Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

29. Про рівносильні переходи під час розв'язування тригонометричних рівнянь

У попередніх пунктах ви ознайомилися з основними прийомами розв’язування тригонометричних рівнянь. Проте застосування кожного методу має свої «підводні рифи».

Очевидно, що поза областю визначення рівняння коренів бути не може (рис. 29.1). Якщо під час перетворень рівняння відбувається розширення області його визначення, то зрозуміло, що це може призвести до появи сторонніх коренів. Цю небезпеку потрібно брати до уваги, розв’язуючи тригонометричні рівняння.

Рис. 29.1

ПРИКЛАД 1 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи:

Очевидно, що при парних значениях k розв’язки першого рівняння сукупності не задовольняють систему. При k = 2m - 1, m ∈ ℤ, отримуємо:

Відповідь: - + 2m, m ∈ ℤ; 2n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Застосуємо формули синуса і косинуса потрійного аргументу.

Отримаємо:

Звідси

Останнє рівняння рівносильне системі

Відповідь: n,n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 3 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Перейдемо до рівносильної системи:

При х = + k маємо: cos2x = cos(7t + 2k) = -1 < 0.

При x = + маємо:

Відповідь:

У деяких тригонометричних тотожностях вирази, записані в лівих і правих частинах, мають різні області визначення. Наведемо кілька прикладів.

(1)

Областю визначення лівої частини цієї тотожності є множина ℝ, а правої — множина {а ∈ ℝ | а ≠ + 2nk, k ∈ ℤ}.

(2)

Областю визначення лівої частини тотожності (2) є множина

областю визначення правої частини — множина

Застосування цих формул справа наліво призводить до розширення області визначення рівняння, а отже, з’являється загроза появи сторонніх коренів.

ПРИКЛАД 4 Розв’яжіть рівняння (1 + tg2 x) sin x + tg2 х - 1 = 0.

Розв’язання. Запишемо дане рівняння у вигляді

(1 + tg2 х) sin х = 1 - tg2 х.

Поділимо обидві частини останнього рівняння на 1 + tg2x. Зрозуміло, що таке перетворення не порушує рівносильності. Отримуємо:

Оскільки має місце формула

то виникає бажання замінити праву частину останнього рівняння на cos 2х. Проте така заміна розширить його область визначення на множину чисел виду + k, k ∈ ℤ. Отже, дане рівняння рівносильне системі

Звідси

Отримуємо: sin х = .

Відповідь: (-1)n + n, n ∈ ℤ.

Очевидно, що звуження області визначення рівняння — це загроза втрати коренів. Наприклад, застосування формул (1) і (2) зліва направо може призвести до втрати коренів.

ПРИКЛАД 5 Розв’яжіть рівняння tg 2х + sin 2х = ctg x.

Розв’язання. Застосувавши формули

дане рівняння зручно звести до алгебраїчного рівняння відносно tg х. Проте такі перетворення звужують область визначення рівняння та призводять (у цьому нескладно переконатися) до втрати коренів виду + n, n ∈ ℤ. Цей факт треба врахувати, записуючи відповідь.

Розв’язавши рівняння

отримаємо:

х = ±arctg + n, n ∈ ℤ.

Відповідь: + n, ±arctg + n, n ∈ ℤ.

ПРИКЛАД 6 Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Очевидно, що вигідно застосувати тотожність

Але при цьому область визначення рівняння звузиться на множину

Легко переконатися, що числа виду + k, k ∈ ℤ, є коренями даного рівняння. Ураховуючи це, запишемо сукупність, рівносильну даному рівнянню:

Звідси

Відповідь:

ВПРАВИ

29.1. Розв’яжіть рівняння:

29.2. Розв’яжіть рівняння:

29.3. Розв’яжіть рівняння:

29.4. Розв’яжіть рівняння:

29.5. Розв’яжіть рівняння:

29.6. Розв’яжіть рівняння:

29.7. Розв’яжіть рівняння:

29.8. Розв’яжіть рівняння:

29.9. Розв’яжіть рівняння:

29.10. Розв’яжіть рівняння:

29.11. Розв’яжіть рівняння:

29.12. Розв’яжіть рівняння:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити