§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

18. Формули зведення

Періодичність тригонометричних функцій дає змогу зводити обчислення значень синуса та косинуса до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; 2], а обчислення значень тангенса та котангенса — до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; ]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дають змогу в таких обчисленнях обмежитися лише кутами від 0 до . Кожний кут із проміжку [0; 2] можна подати у вигляді ±а, або ± а, або ± а, де 0 ≤ а ≤ .

Наприклад,

Обчислення синусів і косинусів кутів виду ±а, я ± а, ± а можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. Наприклад:

Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отримати:

Ці шість формул називають формулами зведення для синуса. Наступні шість формул називають формулами зведення для косинуса:

Обчислення тангенсів і котангенсів кутів виду ±а можна звести до обчислення тангенса або котангенса кута а. Наприклад:

Аналогічно можна отримати:

Ці формули називають формулами зведення для тангенса і котангенса.

Проаналізувавши наведені формули зведення, можна виявити закономірності, завдяки яким не обов’язково заучувати ці формули.

Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися такими правилами.

1. У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що 0 < а < .

2. Якщо в лівій частині формули кут має вигляд ±а або ± а, то синус міняють на косинус, тангенс — на котангенс і навпаки. Якщо кут має вигляд ± а, то заміни функції не відбувається.

Покажемо, як застосувати ці правила для виразу

Припустивши, що 0 < а < , доходимо висновку: = - а є кутом III координатної чверті. Тоді

За першим правилом у правій частині рівності має стояти знак «-».

Оскільки кут має вигляд - а, то за другим правилом потрібно замінити синус на косинус.

Отже,

ПРИКЛАД 1 Зведіть до тригонометричної функції кута а:

Розв'язання

ПРИКЛАД 2 Замініть значення тригонометричної функції значенням функції гострого кута:

1) cos;

2) tg (-125°).

Розв’язання.

2) tg (-125°) = -tg 125° = -tg (90° + 35°) = -(-ctg 35°) = ctg 35°.

ПРИКЛАД 3 Обчисліть tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° ∙... ∙ tg 49°.

Розв’язання. Маємо: tg49° = ctg41°, tg48° = ctg42° і т. д.

Тоді, об’єднавши попарно множники, які рівновіддалені від кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких дорівнює 1:

tg 41° tg 49° = tg 42° tg 48° = tg 43° tg 47° = tg 44° tg 46° = 1.

Ще один множник даного добутку, tg45°, дорівнює 1. Отже,

tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° ∙...∙ tg 49° = 1.

ПРИКЛАД 4 Спростіть вираз

Розв’язання. Маємо:

Оскільки

Отже,

ВПРАВИ

18.1. Зведіть до тригонометричної функції кута а:

18.2. Зведіть до тригонометричної функції кута а:

18.3. Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу:

1) cos 123°; 2) sin 216°; 3) cos (-218°); 4) cos.

18.4. Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу:

1) tg 124°; 2) sin (-305°); 3) ctg(-0,7); 4) sin.

18.5. Обчисліть:

18.6. Обчисліть:

18.7. Спростіть вираз:

18.8. Спростіть вираз:

18.9. Обчисліть:

18.10. Знайдіть значення виразу:

18.11. Спростіть вираз:

18.12. Доведіть тотожність:

18.13. Обчисліть:

1) ctg5° ctg 15° ctg25° ∙... ∙ ctg75° ctg85°;

2) tg 20° + tg 40° + tg 60° +... + tg 160° + tg 180°;

3) sin0° + sin 1° + sin2° +... + sin359° + sin360°.

18.14. Обчисліть:

1) sin 110° + sin 130° + sin 150° +... + sin230° + sin250° + sin270°;

2) tg 10° tg 20° tg 30° ∙... ∙ tg 70° tg 80°;

3) ctg 15° + ctg30° + ctg45° +... + ctg 165°.

18.15. Доведіть тотожність:

18.16. Знайдіть значення виразу

18.17. Спростіть вираз:

18.18. Чи існує така функція f, що для всіх x ∈ ℝ виконується рівність:

1) f(cos х) = sin х; 2) f(sin х) = cos х?

18.19. Чи існує така функція f, що для всіх х ∈ ℝ. виконується рівність f(sin х) = sin 100х?

18.20. Сума додатних чисел а, β, у дорівнює . Доведіть, що

cos а + cos β + cos у > sin а + sin β + sin у.

18.21. Сума додатних чисел а, β, у менша від .

Доведіть, що

ctg а + ctg β + ctg у > tg а + tg β + tg у.