Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

27. Розв'язування тригонометричних рівнянь методом розкладання на множники

Якщо права частина рівняння дорівнює нулю, а ліву частину вдалося розкласти на множники, то розв’язування цього рівняння можна звести до розв’язування кількох простіших рівнянь.

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння sin 2х + cos x = 0.

Розв’язання. Маємо: 2 sin х cos х + cos х = 0;

cos х (2 sin х + 1) = 0;

Відповідь:

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння sin 3х + sin x = sin 2х.

Розв’язання. Маємо: sin 3х + sin х - sin 2х = 0;

2 sin 2х cos х - sin 2х = 0; sin 2х (2 cos х - 1) = 0;

Відповідь:

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння sin2 х + sin2 2х + sin2 3х = 1,5.

Розв’язання. Скориставшись формулами пониження степеня, запишемо:

Далі маємо:

Отримуємо сукупність рівнянь

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння

sin 6х cos 2х = sin 5х cos 3х - sin 2х.

Розв’язання. Перетворивши добуток тригонометричних функцій у суму, отримуємо:

Перейдемо до сукупності рівнянь:

Відповідь:

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння sin 3х + 3 sin 2х = 3 sin х.

Розв’язання. Застосувавши формули синуса подвійного та потрійного аргументів, отримуємо:

З sin х - 4 sin3 х + 6 sin х cos х = 3 sin х.

Звідси 2 sin х (3 cos х - 2 sin2 х) = 0;

2 sin х (3 cos х - 2 (1 - cos2 х)) = 0;

2 sin х (2 cos2 х + 3 cos х - 2) = 0.

Переходимо до сукупності рівнянь

Звідси

Відповідь: n, ± + 2 n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння

1 + sin х + cos x + sin 2x + cos 2x = 0.

Розв’язання. Перепишемо дане рівняння у вигляді

(1 + cos 2х) + sin 2х + (sin х + cos х) = 0.

Тепер можна записати: 2 cos2 х + 2 sin х cos х + (sin х + cos х) = 0;

2 cos х (sin х + cos х) + (sin х + cos x) = 0;

(2 cos x +1) (sin x + cos x) = 0.

Отримуємо сукупність рівнянь

Звідси

Відповідь:

ВПРАВИ

27.1. Розв’яжіть рівняння:

27.2. Розв’яжіть рівняння:

27.3. Розв’яжіть рівняння:

27.4. Розв’яжіть рівняння:

27.5. Розв’яжіть рівняння:

1) sin 2х + 2 sin х = cos х + 1; 4) 2 sin 2х + cos 3х - cos х = 0;

2) 1 + cos 8х = cos 4х; 5) cos х - cos 3х + sin х = 0;

3) cos х + cos 3х + cos 2х = 0; 6) sin 4х + 2 cos2 х = 1;

7) cos x - cos 3x = 3 sin2 x;

8) sin x + sin 2x + sin 3x + sin 4x = 0;

9) cos 7x + sin 8x = cos 3x - sin 2x:

10) sin 2x + cos 5x - cos 9x = 0.

27.6. Розв’яжіть рівняння:

1) sin 2x + 2 sin x = 0;

2) sin 2x - cos x = 2 sin x - 1;

3) 1 - cos 8x = sin 4x;

4) sin 2x + sin 4x + cos x = 0;

5) sin x + sin 2x + sin 3x = 0;

6) cos 9x - cos 7x + cos 3x - cos x = 0;

7) sin x - sin 2x + sin 5x + sin 8x = 0;

8) cos 5x + sin 3x - sin 7x = 0.

27.7. Розв’яжіть рівняння:

27.8. Розв’яжіть рівняння:

27.9. Розв’яжіть рівняння:

1) cos 3х + sin х sin 2х = 0; 3) 2 cos (х +20°) cos х = cos 40°;

2) sin 3х cos 2х = sin 5х; 4) cos3xcos6x = cos4xcos7x.

27.10. Розв’яжіть рівняння:

27.11. Розв’яжіть рівняння:

27.12. Розв’яжіть рівняння cos 3х - sin х = - (sin 3х - cos х).

27.13. Розв’яжіть рівняння:

1) sin 3х + sin х - sin 2х = 2 cos2 х - 2 cos х;

2) (cos х - sin х)2 - 0,5 sin 4х = sin4 х - cos4 х.

27.14. Розв’яжіть рівняння:

1) sin3 4х +cos34х = 1 - 0,5sin8х;

2) cos2x + sin2x = (cos4 2х - sin42х).

27.15. При яких значеннях а триелементна множина {sin a, sin 2а, sin 3а} збігається з множиною {cos a, cos 2а, cos 3а}?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити