Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ
25. Функції у = arctg х і у = arcctg х
Для будь-якого а рівняння tg х = а на проміжку 
має єдиний корінь, який дорівнює arctg а (рис. 25.1). Отже, будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку 
таке, що у = arctg х.
Рис. 25.1
Указане правило задає функцію f(х) = arctg х із областю визначення D (f) = К. та областю значень 
Функція f є оберненою до функції g(x) = tg х із областю визначення 
Справді,
З означення арктангенса випливає, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність
Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х ∈ D (f).
Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.
Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 3, дають змогу визначити деякі властивості функції f(х) = arctg х.
Оскільки функція g (х) = tg х, 
є зростаючою, то з теореми 3.3 випливає, що функція f (х) = arctg х також є зростаючою.
Оскільки функція g(x) = tg х, 
є непарною, то функція f(х) = arctg х також є непарною (див. ключову задачу 3.16). Інакше кажучи, для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність
Наприклад,
Для будь-якого х ∈ D (g) маємо: f (g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого 
виконується рівність
Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. На рисунку 25.2 показано, як за допомогою графіка функції g(x) = tg х, 
побудувати графік функції f(х) = arctg х.
Рис. 25.2
Для будь-якого а рівняння ctg х = а на проміжку (0; 
) має єдиний корінь, який дорівнює arcctg а (рис. 25.3). Отже, будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку (0; ) таке, що у = arcctg х.
Указане правило задає функцію f(х) = arcctg х із областю визначення D(f) = ℝ та областю значень E(f) = (0; ).
Рис. 25.3
Функція f є оберненою до функції g(x) = ctg х із областю визначення D(g) = (0; ).
Справді, D (f) = Е (g) = ℝ;
E(f) = D(g) = (0; ).
З означення арккотангенса випливає, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність
ctg (arcctg х) = х
Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х ∈ D(f).
Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.
Визначимо деякі властивості функції f(х) = arcctg х.
Оскільки функція g(x) = ctg х, D(g) = (0; ), є спадною, то функція f(х) = arcctg х також є спадною.
Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g(x)) = x. Це означає, що для будь-якого х ∈ (0; ) виконується рівність arcctg (ctg х) = х
На рисунку 25.4 показано, як за допомогою графіка функції g(x) = ctg х, D(g) = (0; ), побудувати графік функції f(х) = arcctg х.
Рис. 25.4
Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність
Наприклад,
Доведемо цю властивість.
Нехай arcctg (-х) = a1 і - arcctg х = а2. Зауважимо, що є (0; ), а2∈ (0; ).
Функція у = ctg х спадає на проміжку (0; я), тому на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Отже, показавши, що ctg = ctg а2, ми тим самим доведемо рівність a1 = а2.
Маємо: ctg a1 = ctg (arcctg (-x)) = -x;
ctg a2 = ctg ( - arcctg x) = -ctg(arcctg x) = -x.
Отже, ctg a1 = ctg a2.
Покажемо, що для будь-якого x ∈ ℝ виконується рівність
Достатньо показати, що arctg х = 
- arcctg х.
Маємо:
Бачимо, що значення виразів arctg х і - arcctg х належать проміжку зростання функції у = tg х. Отже, достатньо показати, що
Маємо:
ПРИКЛАД 1 Обчисліть 
Розв’язання. Нехай 
тоді tg а = -
.
Запишемо:
Звідси
Відповідь: 
.
ПРИКЛАД 2 Доведіть, що 
Розв’язання. Оскільки функція у = arctg х є зростаючою, то можна записати:
Звідси
Отже, значення виразів, записаних у лівій і правій частинах рівності, яка доводиться, належать проміжку 
На цьому проміжку функція у = tg х зростає.
Тоді для доведення достатньо показати, що
Маємо:
ВПРАВИ
25.1. Обчисліть значення виразу:
25.2. Знайдіть значення виразу:
25.3. Знайдіть значення виразу:
25.4. Знайдіть область визначення функції:
25.5. Знайдіть область визначення функції
25.6. Знайдіть область значень функції:
25.7. Знайдіть область значень функції:
25.8. Обчисліть значення виразу:
25.9. Розв’яжіть рівняння:
1) tg (arctg 2х) = 5; 2) ctg (arcctg (4 - 3х)) = 2.
25.10. Розв’яжіть рівняння:
25.11. Розв’яжіть рівняння:
25.12. Обчисліть значення виразу:
25.13. Обчисліть значення виразу:
25.14. Розв’яжіть нерівність:
25.15. Розв’яжіть нерівність:
25.16. Побудуйте графік функції:
1) у = tg(arctg х); 2) у = ctg(arctg х).
25.17. Побудуйте графік функції:
1) у = ctg(arcctg х); 2) у = tg(arcctg х).
25.18. Розв’яжіть рівняння 
25.19. Розв’яжіть рівняння 
25.20. Побудуйте графік функції у = arctg (tg х).
25.21. Побудуйте графік функції у = arcctg(ctg х).
25.22. Обчисліть значення виразу:
25.23. Обчисліть значення виразу:
25.24. Числа х і у є такими, що | ху | < 1. Доведіть, що
25.25. Чи існують такі числа х і у, що виконується нерівність 
25.26. Чи існують такі числа х і у, що виконується нерівність 
25.27. Доведіть рівність 
25.28. Доведіть рівність 
25.29. Обчисліть суму:
25.30. Обчисліть суму S = arcctg 3 + arcctg 7 +… + arcctg (n2 + n + 1).
25.31. Про додатні числа х, у і z відомо, що arctg х + arctg у + arctg z < . Доведіть, що х + у + z > xyz.
25.32. Про додатні числа х, у і z відомо, що 
Доведіть, що ху + yz + zx < 1.