Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ
14. Властивості та графіки у = sin х і у = cos x
Періодичність тригонометричних функцій дає змогу досліджувати їхні властивості та будувати графіки за такою схемою.
1) Розглянути проміжок виду [а; а + Т], тобто довільний проміжок завдовжки в період Т (найчастіше вибирають проміжок [0; Т] або проміжок
2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.
3) Побудувати графік функції на цьому проміжку.
4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на вектори з координатами (nТ; 0), n ∈ ℤ.
Розглянемо функцію у = sin х на проміжку [0; 2], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції.
Під час повороту точки Р0 (1; 0) навколо початку координат на кути від 0 до (рис. 14.1) більшому куту повороту відповідає точка одиничного кола з більшою ординатою. Це означає, що функція у = sin х зростає на проміжку
Рис. 14.1
Під час повороту точки Р0 (1; 0) на кути від більшому куту повороту відповідає точка одиничного кола з меншою ординатою (рис. 14.1). Отже, функція у = sin х спадає на проміжку
Під час повороту точки Р0 (1; 0) на кути від
до 2
більшому куту повороту відповідає точка одиничного кола з більшою ординатою (рис. 14.1). Таким чином, функція у = sin х зростає на проміжку
Функція у - sin х на проміжку [0; 2] має три нулі: х = 0, х =
, х = 2
.
Якщо х ∈ (0; ), то sin х > 0; якщо х ∈ (
; 2
), то sin х < 0.
Функція у = sin х на проміжку [0; 2] досягає найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х =
і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х =
.
Функція у = sin х на проміжку [0; 2] набуває всіх значень із проміжку [-1; 1].
Отримані властивості функції у = sin х дають змогу побудувати її графік на проміжку [0; 2] (рис. 14.2). Графік можна побудувати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці 4.
Рис. 14.2
На всій області визначення графік функції у = sin х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2n; 0), n ∈ ℤ(рис. 14.3).
Рис. 14.3
Графік функції у = sin х називають синусоїдою.
У п. 12 було встановлено, що для будь-якого а ∈ ℝ. виконується рівність sin (-а) = -sin а. Це означає, що функція синус є непарною.
Розглянемо функцію у = cos х на проміжку [0; 2], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції.
Розглядаючи повороти точки Р0 (1; 0) навколо початку координат (рис. 14.4), можна дійти таких висновків.
Функція у = cos х спадає на проміжку [0; ] і зростає на проміжку [
; 2
].
Функція у = cos х на проміжку [0; 2] має два нулі:
Якщо то cos х > 0; якщо
то cos х < 0.
Рис. 14.4
Функція у = cos х на проміжку [0; 2] досягає свого найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х = 0 або х = 2
і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х =
.
Функція у = cos х на проміжку [0; 2] набуває всіх значень із проміжку [-1; 1].
Графік функції у = cos х на проміжку [0; 2] зображено на рисунку 14.5.
На всій області визначення графік функції у = cos х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2n; 0), n ∈ ℤ(рис. 14.6).
Рис. 14.5
Рис. 14.6
Графік функції у = cos х називають косинусоїдою.
У п. 12 було встановлено, що для будь-якого а ∈ ℝ. виконується рівність cos (-а) = cos а. Це означає, що функція косинус є парною.
Якщо скористатися формулою (див. приклад 2 п. 11), то стає зрозумілим, що графік функції у = cos х можна отримати як результат паралельного перенесення графіка функції у = sin х на вектор з координатами
(рис. 14.7). Це означає, що графіки функцій у = sin х і у = cos х є рівними фігурами.
Рис. 14.7
ПРИКЛАД 1 Порівняйте: 1) sin 0,7 і sin 0,71
; 2) cos 324° і cos 340°.
Розв’язання. 1) Оскільки числа 0,7 і 0,71
належать проміжку
на якому функція у = sin х спадає, і 0,7
< 0,71
, то sin 0,7
> sin 0,71
.
2) Оскільки кути 324° і 340° належать проміжку [180°; 360°], на якому функція у = cos х зростає, і 324° < 340°, то cos 324° < cos 340°.
ПРИКЛАД 2 Порівняйте sin 40° і cos 40°.
Розв’язання. Оскільки
то cos 40° > sin 40°.
ПРИКЛАД З Чи можлива рівність sin а = 2 sin 31°?
Розв’язання. Оскільки sin31° > sin 30° = , то 2 sin 31° > 1.
Отже, дана рівність неможлива.
ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції
Розв’язання. Проведемо такі перетворення:
1) у = sin х у = sin | х | — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0;
2) у = sin | х | у = sin | 2х | — стискання до осі ординат у 2 рази;
3) — паралельне перенесення вздовж осі абсцис управо на
одиниць (рис. 14.8).
Рис. 14.8
ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції
Розв’язання. Проведемо такі перетворення:
1) у = sinx у = sin 2х — стиск до осі ординат у 2 рази;
2) — паралельне перенесення вздовж осі абсцис управо на
одиниць;
3) — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х ≥ 0. Шуканий графік складається з двох симетричних частин (рис. 14.9).
Рис. 14.9
ПРИКЛАД 6 Побудуйте графік рівняння cos х + cos у = 2.
Розв’язання. Оскільки |cosx| ≤ 1 і | cosy | ≤ 1, то дане рівняння рівносильне системі
Звідси
Шуканий графік — це множина точок, зображених на рисунку 14.10.
Рис. 14.10
ВПРАВИ
14.1. На проміжку [-2; 2
] укажіть:
1) нулі функції у = sin х;
2) значення аргументу, при яких функція у = sin х набуває найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = sin х набуває найменшого значення.
14.2. На проміжку [-; 3
] укажіть:
1) нулі функції у = cos х;
2) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває найбільшого значення;
3) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває найменшого значення.
14.3. На яких із наведених проміжків функція у = sin х зростає:
14.4. Які з наведених проміжків є проміжками спадання функції у = cos х:
14.5. Порівняйте значення тригонометричних функцій:
14.6. Порівняйте значення тригонометричних функцій:
14.7. Розташуйте числа в порядку зростання:
1) sin 3,2, sin 4, sin 3,6, sin 2,4, sin 1,8;
2) cos 3,5, cos 4,8, cos 6,1, cos 5,6, cos 4,2.
14.8. Розташуйте числа в порядку спадання:
1) sin (-0,2), sin 0,2, sin 1,5, sin 1, sin 0,9;
2) cos 0,1, cos 1,4, cos 2,4, cos 3,1, cos 1,8.
14.9. Порівняйте:
1) sin 58° і cos 58°; 2) sin 18° і cos 18°; 3) cos 80° і sin 70°.
14.10. Чи можлива рівність: 1) cos ос = 2 sin 25°;
2) sin a = cos 35°?
14.11. Побудуйте графік функції:
14.12. Побудуйте графік функції:
14.13. Побудуйте графік функції, укажіть область значень даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значення може набувати функція та при яких значеннях аргументу:
14.14. Побудуйте графік функції, укажіть область значення даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значення може набувати функція та при яких значеннях аргументу:
14.15. Побудуйте графік функції:
14.16. Побудуйте графік функції:
14.17. Побудуйте графік функції:
14.18. Побудуйте графік функції:
14.19. Скільки коренів має рівняння
14.20. Скільки коренів має рівняння
14.21. Побудуйте графік рівняння:
1) sin к (х2 + у2) = 0; 2) sin х + sin у = 2.
14.22. Побудуйте графік рівняння:
1) cos к (х2 + у2) = 1; 2) cos х + cos у = -2.
14.23. Побудуйте графік рівняння:
1) sin х = 0; 3) х2 + sin2 х = 0;
2) у sin х = 0; 4) | у | = sin х.
14.24. Побудуйте графік рівняння:
1) sin у = 0; 3) у2 + cos2 х = 0;
2) х sin у = 0; 4) | у | = cos х.
14.25. Знайдіть усі значення параметра а, при яких рівняння має рівно 8 коренів.
14.26. Чи існує визначена на проміжку [-1; 1] функція f така, що для всіх х ∈ ℝ виконується нерівність | f(cos х) + sin x | < 1?