Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

15. Властивості та графіки функцій y = tgx і y ctgx

Розглянемо функцію у = tg х на проміжку тобто на проміжку завдовжки в період цієї функції (нагадаємо, що функція у = tg х у точках не визначена).

З рисунка 15.1 видно, що зі зміною кута повороту х від - до значення тангенса збільшуються. Це означає, що функція у = tg х зростає на проміжку

Також з рисунка 15.1 видно, що функція у = tg х на проміжку набуває всіх значень із проміжку (-∞; +∞).

Рис. 15.1

Рис. 15.2

Функція у = tg х на проміжку має один нуль: х = 0. Якщо то tg х < 0; якщо то tg х > 0.

Отримані властивості функції у = tg х дають змогу побудувати її графік на проміжку (рис. 15.2). Графік можна побудувати точніше, якщо скористатися даними таблиці значень тригонометричних функцій деяких кутів, наведеної на форзаці 4.

Рис. 15.3

На всій області визначення графік функції у = tg х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (n; 0), n ∈ ℤ(рис. 15.3).

Розглянемо функцію у = ctg х на проміжку (0; ), тобто на проміжку завдовжки в період (нагадаємо, що функція у = ctg х не визначена в точках 0 і ).

З рисунка 15.4 видно, що зі зміною кута повороту х від 0 до значення котангенса зменшуються. Це означає, що функція у = ctg х спадає на проміжку (0; ).

Також з рисунка 15.4 видно, що функція у = ctg х на проміжку (0; ) набуває всіх значень із проміжку (-∞; +∞).

Функція у = ctg х на проміжку (0: я) має один нуль: х = .

Якщо то ctg х > 0; якщо то ctg х < 0.

Графік функції у = ctg х на проміжку (0; я) зображено на рисунку 15.5.

Рис. 15.4

Рис. 15.5

На всій області визначення графік функції у = ctg х можна отримати з побудованого графіка за допомогою паралельних перенесень на вектори з координатами (n; 0), n ∈ ℤ(рис. 15.6).

Рис. 15.6

Області визначення кожної з функцій у = tg х і у = ctg х є симетричними відносно початку координат (перевірте це самостійно). Крім того, у п. 12 були встановлені рівності:

tg (-а) = -tg а;

ctg (-а) = -ctg а.

Отже, функції тангенс і котангенс — непарні.

Означення. Функцію f називають обмеженою, якщо існує число М таке, що для будь-якого х ∈ D(f) виконується нерівність | f(x) | ≤ М.

Зрозуміло, що функції у = sin x і у = cos х є обмеженими, а функції у = tg x і у = ctg х не є обмеженими.

ПРИКЛАД Побудуйте графік функції у = | ctg х | tg х.

Розв’язання. Областю визначення даної функції є всі дійсні числа, крім чисел виду , n ∈ ℤ, тобто

Якщо k < х < + k, k ∈ ℤ, то ctg х > 0 і у = 1.

Якщо + k < х < + k, k ∈ ℤ, то ctg х < 0 і у = -1.

Шуканий графік складається з окремих відрізків з «виколотими» кінцями (рис. 15.7).

Рис. 15.7

ВПРАВИ

15.1. Чи проходить графік функції у = tg х через точку:

15.2. Чи проходить графік функції у = ctg х через точку:

15.3. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

15.4. Порівняйте значення тригонометричних функцій:

15.5. Розташуйте в порядку спадання числа: tg 0,5, tg 1,2, tg(-0,4), tg 0,9.

15.6. Розташуйте в порядку зростання числа: ctg(-0,7), ctg(-2,4), ctg(-2,8), ctg(-1,4).

15.7. Побудуйте графік функції:

15.8. Побудуйте графік функції:

15.9. Чи можлива рівність:

15.10. Порівняйте:

1) sin 78° і tg 78°; 2) sin 40° і ctg 20°.

15.11. Побудуйте графік функції:

15.12. Побудуйте графік функції:

15.13. Побудуйте графік функції:

15.14. Побудуйте графік функції:

15.15. Побудуйте графік рівняння:

15.16. Побудуйте графік рівняння:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити