§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

28. Приклади розв'язування більш складних тригонометричних рівнянь

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння cos x + sin x + sin x cos x = 1.

Розв’язання. Нехай cos х + sin х = t. Тоді sin²х + 2sinхcosх + cos² х = t²; sin x cos

Дане в умові рівняння набуває вигляду або t² + 2t - 3 = 0. Звідси = -3, t₂ = 1.

З урахуванням заміни отримуємо сукупність рівнянь

Оскільки | cos x | ≤ 1 | | sin x | ≤ 1, то перше рівняння сукупності коренів не має.

Залишається розв’язати рівняння cos х + sin х = 1. Маємо:

Відповідь: 2 n, + 2 n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Із формул синуса і косинуса потрійного аргументу знайдемо sin³x і cos³x:

Тоді дане рівняння набуде вигляду

Маємо:

Відповідь: ± + k, k ∈ ℤ.

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння 4 cos х cos 2х cos 4х = cos 7х.

Розв’язання. Помножимо обидві частини рівняння на sinx. Отримаємо рівняння-наслідок

4 sin х cos х cos 2х cos 4х = cos 7х sin х.

Звідси sin 8х = 2 cos 7х sin х; sin 8х = sin 8х - sin 6х; sin 6х = 0; x = , k ∈ ℤ.

Оскільки корені рівняння sin х = 0 не є коренями заданого в умові рівняння, то з отриманих розв’язків необхідно виключити всі числа виду х = m, m ∈ ℤ.

Маємо: ≠ m, звідси k ≠ 6m.

Відповідь: , k ∈ ℤ, k ≠ 6m, m ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки при будь-якому значенні х виконуються нерівності і х² +1 ≥ 1, то коренями даного рівняння є ті значення змінної, при яких значення його лівої і правої частин одночасно дорівнюють 1. Отже, дане рівняння рівносильне системі рівнянь

Друге рівняння системи має єдиний корінь х = 0. Він також задовольняє перше рівняння системи.

Відповідь: 0.

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння х²- 2xsin + 1 = 0.

Розв’язання. Розглянемо дане рівняння як квадратне відносно х. Оскільки для існування коренів рівняння дискримінант D = 4 sin² -4 має бути невід’ємним, то отримуємо: sin² > 1.

Звідси sin = 1 або sin = -1. Тепер зрозуміло, що задане в умові рівняння рівносильне сукупності двох систем рівнянь:

Відповідь: 1; -1.

ВПРАВИ

28.1. Розв’яжіть рівняння 2 sin 2х = 3 (sin х + cos х).

28.2. Розв’яжіть рівняння sin 2х + 5 (sin х + cos х) = 0.

28.3. Розв’яжіть рівняння:

28.4. Розв’яжіть рівняння sin х + cos х = 1 + sin х cos x.

28.5. Розв’яжіть рівняння:

1) 3 cos х + 3 sin х + sin 3х - cos 3х = 0;

2) cos4x = cos² 3х;

3) sin³ x sin 3х + cos³ x cos 3x = cos³ 4x.

28.6. Розв’яжіть рівняння:

28.7. Розв’яжіть рівняння:

28.8. Розв’яжіть рівняння:

28.9. Розв’яжіть рівняння:

28.10. Розв’яжіть рівняння:

28.11. Розв’яжіть рівняння sin x = х² + x + 1.

28.12. Розв’яжіть рівняння 3х² = 1 - 2cosx.

28.13. Розв’яжіть рівняння:

1) 4y² - 4y cosx + 1 = 0;

2) (x + у)² +10 (x + у) cos (xy) + 25 = 0.

28.14. Розв’яжіть рівняння:

1) x² + 8x sin (xy) +16 = 0;

2) у² - 3 (cos x - sin x) у + 9 = 0.

28.15. Розв’яжіть рівняння:

28.16. Розв’яжіть рівняння:

28.17. Розв’яжіть рівняння:

28.18. Розв’яжіть рівняння:

1) sin³ х + cos⁹ х = 1; 2) cos⁴ х - sin⁷ х = 1.

28.19. Розв’яжіть рівняння:

28.20. Розв’яжіть рівняння:

28.21. Розв’яжіть рівняння

28.22. Розв’яжіть рівняння

28.23. Розв’яжіть рівняння:

28.24. Розв’яжіть рівняння:

1) (sin (х - у) + 1) (2 cos (2х - у) + 1) = 6;

2) tg⁴ х + tg⁴ у + 2 ctg² х ctg² у = 3 + sin² (х + у).

28.25. При яких значеннях параметра а рівняння 6а cos - а² (1 + 6 | х |) + 7 = 0 має єдиний корінь?

28.26. При яких значеннях параметра а рівняння a²cosrcx - а (1 + 8х²) = 6 має єдиний корінь?

28.27. При яких значеннях параметра а рівняння х² - 2a sin (cos х) + 2 = 0 має єдиний корінь?

28.28. При яких значеннях параметра а рівняння 2х² - a tg (cos х) + а² = 0 має єдиний корінь?

28.29. Знайдіть множину пар чисел (а; Ь), для кожної з яких рівність a(cosx - 1) + b² = cos(ax + b²) - 1 виконується для всіх х.

28.30. При яких значеннях параметра а рівняння (а -1) sin + sin х = 1 і (а - a²) cos 2х + sin х = а мають рівні непорожні множини розв’язків?