Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ
16. Основні співвідношення між тригонометричними функціями одного й того самого аргументу
У цьому пункті встановимо тотожності, які пов’язують значення тригонометричних функцій одного й того самого аргументу.
Координати будь-якої точки Р (х; у) одиничного кола задовольняють рівняння х2 + у2 = 1. Оскільки х = cos а, у = sin а, де а — кут повороту, у результаті якого з точки Р0(1; 0) було отримано точку Р, то
sin2a + cos2a = 1 (1)
Звернемо увагу на те, що точку Р вибрано довільно, тому тотожність (1) справедлива для будь-якого а. Її називають основною тригонометричною тотожністю.
Використовуючи основну тригонометричну тотожність, знайдемо залежності між тангенсом і косинусом, а також між котангенсом і синусом.
Припустивши, що cos а ≠ 0, поділимо обидві частини рівності (1) на cos2 а. Отримаємо:
Звідси
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких cos а ≠ 0, тобто при а ≠ 
+ 
k, k ∈ ℤ.
Припустивши, що sin а ≠ 0, поділимо обидві частини рівності (1) на sin2 а. Отримаємо:
Звідси
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а ≠ 0, тобто при а ≠ K, k ∈ ℤ.
Зв’язок між тангенсом і котангенсом можна встановити за допомогою означень цих функцій.
Маємо:
Звідси
tga ⋅ ctga = 1 (2)
Ця тотожність є правильною для всіх а, при яких sin а ≠ 0 і cos а ≠ 0, тобто при а ≠ k і а ≠ + k, k ∈ ℤ.
Зазначимо, що
Тому тотожність (2) є правильною для всіх а таких, ще 
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
Розв’язання.
ПРИКЛАД 2 Доведіть тотожність:
Розв’язання.
ПРИКЛАД 3 Відомо, що cosa = 
.
Обчисліть sin a.
Розв’язання. Маємо:
Звідси
Рисунок 16.1 ілюструє цей приклад.
Рис. 16.1
ПРИКЛАД 4 Знайдіть cos a, tg a, ctg a, якщо sin a = -
і < a < 
,
Розв’язання. Маємо:
Оскільки < а < , то cosa < 0; отже,
ПРИКЛАД 5 Дано: ctga = 
, 90° < a < 270°. Знайдіть sin a, cos a, tg a.
Розв’язання. Маємо: tga = 
.
Оскільки ctg a > 0 і 90° < a < 270°, TO 180° < a < 270°. Отже, sin a < 0. Тоді sin a = -
.
Маємо:
ПРИКЛАД 6 Спростіть вираз 
якщо < а < 2
.
Розв’язання.
Оскільки < а < 2, то sin а < 0, cos а > 0, тому sin а - cos а < 0.
Отже, | sin а - cos а | = cos а - sin а.
Відповідь: cos а - sin а.
ВПРАВИ
16.1. Спростіть вираз:
16.2. Спростіть вираз:
16.3. Чи можуть sin а і cos а одночасно дорівнювати нулю?
16.4. Чи можуть tg а і ctg а за модулем бути:
1) обидва більші за 1; 2) обидва менші від 1?
16.5. Спростіть вираз:
16.6. Спростіть вираз:
16.7. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:
16.8. Знайдіть значення тригонометричних функцій аргументу а, якщо:
16.9. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
16.10. Чи можуть одночасно виконуватися рівності:
16.11. Доведіть тотожність:
16.12. Доведіть тотожність:
16.13. Доведіть тотожність:
1) sin4 а + cos4 а - sin6 а - cos6 а = sin2 а cos2 а;
2) sin6 а + cos6 а + 3 sin2 а cos2 а = 1.
16.14. Доведіть тотожність
2 (sin6 а + cos6 а) - 3 (sin4 а + cos4 а) = -1.
16.15. Знайдіть значення виразу:
16.16. Знайдіть значення виразу:
16.17. Спростіть вираз:
16.18. Спростіть вираз:
16.19. Дано: sin а + cos а = b. Знайдіть значення виразу:
16.20. Дано: tga + ctga = b. Знайдіть значення виразу:
1) tg2a + ctg2a; 3) tg4a + ctg4a;
2) tg3a + ctg3a; 4) (cos a + sin a)2.
16.21. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
16.22. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу:
16.23. Побудуйте графік функції:
16.24. Побудуйте графік функції:
16.25. Знайдіть найбільше значення функції f(х) = sin14 х + cos14 х.
16.26. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = sin10 х + cos13 х.