§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

31. Тригонометрична підстановка

Застосування формул скороченого множення, використання відомих нерівностей, зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних тощо — такі «чисто алгебраїчні» методи ви неодноразово використовували під час розв’язування тригонометричних задач.

Тут ми розглянемо певною мірою обернений прийом, який полягає в тому, що під час розв’язування задач деякий алгебраїчний вираз замінюють тригонометричним.

ПРИКЛАД 1 Відомо, що m² + n² = 1, р² + q² = 1, mр + nq = 0. Обчисліть mn + pq.

Розв’язання. Оскільки m² + n² = 1, р² + q² = 1, то існують точки А (m; n) і В (р; q), які належать одиничному колу. Тоді існують такі а і β, що m = cos а, n = sin а, р = cos β, q = sin β.

Маємо: mр + nq = cos a cos β + sin а sin β = cos (а - β). За умовою mр + nq = 0. Тоді cos (а - β) = 0.

Можна записати: mn + pq = cos a sin а + cos β sin β = (sin 2а + sin 2β) = sin (а + β) cos (а - β).

Оскільки cos (а - β) = 0, то mn + pq = 0.

Відповідь: 0.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання. Рівняння х² + у² = 1 дає змогу зробити таку заміну: x = sina, у = cos а, де а ∈ [0; 2).

Тоді з другого рівняння системи маємо:

Зі знайденої множини коренів проміжку [0; 2 ) належать числа

Якщо а , то отримуємо:

Аналогічно можна знайти й інші три розв’язки.

Відповідь:

Зауважимо, що відповідь до прикладу 2 можна було подати і в тригонометричному вигляді:

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки має виконуватись умова 1 - х²≥ 0, то | х | ≤ 1. Тоді можна зробити заміну x = cosa, а ∈ [0;].

Тепер дане рівняння можна записати так:

Звідси | sin a | = cos 3a.

При а ∈ [0; ] є правильною нерівність sina ≥ 0. Маємо: sin a = cos 3а. Розв’язуючи це рівняння, отримуємо:

Із розв’язків сукупності оберемо ті, які задовольняють умову 0 ≤ а ≤ . Це числа

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Числа х₁, х₂,...,х_n належать проміжку [-1; 1], при чому сума їхніх кубів дорівнює 0. Доведіть, що х₁ + х₂ +... + х_n ≤ .

Розв’язання. Нехай х₁ = cosa₁, х₂ = cosa₂, ..., х_n = cosa_n, де а₁∈ [0; ], і = 1, 2, ..., n.

За умовою cos³ a_x+ cos³ a₂ +... + cos³ a_n = 0.

Скориставшись рівністю

отримуємо:

ПРИКЛАД 5 Доведіть, що при будь-яких х і у виконується нерівність

Розв’язання. Зробимо заміну: x = tga, y = tgβ, де  

Маємо:

Звідси випливає справедливість нерівності, що доводиться.

ПРИКЛАД 6 Доведіть, що

Розв’язання. Скористаємося заміною a = tga, b = tgβ, с = tg у, де a, β, у належать проміжку

Тотожність, що доводиться, стає такою: tg (а - β) + tg (β - у) + tg (у - а) = tg (а - β) tg (β - у) tg (у - а).

Зауважимо, що а - β + β - у + у - а = 0. Таким чином, задача звелася до доведення тотожності tg х + tg у + tg z = tg x tg у tg z при x + у + z = 0. Завершіть розв’язування самостійно.

ПРИКЛАД 7 Доведіть, що з будь-яких п’яти різних чисел завжди можна вибрати такі два числа х і у, що

Розв’язання. Нехай t₁, t₂, ..., t₅ — довільні числа. Тоді в проміжку існують такі числа а₁, а₂, ..., а₅, що t₁ = tg а₁, t₂ = tg а₂, ..., t₅ = tg а₅.

Розглянемо чотири проміжки:

Зрозуміло, що з п’яти чисел а₁, а₂, ..., а₅ знайдуться щонайменше два числа а_m і а_n (а_m > а_n), які належать одному із цих проміжків. Тоді 0 < a_m - а_n < .

Звідси 0 < tg (а_m - а_n) < tg ;

Позначивши tga_m = х, tgan = у, отримаємо:

ПРИКЛАД 8 Відомо, що 1 ≤ х² + y^{2 ≤} 2. Доведіть нерівність ≤ х + ху + у ≤ 3.

Розв’язання. Позначимо х² + у² = r², де r > 0. З умови 1 ≤ х² + у²≤ 2 випливає, що точка М (х; у) належить колу х² + у² = r², де 1 ≤ r ≤ (рис. 31.1). Тоді можна записати, що х = r cos a, y = r sin а, де a ∈ [0; 2).

Маємо:

Оскільки

то

Рис. 31.1

ВПРАВИ

31.1. Числа a, b, с, d задовольняють умови а² + b² = 1, с²+ d² = 1. Доведіть, що | ac - bd | ≤ 1.

31.2. Розв’яжіть рівняння

31.3. Розв’яжіть рівняння

31.4. Розв’яжіть рівняння

31.5. Розв’яжіть рівняння 8х(1 - 2х²)(8х⁴ - 8х² + 1) = 1.

31.6. При яких значеннях параметра а система рівнянь має розв’язок?

31.7. Скільки розв’язків має система рівнянь

31.8. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу

31.9. Чи існує 100-елементна множина, яка має таку властивість: разом з кожним числом х вона містить число 2х² - 1?

31.10. Послідовність (хn) задовольняє умови:

Чи існує таке а, що х₁₀₁ = ?

31.11. Дано функцію f(х) = 2х² - 1. Розв’яжіть рівняння f(f(f(х))) = х.

31.12. Послідовність (аn) задовольняє умови: щ = а, а_n+1 = 2а² - 1, n ∈ ℕ. Укажіть хоча б одне значення а, при якому а₁₀₀₀ = 0.

31.13. Послідовність (аn) задовольняє умови: а₁ = 0, а₂ = а, де n ≥ 2, а і b — такі числа, що а² + b²= 1. Доведіть, що для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність |а_n | ≤ 1.