§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ

20. Формули для перетворення суми, різниці та добутку тригонометричних функцій

Спочатку розглянемо формули, які дають змогу перетворити суму та різницю синусів (косинусів) у добуток.

Запишемо формули додавання для синуса:

sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у, (1)

sin (х - у) = sin х cos у - cos х sin у. (2)

Додавши почленно ліві й праві частини цих рівностей, отримаємо:

sin (х + у) + sin (х - у) = 2 sin х cos у. (3)

Введемо позначення:

х + у = а,

х - у = β.

Звідси

Зазначимо, що а і β можуть набувати будь-яких значень.

Тоді рівність (3) можна переписати так:

Цю тотожність називають формулою суми синусів.

Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2):

sin (х + у) - sin (х - у) = 2 cos х sin у.

Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отримаємо тотожність, яку називають формулою різниці синусів:

Запишемо формули додавання для косинуса:

cos (х + у) = cos х cos у - sin х sin у,

cos (х - у) = cos х cos у + sin х sin у.

Додаючи і віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отримуємо:

cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos х cos у; (4)

cos (х + у)- cos (х - у) = -2 sin х sin у. (5)

Звідси, увівши позначення x + y = aβ i x - y = , отримаємо відповідно формули суми і різниці косинусів:

Перетворимо в добуток вираз tg а + tg β.

Маємо:

Рівність

називають формулою суми тангенсів.

Аналогічно можна довести такі три рівності:

їх називають формулами відповідно різниці тангенсів, суми котангенсів, різниці котангенсів.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що коли а + β + у = , то

sin² а + sin² β + sin² у = 2 + 2 cos а cos β cos у.

Розв’язання

ПРИКЛАД 2 Обчисліть суму

Розв’язання. Використаємо тотожність

Скориставшись отриманим результатом, запишемо такі рівності:

Додавши дані рівності, отримаємо:

Відповідь:

У ході доведення формул суми та різниці синусів (косинусів) було отримано тотожності:

sin (х + у) + sin (х - у) = 2 sin х cos у;

cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos х cos у;

cos (х + у) - cos (х - у) = -2 sin х sin у.

Перепишемо їх так:

ЦІ тотожності називають формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.

ПРИКЛАД 3 Доведіть рівність

Розв’язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної рівності на 2 sin.

Отримуємо:

Застосуємо формулу sin a cos β = (sin (а - β) + sin (а + β)):

ВПРАВИ

20.1. Спростіть вираз:

20.2. Спростіть вираз:

20.3. Перетворіть у добуток вираз:

20.4. Перетворіть у добуток вираз:

20.5. Спростіть вираз:

1) sin а (1 + 2 cos 2а);

2) cos 2а + 2 sin (а + 30°) sin (а - 30°).

20.6. Спростіть вираз:

20.7. Доведіть тотожність:

20.8. Доведіть тотожність:

20.9. Доведіть тотожність:

20.10. Доведіть тотожність:

20.11. Доведіть тотожність:

20.12. Доведіть тотожність:

20.13. Спростіть вираз:

20.14. Спростіть вираз:

1) sin² а + sin² β + cos (а + β) cos (а - β);

2) cos² (45° - а) - cos² (60° + а) - sin (75° - 2а) cos75°.

20.15. Доведіть рівність

20.16. Доведіть, що коли а + β + у = , то має місце тотожність:

20.17. Доведіть, що коли а + β + у = , то має місце тотожність cos² а + cos² β + cos² у = 2 + 2 sin a sin β sin у.

20.18. Доведіть, що коли а + β + у = , то має місце тотожність:

1) sin 4а + sin 4β + sin 4у = -4 sin 2а sin 2β sin 2у;

20.19. Доведіть рівність:

20.20. Доведіть рівність

20.21. Обчисліть суму

20.22. Обчисліть суму

20.23. Доведіть рівність

20.24. Обчисліть суму:

1) S = cosa + cos2a + ... + cosna;

2) S = sin a + sin 3a +... + sin (2n - 1) a;

3) S = sin² a + sin² 2a +... + sin² na.

20.25. Доведіть нерівність cos a cos β cos у < , де a, β, у — кути трикутника.

20.26. Відомо, що числа sin 2a, sin 5a і sin 7a є раціональними. Доведіть, що sin 12a — також раціональне число.