§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

25. Функції у = arctg х і у = arcctg х

Для будь-якого а рівняння tg х = а на проміжку має єдиний корінь, який дорівнює arctg а (рис. 25.1). Отже, будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку таке, що у = arctg х.

Рис. 25.1

Указане правило задає функцію f(х) = arctg х із областю визначення D (f) = К. та областю значень

Функція f є оберненою до функції g(x) = tg х із областю визначення

Справді,

З означення арктангенса випливає, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність

Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х ∈ D (f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

Властивості взаємно обернених функцій, розглянуті в п. 3, дають змогу визначити деякі властивості функції f(х) = arctg х.

Оскільки функція g (х) = tg х, є зростаючою, то з теореми 3.3 випливає, що функція f (х) = arctg х також є зростаючою.

Оскільки функція g(x) = tg х, є непарною, то функція f(х) = arctg х також є непарною (див. ключову задачу 3.16). Інакше кажучи, для будь-якого х ∈ ℝ. виконується рівність

Наприклад,

Для будь-якого х ∈ D (g) маємо: f (g (х)) = х. Це означає, що для будь-якого виконується рівність

Нагадаємо, що графіки взаємно обернених функцій симетричні відносно прямої у = х. На рисунку 25.2 показано, як за допомогою графіка функції g(x) = tg х, побудувати графік функції f(х) = arctg х.

Рис. 25.2

Для будь-якого а рівняння ctg х = а на проміжку (0; ) має єдиний корінь, який дорівнює arcctg а (рис. 25.3). Отже, будь-якому числу х можна поставити у відповідність єдине число у із проміжку (0; ) таке, що у = arcctg х.

Указане правило задає функцію f(х) = arcctg х із областю визначення D(f) = ℝ та областю значень E(f) = (0; ).

Рис. 25.3

Функція f є оберненою до функції g(x) = ctg х із областю визначення D(g) = (0; ).

Справді, D (f) = Е (g) = ℝ;

E(f) = D(g) = (0; ).

З означення арккотангенса випливає, що для всіх х ∈ ℝ виконується рівність

ctg (arcctg х) = х

Іншими словами, g(f(x)) = х для всіх х ∈ D(f).

Сказане означає, що f i g — взаємно обернені функції.

Визначимо деякі властивості функції f(х) = arcctg х.

Оскільки функція g(x) = ctg х, D(g) = (0; ), є спадною, то функція f(х) = arcctg х також є спадною.

Для будь-якого х ∈ D(g) маємо: f(g(x)) = x. Це означає, що для будь-якого х ∈ (0; ) виконується рівність arcctg (ctg х) = х

На рисунку 25.4 показано, як за допомогою графіка функції g(x) = ctg х, D(g) = (0; ), побудувати графік функції f(х) = arcctg х.

Рис. 25.4

Відзначимо ще одну властивість функції арккотангенс: для будь-якого х ∈ ℝ виконується рівність

Наприклад,

Доведемо цю властивість.

Нехай arcctg (-х) = a₁ і - arcctg х = а₂. Зауважимо, що є (0; ), а₂∈ (0; ).

Функція у = ctg х спадає на проміжку (0; я), тому на цьому проміжку кожного свого значення вона набуває тільки один раз. Отже, показавши, що ctg = ctg а₂, ми тим самим доведемо рівність a₁ = а₂.

Маємо: ctg a₁ = ctg (arcctg (-x)) = -x;

ctg a₂ = ctg ( - arcctg x) = -ctg(arcctg x) = -x.

Отже, ctg a₁ = ctg a₂.

Покажемо, що для будь-якого x ∈ ℝ виконується рівність

Достатньо показати, що arctg х = - arcctg х.

Маємо:

Бачимо, що значення виразів arctg х і - arcctg х належать проміжку зростання функції у = tg х. Отже, достатньо показати, що

Маємо:

ПРИКЛАД 1 Обчисліть

Розв’язання. Нехай тоді tg а = -.

Запишемо:

Звідси

Відповідь: .

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що

Розв’язання. Оскільки функція у = arctg х є зростаючою, то можна записати:

Звідси

Отже, значення виразів, записаних у лівій і правій частинах рівності, яка доводиться, належать проміжку На цьому проміжку функція у = tg х зростає.

Тоді для доведення достатньо показати, що

Маємо:

ВПРАВИ

25.1. Обчисліть значення виразу:

25.2. Знайдіть значення виразу:

25.3. Знайдіть значення виразу:

25.4. Знайдіть область визначення функції:

25.5. Знайдіть область визначення функції

25.6. Знайдіть область значень функції:

25.7. Знайдіть область значень функції:

25.8. Обчисліть значення виразу:

25.9. Розв’яжіть рівняння:

1) tg (arctg 2х) = 5; 2) ctg (arcctg (4 - 3х)) = 2.

25.10. Розв’яжіть рівняння:

25.11. Розв’яжіть рівняння:

25.12. Обчисліть значення виразу:

25.13. Обчисліть значення виразу:

25.14. Розв’яжіть нерівність:

25.15. Розв’яжіть нерівність:

25.16. Побудуйте графік функції:

1) у = tg(arctg х); 2) у = ctg(arctg х).

25.17. Побудуйте графік функції:

1) у = ctg(arcctg х); 2) у = tg(arcctg х).

25.18. Розв’яжіть рівняння

25.19. Розв’яжіть рівняння

25.20. Побудуйте графік функції у = arctg (tg х).

25.21. Побудуйте графік функції у = arcctg(ctg х).

25.22. Обчисліть значення виразу:

25.23. Обчисліть значення виразу:

25.24. Числа х і у є такими, що | ху | < 1. Доведіть, що

25.25. Чи існують такі числа х і у, що виконується нерівність

25.26. Чи існують такі числа х і у, що виконується нерівність

25.27. Доведіть рівність

25.28. Доведіть рівність

25.29. Обчисліть суму:

25.30. Обчисліть суму S = arcctg 3 + arcctg 7 +... + arcctg (n² + n + 1).

25.31. Про додатні числа х, у і z відомо, що arctg х + arctg у + arctg z < . Доведіть, що х + у + z > xyz.

25.32. Про додатні числа х, у і z відомо, що Доведіть, що ху + yz + zx < 1.