§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

16. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу

У цьому пункті встановимо тотожності, які пов’язують значення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу.

Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задовольняють рівняння х² + у² = 1. Оскільки х = cos а, у = sin а, де а — кут повороту, у результаті якого з точки Р₀(1; 0) було отримано точку Р, то

sin²a + cos²a = 1 (1)

Звернемо увагу на те, що точку Р вибрано довільно, тому тотожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною тригонометричною тотожністю.

Використовуючи основну тригонометричну тотожність, знайдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між котангенсом і синусом.

Припустивши, що cos а ≠ 0, поділимо обидві частини рівності (1) на cos² а. Отримаємо:

Звідси

Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких cos а ≠ 0, тобто при а ≠ + k, k ∈ ℤ.

Припустивши, що sin а ≠ 0, поділимо обидві частини рівності (1) на sin² а. Отримаємо:

Звідси

Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а ≠ 0, тобто при а ≠ K, k ∈ ℤ.

Зв’язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за допомогою означень цих функцій.

Маємо:

Звідси

tga ⋅ ctga = 1 (2)

Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а ≠ 0 і cos а ≠ 0, тобто при а ≠ k і а ≠ + k, k ∈ ℤ.

Зазначимо, що

Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, ще

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:

Розв’язання.

ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність:

Розв’язання.

ПРИКЛАД 3 Відомо, що cosa = .

Обчисліть sin a.

Розв’язання. Маємо:

Звідси

Рисунок 16.1 ілюструє цей приклад.

Рис. 16.1

ПРИКЛАД 4 Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sin a = - і < a < ,

Розв’язання. Маємо:

Оскільки < а < , то cosa < 0; отже,

ПРИКЛАД 5 Дано: ctga = , 90° < a < 270°. Знайдіть sin a, cos a, tg a.

Розв’язання. Маємо: tga = .

Оскільки ctg a > 0 і 90° < a < 270°, TO 180° < a < 270°. Отже, sin a < 0. Тоді sin a = -.

Маємо:

ПРИКЛАД 6 Спростіть вираз якщо < а < 2.

Розв’язання.

Оскільки < а < 2, то sin а < 0, cos а > 0, тому sin а - cos а < 0.

Отже, | sin а - cos а | = cos а - sin а.

Відповідь: cos а - sin а.

ВПРАВИ

16.1. Спростіть вираз:

16.2. Спростіть вираз:

16.3. Чи можуть sin а і cos а одночасно дорівнювати нулю?

16.4. Чи можуть tg а і ctg а за модулем бути:

1) обидва більші за 1; 2) обидва менші від 1?

16.5. Спростіть вираз:

16.6. Спростіть вираз:

16.7. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:

16.8. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:

16.9. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:

16.10. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:

16.11. Доведіть тотожність:

16.12. Доведіть тотожність:

16.13. Доведіть тотожність:

1) sin⁴ а + cos⁴ а - sin⁶ а - cos⁶ а = sin² а cos² а;

2) sin⁶ а + cos⁶ а + 3 sin² а cos² а = 1.

16.14. Доведіть тотожність

2 (sin⁶ а + cos⁶ а) - 3 (sin⁴ а + cos⁴ а) = -1.

16.15. Знайдіть значення виразу:

16.16. Знайдіть значення виразу:

16.17. Спростіть вираз:

16.18. Спростіть вираз:

16.19. Дано: sin а + cos а = b. Знайдіть значення виразу:

16.20. Дано: tga + ctga = b. Знайдіть значення виразу:

1) tg²a + ctg²a; 3) tg⁴a + ctg⁴a;

2) tg³a + ctg³a; 4) (cos a + sin a)².

16.21. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

16.22. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:

16.23. Побудуйте графік функції:

16.24. Побудуйте графік функції:

16.25. Знайдіть найбільше значення функції f(х) = sin¹⁴ х + cos¹⁴ х.

16.26. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = sin¹⁰ х + cos¹³ х.