§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

19. Формули подвійного, потрійного та половинного кутів

Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2а через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами подвійного кута.

У формулах додавання

покладемо (3 = а. Отримаємо:

Ці формули називають відповідно формулами косинуса, синуса й тангенса подвійного кута.

Оскільки cos² а = 1 - sin² а і sin² а = 1 - cos² а, то з формули cos 2а = cos² а - sin² а отримуємо ще дві формули:

Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді:

або в такому вигляді:

Дві останні формули називають формулами пониження степеня.

ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:

Розв’язання. 1) Застосовуючи формулу косинуса подвійного кута cos 2х = cos² х - sin² х і формулу різниці квадратів, отримуємо:

2) Застосовуючи формулу синуса подвійного кута для кута , отримуємо:

ПРИКЛАД 2 Обчисліть

Розв’язання. Застосовуючи формулу тангенса подвійного кута,

отримуємо:

ПРИКЛАД 3 Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 1 + cos 4а; 2) 1 - sina.

Розв’язання. 1) Застосовуючи формулу 1 + cos²х = 2cos² х, отримуємо: 1 + cos 4a = 2 cos² 2a.

2) За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус і застосуємо формулу 1 - cos 2х = 2 sin² х:

ПРИКЛАД 4 Доведіть тотожність

Розв’язання. Маємо:

ПРИКЛАД 5 Доведіть тотожність

Розв’язання. Помножимо та поділимо ліву частину даної рівності на sin а і багаторазово застосуємо формулу синуса подвійного кута:

Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу За через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами потрійного кута.

Маємо:

sin За = sin (2а + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а =

= 2 sin а cos а cos а + (1 - 2 sin² а) sin а =

= 2 sin а cos² а + sin а - 2 sin³ а =

= 2 sin а (1 - sin² а) + sin а - 2 sin³ а =

= 2 sin а - 2 sin³ а + sin а - 2 sin³ а = 3 sin а - 4 sin³ а.

Отже,

sin 3а = 3 sin а - 4 sin³ а

Цю формулу називають формулою синуса потрійного кута.

Знайдемо формулу для cos 3а:

cos 3а = cos (2а + а) = cos 2а cos а - sin 2а sin а =

= (2 cos² а - 1) cos а - 2 cos а sin а sin а =

= 2 cos³ а - cos а - 2 cos а (1 - cos² а) =

= 2 cos³ а - cos а - 2 cos а + 2 cos³ а = 4 cos³ а - 3 cos а.

Таким чином,

cos 3а = 4 cos³ а - 3 cos а

Цю формулу називають формулою косинуса потрійного кута.

ПРИКЛАД 6 Доведіть тотожність

4 cosa cos (60° - a) cos (60° + a) = cos 3a.

Розв’язання. Застосувавши формули косинуса різниці та косинуса суми, отримуємо:

ПРИКЛАД 7 Доведіть рівність 16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1.

Розв’язання.

Маємо:

16 cos20° cos40° cos60° cos80° = 16 ⋅

cos 20° cos 40° cos 80° = 8 cos 20° cos 40° cos 80°.

Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можна застосувати тотожність, доведену в прикладі 6 цього пункту (при а = 20°):

8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos (3 ∙ 20°) = 1.

Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, як при розв’язуванні прикладу 5:

Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами половинного кута.

Замінивши у формулах пониження степеня а на , отримаємо:

Поділимо почленно першу рівність на другу. Отримаємо:

Тепер можна записати:

Ці формули називають відповідно формулами синуса, косинуса й тангенса половинного кута.

ПРИКЛАД 8 Дано: tg3a = 3 , 60°< a < 90°. Знайдіть

Розв’язання. Маємо:

Оскільки 60° < a < 90°, то 180° < 3а < 270°. Отже, cos 3а <0.

Тоді cos 3а = -.

Оскільки

Тоді

ПРИКЛАД 9 Спростіть вираз

Розв’язання. Маємо:

За допомогою формул подвійного кута можна виразити sin a і cos а через tg .

Маємо:

Припустивши, що cos ≠ 0, поділимо чисельник і знаменник отриманого дробу на cos² :

Отже,

Виразимо cos а через tg .

Отримуємо:

Припустивши, що cos ≠ 0, поділимо чисельник і знаменник отриманого дробу на cos² :

Отже,

ПРИКЛАД 10 Дано: tg = 3. Знайдіть sin а + cos а.

Розв’язання. Маємо:

Тоді sin а + cos а = 0,6 - 0,8 = -0,2.

ВПРАВИ

19.1. Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:

1) cos а; 2) sin За; 3) cos 8а; 4) tg 7а.

19.2. Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:

19.3. Спростіть вираз:

19.4. Спростіть вираз:

19.5. Обчисліть:

19.6. Обчисліть:

19.7. Знайдіть sin 2а, якщо

19.8. Знайдіть sin 2а, якщо

19.9. Знайдіть cos 2а, якщо cos а = .

19.10. Знайдіть cos 2а, якщо sin а = - .

19.11. Знайдіть tg 2а, якщо:

19.12. Знайдіть tg 2а, якщо:

19.13. Подайте у вигляді добутку вираз:

19.14. Подайте у вигляді добутку вираз:

19.15. Доведіть тотожність:

19.16. Спростіть вираз:

19.17. Знайдіть sin a, cos а, tga, якщо tg = 5.

19.18. Знайдіть cos 2a, якщо tga = -3.

19.19. Дано: cos2a = -0,6, < a < . Знайдіть sin a і cos a.

19.20. Дано: Знайдіть

19.21. Знайдіть:

19.22. Спростіть вираз:

19.23. Спростіть вираз:

19.24. Доведіть тотожність:

19.25. Доведіть тотожність:

19.26. Доведіть, що tg 15° + ctg 15° = 4.

19.27. Доведіть, що tg 75° - ctg 75° = 2.

19.28. Доведіть тотожність:

19.29. Доведіть тотожність

19.30. Дано:

19.31. Дано: Знайдіть cos .

19.32. Знайдіть sin 2а, якщо cos а + sin а = .

19.33. Знайдіть sin а, якщо

19.34. Спростіть вираз:

19.35. Спростіть вираз:

19.36. Доведіть, що:

19.37. Доведіть, що:

19.38. Виразіть через cos 4а:

1) sin⁴ а + cos⁴ а; 2) sin⁸ а + cos⁸ а.

19.39. Обчисліть sin⁶ а + cos⁶ а, якщо а = .

19.40. Доведіть тотожність:

19.41. Спростіть вираз:

19.42. Спростіть вираз:

19.43. Спростіть вираз:

19.44. Доведіть тотожність:

19.45. Доведіть тотожність:

1) tgatg(60°- a)tg(60° + a) = tg3a

2) tg 20° tg 40° tg 80° = .

19.46. Доведіть тотожність sin 3a sin³ a + cos 3a cos³ a = cos³ 2a.

19.47. Доведіть тотожність sin³ 2a cos 6a + cos³ 2a sin 6a = sin 8a.

19.48. Спростіть вираз:

19.49. Спростіть вираз:

19.50. Знайдіть sin2a, якщо 2tg² a - 7tga + 3 = 0 і

19.51. Дано: sin a + cos a = . Знайдіть tg .

19.52. Обчисліть sin 18°.

19.53. Доведіть, що sin 10° — ірраціональне число.

19.54. Доведіть, що cos 20° — ірраціональне число.

19.55. Доведіть рівність