§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

21. Рівняння cos x = b

Оскільки областю значень функції у = cos х є проміжок [-1; 1], то при | b | > 1 рівняння cos х = b не має розв’язків. Разом з тим при будь-якому b такому, що | b | ≤ 1, це рівняння має корені, причому їх безліч.

Сказане легко зрозуміти, звернувшись до графічної інтерпретації: графіки функцій у = cos х і у = b, де | b | ≤ 1, мають безліч спільних точок (рис. 21.1).

Рис. 21.1

Зрозуміти, як розв’язувати рівняння cos х = b у загальному випадку, допоможе розгляд окремого випадку. Наприклад, розв’яжемо рівняння cos х = . На рисунку 21.2 зображено графіки функцій у = cos х і у = .

Рис. 21.2

Розглянемо функцію у = cos х на проміжку [-; ], тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона

частина кривої на рисунку 21.2). Пряма у = перетинає графік функції у = cos х на проміжку [-; ] у двох точках М₁ і М₂, абсциси яких є протилежними числами. Отже, рівняння cos х = на проміжку [-я; я] має два корені. Оскільки то цими коренями є числа

Функція у = cos х є періодичною з періодом 2. З огляду на це кожен з інших коренів рівняння cos x = відрізняється від одного зі знайдених коренів на число виду 2 n, n ∈ ℤ.

Отже, корені розглядуваного рівняння можна задати формулами x = + 2 n і х = - + 2 n, n ∈ ℤ.

Зазвичай ці дві формули замінюють одним записом: х = ± + 2 n, n ∈ ℤ.

Повернемося до рівняння cos x = b, де | b | ≤ 1. На рисунку 21.3 показано, що на проміжку [-; ] це рівняння має два корені а і -а, де а ∈ [0; ] (при b = 1 ці корені збігаються та дорівнюють нулю).

Рис. 21.3

Тоді всі корені рівняння cos х = b мають вигляд х = ±а + 2 n, n ∈ ℤ.

Ця формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння cos x = b. Корінь а має спеціальну назву — арккосинус.

Означення. Арккосинусом числа b, де | b | ≤ 1, називають таке число а з проміжку [0; ], косинус якого дорівнює b.

Для арккосинуса числа b використовують позначення arccos b. Наприклад,

Узагалі, arccos b = а, якщо а ∈ [0; ] і cos а = b.

Серед усіх кутів, косинус яких дорівнює даному числу, арккосинус — це єдиний кут, що належить проміжку [0; ].

Наприклад, має місце рівність

Оскільки

Тепер формулу коренів рівняння cos x = b, | b | ≤ 1, можна записати в такому вигляді:

х = ± arccos b + 2 n, n ∈ ℤ (1)

Зазначимо, що окремі випадки рівняння cos x = b (для b = 1, b = 0, b = -1) було розглянуто раніше (див. п. 11). Нагадаємо отримані результати:

Такі самі результати можна отримати, використовуючи формулу (1). Ці три рівняння зустрічатимуться часто, тому радимо запам’ятати наведені формули.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Використовуючи формулу (1), можемо записати:

Далі отримуємо:

Відповідь:

2) Маємо:

Відповідь:

3) Перепишемо дане рівняння так:

Отримуємо:

Тоді

Відповідь:

4) Маємо: х² = 2 n, n ∈ ℤ; х² = 2n, n ∈ ℤ.

Оскільки х² ≥ 0, то 2n ≥ 0, тобто n ∈ ℕ ∪ {0}.

Тепер можна записати: де n ∈ ℕ ∪ {0}.

Відповідь: n ∈ ℕ ∪ {0}.

ПРИКЛАД 2 Визначте кількість коренів рівняння cos х = b на проміжку залежно від значення параметра b.

Розв’язання. Зобразимо графік функції у = cos х на проміжку (рис. 21.4). Кількість коренів визначається кількістю точок перетину прямої у = b з виділеною червоним кольором частиною графіка функції у = cos х.

Звернемо увагу на те, що точка (0; 1) належить червоній кривій, а точка — не належить.

Рис. 21.4

Розглядаючи різні положення прямої у = b, отримуємо такі результати:

якщо b < -1, то коренів немає;

якщо b = - 1, то один корінь;

якщо то два корені;

якщо то один корінь;

якщо b > 1, то коренів немає.

Відповідь: якщо b < -1 або b > 1, то коренів немає; якщо b = -1 або то один корінь; якщо то 2 корені.

ВПРАВИ

21.1. Розв’яжіть рівняння:

21.2. Розв’яжіть рівняння:

21.3. Розв’яжіть рівняння:

21.4. Розв’яжіть рівняння:

21.5. Розв’яжіть рівняння:

21.6. Розв’яжіть рівняння:

21.7. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння

21.8. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння

21.9. Скільки коренів рівняння належать проміжку

21.10. Знайдіть усі корені рівняння які задовольняють нерівність - < х < 4.

21.11. Розв’яжіть рівняння:

21.12. Розв’яжіть рівняння:

21.13. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння cos 2х = -4а² + 4а - 2?

21.14. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння

21.15. При яких значеннях параметра а рівняння (а² - 4) cos х = а + 2 має розв’язки?

21.16. При яких значеннях параметра а рівняння 3а cos х = 2а + 2 має розв’язки?

21.17. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки?

21.18. При яких значеннях параметра а рівняння має розв’язки?

21.19. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж три корені рівняння cos х = ?

21.20. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить не менше ніж три корені рівняння cos х = -?

21.21. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку залежно від значення параметра а.

21.22. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння cos х = а на проміжку

21.23. Визначте кількість коренів рівняння cos х = а на проміжку залежно від значень параметра а.

21.24. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь на проміжку

21.25. При яких значеннях параметра а рівняння має єдиний корінь на проміжку