Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§3 ТРИГОНОМЕТРИЧН ФУНКЦІЇ
20. Формули для перетворення суми, різниці та добутку тригонометричних функцій
Спочатку розглянемо формули, які дають змогу перетворити суму та різницю синусів (косинусів) у добуток.
Запишемо формули додавання для синуса:
sin (х + у) = sin х cos у + cos х sin у, (1)
sin (х - у) = sin х cos у - cos х sin у. (2)
Додавши почленно ліві й праві частини цих рівностей, отримаємо:
sin (х + у) + sin (х - у) = 2 sin х cos у. (3)
Введемо позначення:
х + у = а,
х - у = β.
Звідси
Зазначимо, що а і β можуть набувати будь-яких значень.
Тоді рівність (3) можна переписати так:
Цю тотожність називають формулою суми синусів.
Віднімемо почленно від рівності (1) рівність (2):
sin (х + у) - sin (х - у) = 2 cos х sin у.
Якщо скористатися раніше введеними позначеннями, то отримаємо тотожність, яку називають формулою різниці синусів:
Запишемо формули додавання для косинуса:
cos (х + у) = cos х cos у - sin х sin у,
cos (х - у) = cos х cos у + sin х sin у.
Додаючи і віднімаючи почленно ці рівності, відповідно отримуємо:
cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos х cos у; (4)
cos (х + у)- cos (х - у) = -2 sin х sin у. (5)
Звідси, увівши позначення x + y = aβ i x - y = , отримаємо відповідно формули суми і різниці косинусів:
Перетворимо в добуток вираз tg а + tg β.
Маємо:
Рівність
називають формулою суми тангенсів.
Аналогічно можна довести такі три рівності:
їх називають формулами відповідно різниці тангенсів, суми котангенсів, різниці котангенсів.
ПРИКЛАД 1 Доведіть, що коли а + β + у = 
, то
sin2 а + sin2 β + sin2 у = 2 + 2 cos а cos β cos у.
Розв’язання
ПРИКЛАД 2 Обчисліть суму
Розв’язання. Використаємо тотожність
Скориставшись отриманим результатом, запишемо такі рівності:
Додавши дані рівності, отримаємо:
Відповідь: 
У ході доведення формул суми та різниці синусів (косинусів) було отримано тотожності:
sin (х + у) + sin (х - у) = 2 sin х cos у;
cos (х + у) + cos (х - у) = 2 cos х cos у;
cos (х + у) - cos (х - у) = -2 sin х sin у.
Перепишемо їх так:
ЦІ тотожності називають формулами перетворення добутку тригонометричних функцій у суму.
ПРИКЛАД 3 Доведіть рівність
Розв’язання. Помножимо і поділимо ліву частину даної рівності на 2 sin
.
Отримуємо:
Застосуємо формулу sin a cos β = 
(sin (а - β) + sin (а + β)):
ВПРАВИ
20.1. Спростіть вираз:
20.2. Спростіть вираз:
20.3. Перетворіть у добуток вираз:
20.4. Перетворіть у добуток вираз:
20.5. Спростіть вираз:
1) sin а (1 + 2 cos 2а);
2) cos 2а + 2 sin (а + 30°) sin (а - 30°).
20.6. Спростіть вираз:
20.7. Доведіть тотожність:
20.8. Доведіть тотожність:
20.9. Доведіть тотожність:
20.10. Доведіть тотожність:
20.11. Доведіть тотожність:
20.12. Доведіть тотожність:
20.13. Спростіть вираз:
20.14. Спростіть вираз:
1) sin2 а + sin2 β + cos (а + β) cos (а - β);
2) cos2 (45° - а) - cos2 (60° + а) - sin (75° - 2а) cos75°.
20.15. Доведіть рівність 
20.16. Доведіть, що коли а + β + у = , то має місце тотожність:
20.17. Доведіть, що коли а + β + у = 
, то має місце тотожність cos2 а + cos2 β + cos2 у = 2 + 2 sin a sin β sin у.
20.18. Доведіть, що коли а + β + у = , то має місце тотожність:
1) sin 4а + sin 4β + sin 4у = -4 sin 2а sin 2β sin 2у;
20.19. Доведіть рівність:
20.20. Доведіть рівність 
20.21. Обчисліть суму 
20.22. Обчисліть суму 
20.23. Доведіть рівність 
20.24. Обчисліть суму:
1) S = cosa + cos2a + … + cosna;
2) S = sin a + sin 3a +… + sin (2n - 1) a;
3) S = sin2 a + sin2 2a +… + sin2 na.
20.25. Доведіть нерівність cos a cos β cos у < 
, де a, β, у — кути трикутника.
20.26. Відомо, що числа sin 2a, sin 5a і sin 7a є раціональними. Доведіть, що sin 12a — також раціональне число.