Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
21. Рівняння cos x = b
Оскільки областю значень функції у = cos х є проміжок [-1; 1], то при | b | > 1 рівняння cos х = b не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому b такому, що | b | ≤ 1, це рівняння має корені, причому їх безліч.
Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпретації: графіки функцій у = cos х і у = b, де | b | ≤ 1, мають безліч спільних точок (рис. 21.1).
Рис. 21.1
Зрозуміти, як розв’язувати рівняння cos х = b у загальному випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, розв’яжемо рівняння cos х = 
. На рисунку 21.2 зображено графіки функцій у = cos х і у = .
Рис. 21.2
Розглянемо функцію у = cos х на проміжку [-
; ], тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона
частина кривої на рисунку 21.2). Пряма у = перетинає графік функції у = cos х на проміжку [-; ] у двох точках М1 і М2, абсциси яких є протилежними числами. Отже, рівняння cos х = на проміжку [-я; я] має два корені. Оскільки 
то цими коренями є числа 
Функція у = cos х є періодичною з періодом 2
. З огляду на це кожен з інших коренів рівняння cos x = відрізняється від одного зі знайдених коренів 
на число виду 2 n, n ∈ ℤ.
Отже, корені розглядуваного рівняння можна задати формулами x = 
+ 2 n і х = - + 2 n, n ∈ ℤ.
Зазвичай ці дві формули замінюють одним записом: х = ± + 2 n, n ∈ ℤ.
Повернемося до рівняння cos x = b, де | b | ≤ 1. На рисунку 21.3 показано, що на проміжку [-; ] це рівняння має два корені а і -а, де а ∈ [0; ] (при b = 1 ці корені збігаються та дорівнюють нулю).
Рис. 21.3
Тоді всі корені рівняння cos х = b мають вигляд х = ±а + 2
n, n ∈ ℤ.
Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння cos x = b. Корінь а має спеціальну назву — арккосинус.
Означення. Арккосинусом числа b, де | b | ≤ 1, називають таке число а з проміжку [0; 
], косинус якого дорівнює b.
Для арккосинуса числа b використовують позначення arccos b. Наприклад,
Узагалі, arccos b = а, якщо а ∈ [0; ] і cos а = b.
Серед усіх кутів, косинус яких дорівнює даному числу, арккосинус — це єдиний кут, що належить проміжку [0; ].
Наприклад, має місце рівність
Оскільки 
Тепер формулу коренів рівняння cos x = b, | b | ≤ 1, можна записати в такому вигляді:
х = ± arccos b + 2 n, n ∈ ℤ (1)
Зазначимо, що окремі випадки рівняння cos x = b (для b = 1, b = 0, b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 11). Нагадаємо отримані результати:
Такі самі результати можна отримати, використовуючи формулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто, тому радимо запам’ятати наведені формули.
ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:
Розв’язання. 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати:
Далі отримуємо:
Відповідь: 
2) Маємо:
Відповідь: 
3) Перепишемо дане рівняння так:
Отримуємо:
Тоді
Відповідь: 
4) Маємо: х2 = 2 n, n ∈ ℤ; х2 = 2n, n ∈ ℤ.
Оскільки х2 ≥ 0, то 2n ≥ 0, тобто n ∈ ℕ ∪ {0}.
Тепер можна записати: 
де n ∈ ℕ ∪ {0}.
Відповідь: 
n ∈ ℕ ∪ {0}.
ПРИКЛАД 2 Визначте кількість коренів рівняння cos х = b на проміжку 
залежно від значення параметра b.
Розв’язання. Зобразимо графік функції у = cos х на проміжку 
(рис. 21.4). Кількість коренів визначається кількістю точок перетину прямої у = b з виділеною червоним кольором частиною графіка функції у = cos х.
Звернемо увагу на те, що точка (0; 1) належить червоній кривій, а точка 
— не належить.
Рис. 21.4
Розглядаючи різні положення прямої у = b, отримуємо такі результати:
якщо b < -1, то коренів немає;
якщо b = - 1, то один корінь;
якщо 
то два корені;
якщо 
то один корінь;
якщо b > 1, то коренів немає.
Відповідь: якщо b < -1 або b > 1, то коренів немає; якщо b = -1 або 
то один корінь; якщо 
то 2 корені.
ВПРАВИ
21.1. Розв’яжіть рівняння:
21.2. Розв’яжіть рівняння:
21.3. Розв’яжіть рівняння:
21.4. Розв’яжіть рівняння:
21.5. Розв’яжіть рівняння:
21.6. Розв’яжіть рівняння:
21.7. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння 
21.8. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 
21.9. Скільки коренів рівняння 
належать проміжку 
21.10. Знайдіть усі корені рівняння 
які задовольняють нерівність -
< х < 4.
21.11. Розв’яжіть рівняння:
21.12. Розв’яжіть рівняння:
21.13. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння cos 2х = -4а2 + 4а - 2?
21.14. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння 
21.15. При яких значеннях параметра а рівняння (а2 - 4) cos х = а + 2 має розв’язки?
21.16. При яких значеннях параметра а рівняння 3а cos х = 2а + 2 має розв’язки?
21.17. При яких значеннях параметра а рівняння 
має розв’язки?
21.18. При яких значеннях параметра а рівняння 
має розв’язки?
21.19. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж три корені рівняння cos х = 
?
21.20. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж три корені рівняння cos х = -?
21.21. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку 
залежно від значення параметра а.
21.22. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння cos х = а на проміжку 
21.23. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку 
залежно від значень параметра а.
21.24. При яких значеннях параметра а рівняння 
має єдиний корінь на проміжку 
21.25. При яких значеннях параметра а рівняння 
має єдиний корінь на проміжку 