Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

14. Властивості та графіки у = sin х і у = cos x

Періодичність тригонометричних функцій дає змогу досліджувати їхні властивості та будувати графіки за такою схемою.

1) Розглянути проміжок виду [а; а + Т], тобто довільний проміжок завдовжки в період Т (найчастіше вибирають проміжок [0; Т] або проміжок

2) Дослідити властивості функції на вибраному проміжку.

3) Побудувати графік функції на цьому проміжку.

4) Здійснити паралельне перенесення отриманої фігури на вектори з координатами (nТ; 0), n ∈ ℤ.

Розглянемо функцію у = sin х на проміжку [0; 2], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції.

Під час повороту точки Р₀ (1; 0) навколо початку координат на кути від 0 до (рис. 14.1) більшому куту повороту відповідає точка одиничного кола з більшою ординатою. Це означає, що функція у = sin х зростає на проміжку

Рис. 14.1

Під час повороту точки Р₀ (1; 0) на кути від більшому куту повороту відповідає точка одиничного кола з меншою ординатою (рис. 14.1). Отже, функція у = sin х спадає на проміжку Під час повороту точки Р₀ (1; 0) на кути від до 2 більшому куту повороту відповідає точка одиничного кола з більшою ординатою (рис. 14.1). Таким чином, функція у = sin х зростає на проміжку

Функція у - sin х на проміжку [0; 2] має три нулі: х = 0, х = , х = 2 .

Якщо х ∈ (0; ), то sin х > 0; якщо х ∈ (; 2), то sin х < 0.

Функція у = sin х на проміжку [0; 2] досягає найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х = і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х = .

Функція у = sin х на проміжку [0; 2] набуває всіх значень із проміжку [-1; 1].

Отримані властивості функції у = sin х дають змогу побудувати її графік на проміжку [0; 2] (рис. 14.2). Графік можна побудувати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці 4.

Рис. 14.2

На всій області визначення графік функції у = sin х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2n; 0), n ∈ ℤ(рис. 14.3).

Рис. 14.3

Графік функції у = sin х називають синусоїдою.

У п. 12 було встановлено, що для будь-якого а ∈ ℝ. виконується рівність sin (-а) = -sin а. Це означає, що функція синус є непарною.

Розглянемо функцію у = cos х на проміжку [0; 2], тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції.

Розглядаючи повороти точки Р₀ (1; 0) навколо початку координат (рис. 14.4), можна дійти таких висновків.

Функція у = cos х спадає на проміжку [0; ] і зростає на проміжку [; 2].

Функція у = cos х на проміжку [0; 2] має два нулі:

Якщо то cos х > 0; якщо то cos х < 0.

Рис. 14.4

Функція у = cos х на проміжку [0; 2] досягає свого найбільшого значення, яке дорівнює 1, при х = 0 або х = 2 і найменшого значення, яке дорівнює -1, при х = .

Функція у = cos х на проміжку [0; 2] набуває всіх значень із проміжку [-1; 1].

Графік функції у = cos х на проміжку [0; 2] зображено на рисунку 14.5.

На всій області визначення графік функції у = cos х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (2n; 0), n ∈ ℤ(рис. 14.6).

Рис. 14.5

Рис. 14.6

Графік функції у = cos х називають косинусоїдою.

У п. 12 було встановлено, що для будь-якого а ∈ ℝ. виконується рівність cos (-а) = cos а. Це означає, що функція косинус є парною.

Якщо скористатися формулою (див. приклад 2 п. 11), то стає зрозумілим, що графік функції у = cos х можна отримати як результат паралельного перенесення графіка функції у = sin х на вектор з координатами (рис. 14.7). Це означає, що графіки функцій у = sin х і у = cos х є рівними фігурами.

Рис. 14.7

ПРИКЛАД 1 Порівняйте: 1) sin 0,7 і sin 0,71; 2) cos 324° і cos 340°.

Розв’язання. 1) Оскільки числа 0,7 і 0,71 належать проміжку на якому функція у = sin х спадає, і 0,7 < 0,71, то sin 0,7 > sin 0,71.

2) Оскільки кути 324° і 340° належать проміжку [180°; 360°], на якому функція у = cos х зростає, і 324° < 340°, то cos 324° < cos 340°.

ПРИКЛАД 2 Порівняйте sin 40° і cos 40°.

Розв’язання. Оскільки то cos 40° > sin 40°.

ПРИКЛАД З Чи можлива рівність sin а = 2 sin 31°?

Розв’язання. Оскільки sin31° > sin 30° = , то 2 sin 31° > 1.

Отже, дана рівність неможлива.

ПРИКЛАД 4 Побудуйте графік функції

Розв’язання. Проведемо такі перетворення:

1) у = sin х у = sin | х | — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х > 0;

2) у = sin | х | у = sin | 2х | — стискання до осі ординат у 2 рази;

3) — паралельне перенесення вздовж осі абсцис управо на одиниць (рис. 14.8).

Рис. 14.8

ПРИКЛАД 5 Побудуйте графік функції

Розв’язання. Проведемо такі перетворення:

1) у = sinx у = sin 2х — стиск до осі ординат у 2 рази;

2) — паралельне перенесення вздовж осі абсцис управо на одиниць;

3) — симетрія відносно осі ординат частини графіка, яка лежить у півплощині х ≥ 0. Шуканий графік складається з двох симетричних частин (рис. 14.9).

Рис. 14.9

ПРИКЛАД 6 Побудуйте графік рівняння cos х + cos у = 2.

Розв’язання. Оскільки |cosx| ≤ 1 і | cosy | ≤ 1, то дане рівняння рівносильне системі

Звідси

Шуканий графік — це множина точок, зображених на рисунку 14.10.

Рис. 14.10

ВПРАВИ

14.1. На проміжку [-2; 2] укажіть:

1) нулі функції у = sin х;

2) значення аргументу, при яких функція у = sin х набуває найбільшого значення;

3) значення аргументу, при яких функція у = sin х набуває найменшого значення.

14.2. На проміжку [-; 3] укажіть:

1) нулі функції у = cos х;

2) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває найбільшого значення;

3) значення аргументу, при яких функція у = cos х набуває найменшого значення.

14.3. На яких із наведених проміжків функція у = sin х зростає:

14.4. Які з наведених проміжків є проміжками спадання функції у = cos х:

14.5. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

14.6. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

14.7. Розташуйте числа в порядку зростання:

1) sin 3,2, sin 4, sin 3,6, sin 2,4, sin 1,8;

2) cos 3,5, cos 4,8, cos 6,1, cos 5,6, cos 4,2.

14.8. Розташуйте числа в порядку спадання:

1) sin (-0,2), sin 0,2, sin 1,5, sin 1, sin 0,9;

2) cos 0,1, cos 1,4, cos 2,4, cos 3,1, cos 1,8.

14.9. Порівняйте:

1) sin 58° і cos 58°; 2) sin 18° і cos 18°; 3) cos 80° і sin 70°.

14.10. Чи можлива рівність: 1) cos ос = 2 sin 25°;

2) sin a = cos 35°?

14.11. Побудуйте графік функції:

14.12. Побудуйте графік функції:

14.13. Побудуйте графік функції, укажіть область значень даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значення може набувати функція та при яких значеннях аргументу:

14.14. Побудуйте графік функції, укажіть область значення даної функції, її нулі, проміжки знакосталості, проміжки зростання і проміжки спадання, якого найбільшого і найменшого значення може набувати функція та при яких значеннях аргументу: