Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ
19. Формули подвійного, потрійного та половинного кутів
Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу 2а через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами подвійного кута.
У формулах додавання
покладемо (3 = а. Отримаємо:
Ці формули називають відповідно формулами косинуса, синуса й тангенса подвійного кута.
Оскільки cos2 а = 1 - sin2 а і sin2 а = 1 - cos2 а, то з формули cos 2а = cos2 а - sin2 а отримуємо ще дві формули:
Інколи ці формули зручно використовувати в такому вигляді:
або в такому вигляді:
Дві останні формули називають формулами пониження степеня.
ПРИКЛАД 1 Спростіть вираз:
Розв’язання. 1) Застосовуючи формулу косинуса подвійного кута cos 2х = cos2 х - sin2 х і формулу різниці квадратів, отримуємо:
2) Застосовуючи формулу синуса подвійного кута для кута 
, отримуємо:
ПРИКЛАД 2 Обчисліть 
Розв’язання. Застосовуючи формулу тангенса подвійного кута,
отримуємо:
ПРИКЛАД 3 Подайте у вигляді добутку вираз: 1) 1 + cos 4а; 2) 1 - sina.
Розв’язання. 1) Застосовуючи формулу 1 + cos2х = 2cos2 х, отримуємо: 1 + cos 4a = 2 cos2 2a.
2) За допомогою формули зведення замінимо синус на косинус і застосуємо формулу 1 - cos 2х = 2 sin2 х:
ПРИКЛАД 4 Доведіть тотожність
Розв’язання. Маємо:
ПРИКЛАД 5 Доведіть тотожність
Розв’язання. Помножимо та поділимо ліву частину даної рівності на sin а і багаторазово застосуємо формулу синуса подвійного кута:
Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу За через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами потрійного кута.
Маємо:
sin За = sin (2а + а) = sin 2а cos а + cos 2а sin а =
= 2 sin а cos а cos а + (1 - 2 sin2 а) sin а =
= 2 sin а cos2 а + sin а - 2 sin3 а =
= 2 sin а (1 - sin2 а) + sin а - 2 sin3 а =
= 2 sin а - 2 sin3 а + sin а - 2 sin3 а = 3 sin а - 4 sin3 а.
Отже,
sin 3а = 3 sin а - 4 sin3 а
Цю формулу називають формулою синуса потрійного кута.
Знайдемо формулу для cos 3а:
cos 3а = cos (2а + а) = cos 2а cos а - sin 2а sin а =
= (2 cos2 а - 1) cos а - 2 cos а sin а sin а =
= 2 cos3 а - cos а - 2 cos а (1 - cos2 а) =
= 2 cos3 а - cos а - 2 cos а + 2 cos3 а = 4 cos3 а - 3 cos а.
Таким чином,
cos 3а = 4 cos3 а - 3 cos а
Цю формулу називають формулою косинуса потрійного кута.
ПРИКЛАД 6 Доведіть тотожність
4 cosa cos (60° - a) cos (60° + a) = cos 3a.
Розв’язання. Застосувавши формули косинуса різниці та косинуса суми, отримуємо:
ПРИКЛАД 7 Доведіть рівність 16 cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° = 1.
Розв’язання.
Маємо:
16 cos20° cos40° cos60° cos80° = 16 ⋅
cos 20° cos 40° cos 80° = 8 cos 20° cos 40° cos 80°.
Оскільки 40° = 60° - 20°, 80° = 60° + 20°, то можна застосувати тотожність, доведену в прикладі 6 цього пункту (при а = 20°):
8 cos 20° cos 40° cos 80° = 2 cos (3 ∙ 20°) = 1.
Інше доведення можна отримати, міркуючи так само, як при розв’язуванні прикладу 5:
Формули, які виражають тригонометричні функції аргументу через тригонометричні функції аргументу а, називають формулами половинного кута.
Замінивши у формулах пониження степеня а на , отримаємо:
Поділимо почленно першу рівність на другу. Отримаємо:
Тепер можна записати:
Ці формули називають відповідно формулами синуса, косинуса й тангенса половинного кута.
ПРИКЛАД 8 Дано: tg3a = 3 
, 60°< a < 90°. Знайдіть 
Розв’язання. Маємо:
Оскільки 60° < a < 90°, то 180° < 3а < 270°. Отже, cos 3а <0.
Тоді cos 3а = -
.
Оскільки 
Тоді
ПРИКЛАД 9 Спростіть вираз 
Розв’язання. Маємо: 
За допомогою формул подвійного кута можна виразити sin a і cos а через tg .
Маємо:
Припустивши, що cos ≠ 0, поділимо чисельник і знаменник отриманого дробу на cos2 :
Отже,
Виразимо cos а через tg .
Отримуємо:
Припустивши, що cos ≠ 0, поділимо чисельник і знаменник отриманого дробу на cos2 :
Отже,
ПРИКЛАД 10 Дано: tg = 3. Знайдіть sin а + cos а.
Розв’язання. Маємо:
Тоді sin а + cos а = 0,6 - 0,8 = -0,2.
ВПРАВИ
19.1. Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:
1) cos а; 2) sin За; 3) cos 8а; 4) tg 7а.
19.2. Виразіть дані тригонометричні функції через функції вдвічі меншого аргументу:
19.3. Спростіть вираз:
19.4. Спростіть вираз:
19.5. Обчисліть:
19.6. Обчисліть:
19.7. Знайдіть sin 2а, якщо 
19.8. Знайдіть sin 2а, якщо 
19.9. Знайдіть cos 2а, якщо cos а = 
.
19.10. Знайдіть cos 2а, якщо sin а = - 
.
19.11. Знайдіть tg 2а, якщо:
19.12. Знайдіть tg 2а, якщо:
19.13. Подайте у вигляді добутку вираз:
19.14. Подайте у вигляді добутку вираз:
19.15. Доведіть тотожність:
19.16. Спростіть вираз:
19.17. Знайдіть sin a, cos а, tga, якщо tg = 5.
19.18. Знайдіть cos 2a, якщо tga = -3.
19.19. Дано: cos2a = -0,6, 
< a < 
. Знайдіть sin a і cos a.
19.20. Дано: 
Знайдіть 
19.21. Знайдіть:
19.22. Спростіть вираз:
19.23. Спростіть вираз:
19.24. Доведіть тотожність:
19.25. Доведіть тотожність:
19.26. Доведіть, що tg 15° + ctg 15° = 4.
19.27. Доведіть, що tg 75° - ctg 75° = 2
.
19.28. Доведіть тотожність:
19.29. Доведіть тотожність
19.30. Дано:
19.31. Дано: 
Знайдіть cos .
19.32. Знайдіть sin 2а, якщо cos а + sin а = .
19.33. Знайдіть sin а, якщо 
19.34. Спростіть вираз:
19.35. Спростіть вираз:
19.36. Доведіть, що:
19.37. Доведіть, що:
19.38. Виразіть через cos 4а:
1) sin4 а + cos4 а; 2) sin8 а + cos8 а.
19.39. Обчисліть sin6 а + cos6 а, якщо а = 
.
19.40. Доведіть тотожність:
19.41. Спростіть вираз:
19.42. Спростіть вираз:
19.43. Спростіть вираз:
19.44. Доведіть тотожність:
19.45. Доведіть тотожність:
1) tgatg(60°- a)tg(60° + a) = tg3a
2) tg 20° tg 40° tg 80° = .
19.46. Доведіть тотожність sin 3a sin3 a + cos 3a cos3 a = cos3 2a.
19.47. Доведіть тотожність sin3 2a cos 6a + cos3 2a sin 6a = 
sin 8a.
19.48. Спростіть вираз:
19.49. Спростіть вираз:
19.50. Знайдіть sin2a, якщо 2tg2 a - 7tga + 3 = 0 і 
19.51. Дано: sin a + cos a = 
. Знайдіть tg .
19.52. Обчисліть sin 18°.
19.53. Доведіть, що sin 10° — ірраціональне число.
19.54. Доведіть, що cos 20° — ірраціональне число.
19.55. Доведіть рівність 