Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

26. Тригонометричні рівняння, які зводяться до алгебраїчних

У пунктах 21-23 ми отримали формули для розв’язування рівнянь виду cos х = a, sin х = a, tg х = a, ctg х = а. Ці рівняння називають найпростішими тригонометричними рівняннями. За допомогою різних прийомів і методів багато тригонометричних рівнянь можна звести до найпростіших.

У цьому пункті розглянемо рівняння, які можна звести до найпростіших, увівши нову змінну та розв’язавши отримане алгебраїчне рівняння.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння sin х - 3 cos 2х = 2.

Розв’язання. Використовуючи формулу cos 2x = 1 - 2sin2x, перетворимо дане рівняння:

sin х - 3 (1 - 2 sin2x) -2 = 0;

6 sin2x + sin х - 5 = 0.

Нехай sin х = t. Отримуємо квадратне рівняння 6t2 + t - 5 = 0.

Звідси t1 = -1, t2 = .

Отже, дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

Маємо:

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки то дане рівняння можна записати так:

tg х + (1 + tg2 х) = 3.

Звідси tg2x + tgx - 2 = 0. Нехай t gx = t. Маємо: t2 + t - 2 = 0.

Тоді t1 =1, t2 = -2.

Отримуємо, що дане рівняння рівносильне сукупності двох рівнянь:

Звідси

Відповідь: + n, -arctg2 + n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння 2 sin2 х + cos 4х - 2 = 0.

Розв’язання. Можна записати: 1 - cos2x + 2cos22x - 1 - 2 = 0.

Звідси 2 cos2 2x - cos2x - 2 = 0. Зробимо заміну cos 2x = t. Тоді останнє рівняння набуває вигляду 2t2 - t - 2 = 0. Розв’язавши його, отримуємо:

Оскільки

то початкове рівняння рівносильне рівнянню

звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння

tg2 х + ctg2 х + 3 tg х + 3 ctg х + 4 = 0.

Розв’язання. Маємо: tg2x + ctg2x + 3(tgx + ctgx) + 4 = 0.

Нехай tg х + ctg x = у. Підносячи обидві частини записаної рівності до квадрата, отримуємо: tg2 х + 2 + ctg2 х = у2; tg2 х + ctg2 х = = у2 - 2. Дане в умові рівняння набуває вигляду у2 - 2 + 3у + 4 = 0, тоді у2 + 3у + 2 = 0; ух = -1, у2 = -2.

Маємо сукупність рівнянь:

Розв’язуючи рівняння сукупності, знаходимо: tg х = -1. Звідси х = - + k, k ∈ ℤ.

Відповідь: - + k, k ∈ ℤ.

Означення. Рівняння виду

а0sinn х + а1sinn-1 х cos х + … + аn-1 sin х cosn-1 х + аn cosn х = 0,

де а0, а1, …, аn — дійсні числа, які одночасно не дорівнюють нулю, n ∈ ℕ, називають однорідним тригонометричним рівнянням n-то степеня відносно sin x і cos x.

З означення випливає, що суми показників степенів при sin х і cos х усіх доданків однорідного тригонометричного рівняння є рівними.

Наприклад, рівняння 2 sin х - 3 cos х = 0 — однорідне тригонометричне рівняння першого степеня, а рівняння sin2 x - 5 sin x cos x + 2 cos2 x = 0 і 2 sin2 x - cos2 x = 0 — однорідні тригонометричні рівняння другого степеня.

Для однорідних рівнянь існує ефективний метод розв’язування. Ознайомимося з ним на прикладах.

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння

7 sin2 х - 8 sin х cos х - 15 cos2 х = 0.

Розв’язання. Якщо cosx = 0, то з даного рівняння випливає, що sin х = 0. Але sin х і cos х не можуть одночасно дорівнювати нулю, оскільки має місце рівність sin2x + cos2x = 1. Отже, множина коренів даного рівняння складається з таких чисел х, при яких cos х ≠ 0.

Поділивши обидві частини даного рівняння на cos2x, отримаємо рівносильне рівняння:

Звідси

Відповідь:

ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння 3 sin2 х + sin 2х = 2.

Розв’язання. Це рівняння не є однорідним. Проте його можна легко звести до однорідного:

3 sin2 х + 2 sin х cos х = 2 (sin2 x + cos2 x).

Звідси

sin2 x + 2 sin x cos x - 2 cos2 x = 0.

Отримали однорідне рівняння. Далі, діючи, як у попередньому прикладі, перейдемо до квадратного рівняння відносно tg х:

tg2 х + 2 tg х - 2 = 0.

Завершіть розв’язування самостійно.

Відповідь:

ПРИКЛАД 7 Розв’яжіть рівняння 2 sin х - 3 cos х = 2.

Розв’язання. Скористаємося формулами подвійного аргументу та основною тригонометричною тотожністю:

Поділимо обидві частини останнього рівняння на cos2 і зробимо заміну tg = t. Отримаємо: t2 + 4t - 5 = 0, звідси t1 = 1, t2 = -5;

Відповідь: + 2 n, -2 arctg 5 + 2 n , n ∈ ℤ.

Рівняння прикладу 7 є окремим випадком рівняння виду

a sin x + b cos х = с, (1)

де а, b, с — деякі числа, відмінні від нуля.

Під час розв’язування подібних рівнянь крім методу, розглянутого в прикладі 7, можна використовувати такий прийом. Перепишемо рівняння (1) у вигляді

Оскільки

то точка

належить одиничному колу. Отже, існує такий кут φ, що

Тепер рівняння набуває вигляду

Звідси

Таким чином, отримали найпростіше тригонометричне рівняння.

ПРИКЛАД 8 При яких значеннях параметра а рівняння

має на проміжку рівно: 1) два корені; 2) три корені?

Розв’язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне відносно sin 3х. Розв’язуючи його, отримаємо рівносильну сукупність рівнянь

Перше рівняння сукупності має на проміжку рівно два корені. У цьому можна переконатися, знайшовши ці корені або використовуючи графічну інтерпретацію рівняння (рис. 26.1). Отже, для задачі 1) треба, щоб друге рівняння сукупності не давало нових коренів на проміжку

При а = очевидно, що корені рівнянь сукупності збігаються. При а > 1 або а < 0 рівняння sin 3х = а не має коренів на проміжку

У цьому знов-таки можна переконатися, наприклад, використовуючи графічну інтерпретацію (рис. 26.1). Для задачі 2) друге рівняння сукупності на розглядуваному проміжку

повинно додавати до множини всіх коренів тільки один корінь. Зрозуміло, що це буде виконуватися тільки при а = 1.

Рис. 26.1

Відповідь: 1) а > 1, або а < 0, або а = ; 2) а= 1.

ВПРАВИ

26.1. Розв’яжіть рівняння:

1) 2 cos2х - 5 cos х - 3 = 0; 3) tg2x - 2tgx-3 = 0;

2) sin2 3х + 2 sin 3х - 3 = 0; 4) 3 ctg2 2х + ctg 2х - 4 = 0.

26.2. Розв’яжіть рівняння:

26.3. Розв’яжіть рівняння:

26.4. Розв’яжіть рівняння:

1) sin х + cos х = 0; 3) sin2 х - 5 sin х cos х + 6 cos2 х = 0;

2) 2 sin х + cos х = 0; 4) 4 sin2 x = 3 sin x cos x + cos2 x.

26.5. Розв’яжіть рівняння:

26.6. Розв’яжіть рівняння:

26.7. Розв’яжіть рівняння:

26.8. Розв’яжіть рівняння:

26.9. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння sin2 х + cos х +1 = 0.

26.10. Знайдіть найбільший від’ємний корінь рівняння sin2 х + 0,5 sin 2х = 1.

26.11. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння 6 sin2 х + 2 sin2 2х = 5.

26.12. Знайдіть найменший додатний корінь рівняння sin х cos х + cos2 х = 0.

26.13. Розв’яжіть рівняння:

1) 4 cos х sin х = tg x + ctg x;

2) 3 cos x + 2 tg x = 0;

3) 8 sin2 x + 4 sin2 2x + 8 cos 2x = 5;

4) 3 + 5 cos x = sin4 x - cos4 x;

5) cos 2x - 9 cos x + 6 = 4 sin2 .

26.14. Розв’яжіть рівняння:

26.15. Розв’яжіть рівняння:

26.16. Розв’яжіть рівняння:

26.17. Розв’яжіть рівняння:

1) 3 sin х - 8 cos х = 3; 2) 2 sin х - 5 cos х = 3.

26.18. Розв’яжіть рівняння:

26.19. Скільки коренів рівняння cos 2х + sin х = cos2 х належать проміжку [-; ]?

26.20. Знайдіть суму коренів рівняння 2 sin2 х + 7 cos х + 2 = 0, які належать проміжку

26.21. Розв’яжіть рівняння:

26.22. Розв’яжіть рівняння:

26.23. При яких значеннях параметра а має корені рівняння:

1) sin2 х - (3а - 3) sin х + а (2а - 3) = 0;

2) cos2 х + 2 cos х + а2 - 6а + 10 = 0?

26.24. При яких значеннях параметра а має корені рівняння:

1) cos2 х - cos х + а - а2 = 0;

2) sin2 х - 2а sin х + 2а2 - 4а + 4 = 0?

26.25. Розв’яжіть рівняння tg4 х + ctg4 х + tg2 х + ctg2 х = 4.

26.26. Розв’яжіть рівняння tg3 х + tg2 х + ctg2 х + ctg3 х = 4.

26.27. Розв’яжіть рівняння:

1) cos3 х sin х + cos2 х sin2 x - 3 cos x sin3 x - 3 sin4 x = 0;

2) 2 cos2 x + sin2 2x + sin4 x + cos 2x = 0;

3) sin3 x = sin x + cos x.

26.28. Розв’яжіть рівняння:

26.29. Розв’яжіть рівняння:

1) cos3x + 2cosx = 0; 2) sin6x + 2 = 2cos4x.

26.30. Розв’яжіть рівняння:

26.31. Розв’яжіть рівняння:

26.32. Розв’яжіть рівняння:

26.33. При яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить рівно три корені рівняння:

26.34. Визначте, при яких додатних значеннях параметра а проміжок [0; а] містить рівно коренів рівняння:

1) 2 sin2х + sin х = 0, n = 4; 2) 2 cos2 x + cos x = 0, n = 3.

26.35. Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння має на проміжку

1) один корінь; 2) два корені.

26.36. Визначте, при яких значеннях параметра а рівняння має на проміжку

1) два корені; 2) три корені; 3) не менше трьох коренів.

26.37. Визначте, при яких значеннях параметра а рівнянню має на проміжку

1) два корені; 2) три корені; 3) не менше трьох коренів.

26.38. При яких значеннях параметра а рівняння cos2 х + (2а + 3) х sin х - а2 = 0 має:

1) один корінь на проміжку [0; ];

2) один корінь на проміжку

3) один корінь на проміжку

4) два корені на проміжку

5) три корені на проміжку [0; 2);

6) чотири корені на проміжку

26.39. При яких значеннях параметра а рівняння cos 2х + (4а -1) х xcosx + 2a2 + 1 має:

1) два корені на проміжку

2) три корені на проміжку

26.40. При яких значеннях параметра а рівняння sin х = 2 sin2 х і sin 3х = (a +1) sin х - 2 (a -1) sin2 x рівносильні?

26.41. При яких значеннях параметра а рівняння sin 2х + a = sin х + 2a cos x і 2 cos 2x + a2 = 5a cos x - 2 рівносильні?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити