Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

23. Рівняння tgx = b і ctgx = b

Оскільки областю значень функції у = tg х є множина ℝ, то рівняння tg x = b має розв’язки при будь-якому значенні b. Для того щоб отримати формулу коренів рівняння tg x = b, звернемося до графічної інтерпретації.

На рисунку 23.1 зображено графіки функцій у = tg х і у = b.

Рис. 23.1

Розглянемо функцію у = tg х на проміжку тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду даної функції (червона крива на рисунку 23.1). На цьому проміжку рівняння tg х = b при будь-якому b має єдиний корінь а.

Оскільки функція у = tg х є періодичною з періодом я, то кожен з інших коренів рівняння tg х = b відрізняється від знайденого кореня на число виду n, n ∈ ℤ.

Тоді множину коренів рівняння tg х = b можна задати формулою

х = а + n, n ∈ ℤ.

Отримана формула показує, що корінь а відіграє особливу роль: знаючи його, можна знайти всі інші корені рівняння tg x = b. Корінь а має спеціальну назву — арктангенс.

Означення. Арктангенсом числа b називають таке число а з проміжку тангенс якого дорівнює b.

Для арктангенса числа Ъ використовують позначення arctg b. Наприклад,

Узагалі, arctg b = а, якщо і tg а = b.

Зазначимо, що, наприклад,

Проте - ≠ arctg 1, оскільки

Тепер формулу коренів рівняння tg х = b можна записати так:

Оскільки областю значень функції у = ctg х є множина ℝ, то рівняння ctg x = b має розв’язки при будь-якому значенні b.

На рисунку 23.2 зображено графіки функцій у = ctg х і у = b. Розглянемо функцію у = ctg х на проміжку (0; ), тобто на проміжку, довжина якого дорівнює періоду цієї функції (червона крива на рисунку 23.2). На цьому проміжку рівняння ctg х = b при будь-якому b має єдиний корінь а.

Оскільки функція у = ctg х є періодичною з періодом я, то кожен з інших коренів рівняння ctg х = b відрізняється від знайденого кореня на число виду яn, n ∈ ℤ.

Рис. 23.2

Тоді множину коренів рівняння ctg х = b можна задати формулою

х = а + n, n ∈ ℤ.

Корінь а має спеціальну назву — арккотангенс.

Означення. Арккотангенсом числа b називають таке число а з проміжку (0; ), котангенс якого дорівнює b.

Для арккотангенса числа b використовують позначення arcctg b. Наприклад, оскільки   оскільки

оскільки

Узагалі, arcctg b = а, якщо а є (0; ) і ctg а = b.

Зазначимо, що, наприклад, Проте - ≠ arcctg (-1), оскільки - ∉ (0; ).

Тепер формулу коренів рівняння ctg х = b можна записати так:

х = arcctg b + n, n ∈ ℤ

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння:

Розв’язання. 1) Маємо:

Відповідь:

2) Маємо:

Відповідь:   + k, k ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 2 Визначте, при яких значеннях параметра b рівняння (х - b) tg х = 0 на проміжку має єдиний корінь.

Розв’язання. Множина коренів рівняння tg х = 0 визначається формулою х = m і n, n ∈ ℤ. Розглядуваному проміжку належить лише один корінь х = 0.

Рівняння х - b = 0 має єдиний корінь х = b.

Якщо b = 0, то початкове рівняння має єдиний корінь х = 0.

Якщо то початкове рівняння на заданому проміжку має два корені: х = 0 і х = b.

Зрозуміло, що коли то початкове рівняння має тільки один корінь.

Відповідь: b = 0, або b < -, або b ≥ .

ВПРАВИ

23.1. Розв’яжіть рівняння:

23.2. Розв’яжіть рівняння:

23.3. Розв’яжіть рівняння:

23.4. Розв’яжіть рівняння:

23.5. Розв’яжіть рівняння:

23.6. Розв’яжіть рівняння:

23.7. Скільки коренів рівняння tg 4х = 1 належать проміжку [0; ]?

23.8. Скільки коренів рівняння належать проміжку

23.9. Знайдіть суму коренів рівняння ctg 2х = -, які належать проміжку

23.10. Знайдіть суму коренів рівняння які належать проміжку

23.11. Розв’яжіть рівняння:

23.12. Розв’яжіть рівняння:

23.13. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

23.14. При яких значеннях параметра а має розв’язки рівняння:

23.15. При яких значеннях параметра а рівняння (х + a) (tg х -) = 0 на проміжку має єдиний корінь?

23.16. При яких значеннях параметра а рівняння (х - a)(tg х + 1) = 0 на проміжку має єдиний корінь?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити