Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§2 СТЕПЕНЕВА ФУНКЦIЯ

2. Степенева функція з натуральним і цілим показником

Властивості та графіки функцій у = х і у = х2 добре відомі вам з курсу математики попередніх класів. Ці функції є окремими випадками функції у = хn, n ∈ ℕ, яку називають степеневою функцією з натуральним показником.

Оскільки вираз хn, n ∈ ℕ, має зміст при будь-якому х, то областю визначення степеневої функції з натуральним показником є множина R.

Очевидно, що розглядувана функція має єдиний нуль х = 0.

Подальше дослідження властивостей функції у = хn, n ∈ ℕ, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число i n — непарне натуральне число.

• Перший випадок: n = 2k, k ∈ ℕ.

Зазначимо, що при k = 1 отримуємо функцію у = х2, властивості та графік якої було розглянуто в курсі алгебри 8 класу.

Оскільки при будь-якому х вираз х2k набуває тільки невід’ємних значень, то область значень розглядуваної функції не містить жодного від’ємного числа.

Можна показати, що для будь-якого а ≥ 0 існує таке значення аргументу х, що х2k = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = хn, де n — парне натуральне число, є множина [0; +∞).

Якщо х ≠ 0, то x2k > 0.

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = хn, де n — парне натуральне число.

Функція у = хn, де n — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконується рівність (-х)2k = х2k.

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1∈ (-∞; 0], х2∈ (-∞; 0] і х1 < х2. Тоді -х1 > -х2 ≥ 0. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо: (-х1)2k > (-х2)2k. Звідси

Отже, функція у = хn, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (-∞; 0]. Аналогічно можна показати, що ця функція зростає на проміжку [0; +∞).

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = хn, де n — парне натуральне число (рис. 2.1). Зокрема, графік функції у = х4 зображено на рисунку 2.2.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

• Другий випадок: n = 2k + 1, k ∈ ℕ або k = 0.

Зазначимо, що при n = 1 отримуємо функцію у = х, властивості та графік якої було розглянуто в курсі алгебри 7 класу.

Тепер нехай n = 2k + 1, k ∈ ℕ.

Можна показати, що для будь-якого а існує таке значення аргументу х, що х2k+1 = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = хn, де n — непарне натуральне число, є множина ℝ.

Якщо х < 0, то x2k+1 < 0; якщо х > 0, то х2k+1 > 0.

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = хn, де n — непарне натуральне число.

Функція у = хn, де n — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконується рівність (-х)2k+1 = -x2k+1.

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1< х2. Скориставшись властивістю числових нерівностей, отримуємо:

Отже, функція у = хn, де n — непарне натуральне число, є зростаючою.

Рис. 2.3

Рис. 2.4

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = хn, де n — непарне натуральне число, n > 1 (рис. 2.3). Зокрема, графік функції у = х3 зображено на рисунку 2.4.

Дослідимо взаємне розміщення графіків функцій у = хm і у = хn, де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m > n, на проміжку [0; +∞). Очевидно, що ці графіки мають дві спільні точки: (0; 0) і (1; 1).

Розглянемо різницю хm - хn = хnm-n - 1). Оскільки m > n, то (m - n) ∈ ℕ.

Якщо 0 < х < 1, то хn > 0 і хm-n < 1. Звідси хnm-n - 1) < 0.

Якщо х > 1, то хn > 0 і хm-n > 1. Звідси хnm-n - 1) > 0.

Отже, на проміжку (0; 1) графік функції у = хm знаходиться нижче від графіка функції у = хn, а на проміжку (1; +∞) — вище (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Рис. 2.6

Рис. 2.7

Якщо m i n — парні натуральні числа, то, відобразивши графік, зображений на рисунку 2.5, симетрично відносно осі ординат, отримаємо рисунок 2.6. Для непарних m і nзастосуємо симетрію відносно початку координат (рис. 2.7).

Функцію, яку можна задати формулою у = хn, де n ∈ ℤ, називають степеневою функцією із цілим показником.

Розглянемо випадки, коли показник n є цілим від’ємним числом або нулем.

Областю визначення функції у = х0 є множина (-∞; 0) U (0; +∞), областю значень — одноелементна множина {1}. Графік цієї функції зображено на рисунку 2.8.

Розглянемо функцію у = х-n, де n ∈ ℕ. Окремий випадок цієї функції, коли n = 1, тобто функція у = , відомий вам з курсу алгебри 8 класу.

Запишемо функцію у = х-n у вигляді y = . . Тоді стає зрозумілим, що областю визначення функції у = х-n, n ∈ ℕ, є множина (-∞; 0) U (0; +∞).

Очевидно, що ця функція нулів не має.

Подальші дослідження властивостей функції у = х-n, де n ∈ ℕ, проведемо для двох випадків: n — парне натуральне число i n — непарне натуральне число.

Рис. 2.8

• Перший випадок: n = 2k, k ∈ ℕ.

Маємо:

Оскільки вираз набуває тільки додатних значень, то до області значень розглядуваної функції не входять ні від’ємні числа, ні число 0.

Можна показати, що для будь-якого а > 0 існує таке значення аргументу х, що х-2k = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = х-n, де n — парне натуральне число, є множина (0; +∞).

Очевидно, що проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = х-n, де n — парне натуральне число. Функція у = х-n, де n — парне натуральне число, є парною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконуються рівності

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1∈ (-∞; 0), х2∈ (-∞; 0) і x1 < х2. Тоді -х1 > -x2 > 0. Скориставшись властивостями числових нерівностей, отримуємо:

Звідси

Отже, функція у = х-n, де n — парне натуральне число, зростає на проміжку (-∞; 0).

Аналогічно можна показати, що функція у = х-n, де n — парне натуральне число, спадає на проміжку (0; +∞). Зауважимо, що зі збільшенням модуля х значення виразу k ∈ℕ, стають усе меншими й меншими. Через це відстань від точки графіка функції k ∈ ℕ, до осі абсцис зменшується зі збільшенням модуля абсциси точки та може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.

Також можна встановити, що зі збільшенням модуля ординати відстань від точки графіка функції до осі ординат зменшується та може стати як завгодно малою, але ніколи не дорівнюватиме нулю.

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = х-n, де n — парне натуральне число (рис. 2.9). Зокрема, графік функції

зображено на рисунку 2.10.

Рис. 2.9

Рис. 2.10

• Другий випадок: n = 2k - 1, k ∈ ℕ.

Можна показати, що для будь-якого а ≠ 0 існує таке значення аргументу х, що х-(2k-1) = а.

Сказане означає, що областю значень функції у = х-n, де n — непарне натуральне число, є множина (-∞; 0)U(0; +∞).

Якщо х < 0, то

якщо х > 0, то

Отже, проміжки (-∞; 0) і (0; +∞) є проміжками знакосталості функції у = х-n, де n — непарне натуральне число.

Функція у = х-n, де n — непарне натуральне число, є непарною. Справді, для будь-якого х із області визначення виконуються рівності

Розглянемо довільні числа х1 і х2 такі, що х1∈ (-∞; 0), х2∈ (-∞; 0) і х1 < х2. Тоді -х1 > -х2 > 0. Скориставшись властивостями числових нерівностей, отримуємо:

Отже, розглядувана функція спадає на проміжку (-∞; 0). Аналогічно можна показати, що ця функція спадає і на проміжку (0; +∞).

Отже, функція у = х-n, де n — непарне натуральне число, спадає на кожному з проміжків (-∞; 0) і (0; +оо).

Отримані властивості дають змогу схематично зобразити графік функції у = х-n, де n — непарне натуральне число (рис. 2.11). Зокрема, графік функції зображено на рисунку 2.12.

Рис. 2.11

Рис. 2.12

Вище було проведено дослідження взаємного розміщення графіків функцій у = хm і у = хn, де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m > n. Міркуючи аналогічно, можна показати, що схематичне розміщення графіків функцій у = х-m і у = х-n, де m ∈ ℕ, n ∈ ℕ, m > n, є таким, як показано на рисунках 2.13, 2.14.

Рис. 2.13

Рис. 2.14

ВПРАВИ

2.1. При яких значеннях а графік функції у = ах4 проходить через точку:

1) А (2; -12); 2) В (-3; -3)?

2.2. При яких значеннях а графік функції у = ах-3 проходить через точку:

1) А (-5; 20); 2)

2.3. Функцію задано формулою f(х) = х19. Порівняйте:

1) f(1,4) і f(1,8); 3) f(-6,9) і f(6,9);

2) f(-7,6) і f(-8,5); 4)f(0,2) і f(-12).

2.4. Функцію задано формулою f(х) = х20. Порівняйте:

1) f(3,6) і f(4,2); 3) f(-2,4) і f(2,4);

2) f(-6,7) і f(-5,8); 4)f(-15) і f(2).

2.5. Дано функцію f(х) = х-16. Порівняйте:

1) f(1,6) і f(2,2); 3) f(-3,4) і f(3,4);

2) f(-4,5) і f(-3,6); 4) f(-18) і f(3).

2.6. Дано функцію f(х) = х-19. Порівняйте:

1) f(1,6) і f(2); 3) f(-9,6) і f(9,6);

2) f(-5,6) і f(-6,5); 4) f(0,1) і f(-10).

2.7. Скільки коренів має рівняння хn = 1600, якщо:

1) n — парне натуральне число;

2) n — непарне натуральне число?

2.8. Скільки коренів має рівняння х-n = 2500, якщо:

1) n — парне натуральне число;

2) n — непарне натуральне число?

2.9. Установіть графічно кількість коренів рівняння:

1)х8 = х + 1; 2)х5 = 3 - 2х; 3)х4 = 0,5х - 2; 4)х3 = х2 - 3.

2.10. Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

2.11. Знайдіть область визначення функції:

1) у = (x-1)-1; 2) у = ((х - 2)-2)-2.

2.12. Побудуйте графік функції:

2.13. Побудуйте графік рівняння:

1) (y + 2)0 = х - 2; 2) (у - 2)0 = (х + 1)0.

2.14. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння:

1) х12 = а - 6; 2) х24 = а2 + 7а - 8?

2.15. Скільки коренів залежно від значення параметра а має рівняння х8 = 9а - а3?

2.16. Побудуйте графік функції:

2.17. Побудуйте графік функції:

2.18. Побудуйте графік функції:

1) у = | х | х4; 2) у = | х | х4 + х5.

2.19. Побудуйте графік функції:

1) у = | х | х3; 2) у = | х | х4 - х5.

2.20. Побудуйте графік функції:

2.21. Побудуйте графік функції:

1) у = х-5 - 3; 2)у = (х + 1)-4; 3)у = |х-5 |.

2.22. Побудуйте графік функції

Користуючись побудованим графіком, установіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.

2.23. Побудуйте графік функції

Користуючись побудованим графіком, укажіть проміжки зростання і проміжки спадання даної функції.

2.24. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х8 на проміжку:

1) [0; 2]; 2) [-2; -1]; 3) [-1; 1]; 4) (-∞; -2]; 5) (-2; 1).

2.25. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х-3 на проміжку:

2.26. Парним чи непарним натуральним числом є показник степеня n функції f(х) = хn, якщо:

1) f(-4) > f(-2); 3) f(-4) < f(-2); 5) f(-4) > f(2);

2) f(-4) < f(2); 4) f(4) > f(2); 6) f(4) > f(-2)?

2.27. Парним чи непарним є натуральне число п у показнику степеня функції f(х) = х-n, якщо:

1) f(-2) > f(-1); 3) f(-2) < f(-1);

2) f(-2) < f(1); 4) f(2) < f(1)?

2.28. Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

2.29. Установіть графічно кількість розв’язків системи рівнянь:

2.30. Знайдіть усі функції f такі, що рівність f (х3) = х21 виконується для всіх х ∈ ℝ.

2.31. Знайдіть усі непарні та визначені на ℝ\ {0} функції f такі, що рівність f(х4) = х-16 виконується для всіх х ∈ ℝ \ {0}.

2.32. Знайдіть усі парні функції f такі, що рівність f(х4) = х20 виконується для всіх х ∈ ℝ.

2.33. Розв’яжіть рівняння:

1) х11 + х3 = 2; 2) 2х4 + х10 = 3.

2.34. Розв’яжіть рівняння:

1)4х3 + х7 = -5; 2)х6 + 3х8 = 4.

2.35. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х8 на проміжку [-1; а], де а > -1.

2.36. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(х) = х6 на проміжку [а; 2], де а < 2.

2.37. Розв’яжіть рівняння 5х17 - 3х8 = 2.

2.38. Розв’яжіть рівняння 11х15 + 2х4 = -9.

2.39. Наведіть приклад такої послідовності визначених на ℝ різних функцій f1, f2, …, що для всіх k ∈ ℕ, n ∈ ℕ, х ∈ ℝ виконується рівність fk (fn (х)) = fkn (х).

2.40. Наведіть приклад такої послідовності визначених на ℝ різних функцій f1, f2, …, що для всіх k ∈ ℕ, n ∈ ℕ, х ∈ ℝ виконується рівність fk (х) ∙ fn (х) = fk+n (х).





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити