Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ
18. Формули зведення
Періодичність тригонометричних функцій дає змогу зводити обчислення значень синуса та косинуса до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; 2
], а обчислення значень тангенса та котангенса — до випадку, коли значення аргументу належить проміжку [0; 
]. У цьому пункті ми розглянемо формули, які дають змогу в таких обчисленнях обмежитися лише кутами від 0 до 
. Кожний кут із проміжку [0; 2] можна подати у вигляді ±а, або ± а, або 
± а, де 0 ≤ а ≤ .
Наприклад,
Обчислення синусів і косинусів кутів виду ±а, я ± а, ± а можна звести до обчислення синуса або косинуса кута а. Наприклад:
Застосовуючи формули додавання, аналогічно можна отримати:
Ці шість формул називають формулами зведення для синуса. Наступні шість формул називають формулами зведення для косинуса:
Обчислення тангенсів і котангенсів кутів виду ±а можна звести до обчислення тангенса або котангенса кута а. Наприклад:
Аналогічно можна отримати:
Ці формули називають формулами зведення для тангенса і котангенса.
Проаналізувавши наведені формули зведення, можна виявити закономірності, завдяки яким не обов’язково заучувати ці формули.
Для того щоб записати будь-яку з них, можна керуватися такими правилами.
1. У правій частині рівності ставлять той знак, який має ліва частина за умови, що 0 < а < .
2. Якщо в лівій частині формули кут має вигляд ±а або ± а, то синус міняють на косинус, тангенс — на котангенс і навпаки. Якщо кут має вигляд ± а, то заміни функції не відбувається.
Покажемо, як застосувати ці правила для виразу 
Припустивши, що 0 < а < , доходимо висновку: = - а є кутом III координатної чверті. Тоді 
За першим правилом у правій частині рівності має стояти знак «-».
Оскільки кут має вигляд - а, то за другим правилом потрібно замінити синус на косинус.
Отже,
ПРИКЛАД 1 Зведіть до тригонометричної функції кута а:
Розв'язання
ПРИКЛАД 2 Замініть значення тригонометричної функції значенням функції гострого кута:
1) cos
;
2) tg (-125°).
Розв’язання.
2) tg (-125°) = -tg 125° = -tg (90° + 35°) = -(-ctg 35°) = ctg 35°.
ПРИКЛАД 3 Обчисліть tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° ∙… ∙ tg 49°.
Розв’язання. Маємо: tg49° = ctg41°, tg48° = ctg42° і т. д.
Тоді, об’єднавши попарно множники, які рівновіддалені від кінців добутку, отримаємо чотири добутки, кожний з яких дорівнює 1:
tg 41° tg 49° = tg 42° tg 48° = tg 43° tg 47° = tg 44° tg 46° = 1.
Ще один множник даного добутку, tg45°, дорівнює 1. Отже,
tg 41° tg 42° tg 43° tg 44° ∙…∙ tg 49° = 1.
ПРИКЛАД 4 Спростіть вираз
Розв’язання. Маємо:
Оскільки
Отже,
ВПРАВИ
18.1. Зведіть до тригонометричної функції кута а:
18.2. Зведіть до тригонометричної функції кута а:
18.3. Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу:
1) cos 123°; 2) sin 216°; 3) cos (-218°); 4) cos
.
18.4. Зведіть до тригонометричної функції найменшого додатного аргументу:
1) tg 124°; 2) sin (-305°); 3) ctg(-0,7); 4) sin
.
18.5. Обчисліть:
18.6. Обчисліть:
18.7. Спростіть вираз:
18.8. Спростіть вираз:
18.9. Обчисліть:
18.10. Знайдіть значення виразу:
18.11. Спростіть вираз:
18.12. Доведіть тотожність:
18.13. Обчисліть:
1) ctg5° ctg 15° ctg25° ∙… ∙ ctg75° ctg85°;
2) tg 20° + tg 40° + tg 60° +… + tg 160° + tg 180°;
3) sin0° + sin 1° + sin2° +… + sin359° + sin360°.
18.14. Обчисліть:
1) sin 110° + sin 130° + sin 150° +… + sin230° + sin250° + sin270°;
2) tg 10° tg 20° tg 30° ∙… ∙ tg 70° tg 80°;
3) ctg 15° + ctg30° + ctg45° +… + ctg 165°.
18.15. Доведіть тотожність:
18.16. Знайдіть значення виразу 
18.17. Спростіть вираз:
18.18. Чи існує така функція f, що для всіх x ∈ ℝ виконується рівність:
1) f(cos х) = sin х; 2) f(sin х) = cos х?
18.19. Чи існує така функція f, що для всіх х ∈ ℝ. виконується рівність f(sin х) = sin 100х?
18.20. Сума додатних чисел а, β, у дорівнює . Доведіть, що
cos а + cos β + cos у > sin а + sin β + sin у.
18.21. Сума додатних чисел а, β, у менша від .
Доведіть, що
ctg а + ctg β + ctg у > tg а + tg β + tg у.