, що серед чисел f(1), f(2), ... є нескінченна кількість різних. Доведіть, що кожний період функції f — число ірраціональне.

13.29. Чи існує періодична функція f така, що f(n) = n для всіх n ∈ ℕ

13.30. Неперіодичні функції f i g визначені на ℝ. Чи може функція у = f(g(x)) бути періодичною?

13.31. Функція f є такою, що f(0) = 1 і при всіх х ∈ ℝ виконується рівність Знайдіть f(100).

13.32. Функція f є такою, що при всіх х ∈ ℝ виконується рівність f (х +1) + f (х - 1) = f(х). Доведіть, що f — періодична функція.

13.33. Доведіть:

1) періодичність функції

2) рівність для всіх х ∈ ℝ.

Про суму періодичних функцій

Функції

є періодичними. У прикладі 5 п. 13 ми з’ясували, що функція у = f(x) + g(x) також є періодичною.

Виникає природне запитання: «Чи завжди сума двох періодичних функцій є періодичною функцією?»

Розглянемо функції

Ці функції є періодичними (див. приклад 3 і задачу 13.11 п. 13). При цьому

Очевидно, що D(f) ⋂ D(g) = 0. Отже, функція у = f(х) + g(x) не визначена при жодному значенні х.

Спробуємо підкорегувати питання. Нехай періодичні функції f і g такі, що D(f) ⋂ D(g) ≠ 0. Чи завжди функція y = f(x) + g(x)

є періодичною?

Якщо існують сумірні періоди T_f і T_g функцій fig відповідно, то згідно з теоремою 13.6 функції f i g мають спільний період, а отже, функція у = f(x) + g(x) є періодичною.

Залишається розглянути випадок, коли будь-який додатний період функції f є несумірним з будь-яким додатним періодом функції g.

Наприклад, розглянемо функції f(х) = cos х і g(x) = cos (x). Очевидно, що функції f і g не мають сумірних періодів.

Доведемо, що функція у = cos x + cos (x) є неперіодичною.

Припустимо супротивне. Нехай число Т ≠ 0 є періодом цієї функції. Тоді для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

При х = 0 ця рівність набуває такого вигляду:

Оскільки cos Т ≤ 1 і cos (T) ≤ 1, то доходимо висновку, що

З першого рівняння системи знаходимо, що Т = 2 m, m ∈ ℤ, з другого — n ∈ ℤ. Це означає, що для деяких цілих m i n має виконуватися рівність

Звідси

Але з огляду на ірраціональність числа остання рівність можлива лише при m = n = 0, що суперечить умові Т ≠ 0.

Після цього прикладу може скластися враження, що коли періодичні функції f і g не мають сумірних періодів і D(f) ⋂ D(g) ≠ 0, то функція у = f(x) + g(x) завжди є неперіодичною. Проте це не так. Розглянемо функції

де а і b — довільні цілі числа.

Наприклад,

оскільки число неможливо подати у вигляді а + b із цілими а і b.

Множину чисел виду а + b , де а і b — цілі числа, позначатимемо Z (). Зауважимо, що кожне число х ∈ ℤ () однозначно задає відповідні числа а і b.

Неважко переконатися, що Т = 1 є періодом функції f. Покажемо, що це число є головним періодом.

Припустимо, що функція f має період Т₁∈ (0; 1). Розглянемо два випадки.

1) Т ∈ ℤ (), тобто Т = а + b , де а і b — деякі цілі числа.

Зазначимо, що b ≠ 0, інакше Т₁ — ціле і Т₁ ∉ (0; 1). Тоді рівність f(x) = f(x + T₁) не виконується, наприклад, при х = 0. Справді, f(0) = 0, a f(T) = f(a + b) = b.

2) Т ∉ Z ().

Тоді рівність f(x) = f(x + T₁) не виконується, на приклад, при х = . Справді, f() = 1, а f( + Т₁) = 0, оскільки

Аналогічно можна показати, що головним періодом функції g є число .

Отже, згідно з теоремою 13.5 періодами функції f є лише цілі числа n, де n ≠ 0, а періодами функції g — лише числа виду k, де k ∈ ℤ \ {0}. Тоді зрозуміло, що жодні два періоди функцій f i g не є сумірними.

Функція y = f(x) + g(x) визначається так:

де а і b — довільні цілі числа.

Легко перевірити, що число Т = - 1 є періодом цієї функції.

Отже, ми показали, що коли будь-які додатні періоди функцій f і g несумірні та D(f) ⋂ D(g) ≠ ∅, то функція y = f(x) + g(x) може бути як неперіодичною, так і періодичною.

Проте можна довести такий факт: якщо неперервні на ℝ. періодичні функції f і g не мають сумірних періодів, то функція у = f(x) + g(x) є неперіодичною.