Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§4 ТРИГОНОМЕТРИЧНІ РІВНЯННЯ І НЕРІВНОСТІ

31. Тригонометрична підстановка

Застосування формул скороченого множення, використання відомих нерівностей, зведення тригонометричних рівнянь до алгебраїчних тощо — такі «чисто алгебраїчні» методи ви неодноразово використовували під час розв’язування тригонометричних задач.

Тут ми розглянемо певною мірою обернений прийом, який полягає в тому, що під час розв’язування задач деякий алгебраїчний вираз замінюють тригонометричним.

ПРИКЛАД 1 Відомо, що m2 + n2 = 1, р2 + q2 = 1, mр + nq = 0. Обчисліть mn + pq.

Розв’язання. Оскільки m2 + n2 = 1, р2 + q2 = 1, то існують точки А (m; n) і В (р; q), які належать одиничному колу. Тоді існують такі а і β, що m = cos а, n = sin а, р = cos β, q = sin β.

Маємо: mр + nq = cos a cos β + sin а sin β = cos (а - β). За умовою mр + nq = 0. Тоді cos (а - β) = 0.

Можна записати: mn + pq = cos a sin а + cos β sin β = (sin 2а + sin 2β) = sin (а + β) cos (а - β).

Оскільки cos (а - β) = 0, то mn + pq = 0.

Відповідь: 0.

ПРИКЛАД 2 Розв’яжіть систему рівнянь

Розв’язання. Рівняння х2 + у2 = 1 дає змогу зробити таку заміну: x = sina, у = cos а, де а ∈ [0; 2).

Тоді з другого рівняння системи маємо:

Зі знайденої множини коренів проміжку [0; 2 ) належать числа

Якщо а , то отримуємо:

Аналогічно можна знайти й інші три розв’язки.

Відповідь:

Зауважимо, що відповідь до прикладу 2 можна було подати і в тригонометричному вигляді:

ПРИКЛАД З Розв’яжіть рівняння

Розв’язання. Оскільки має виконуватись умова 1 - х2≥ 0, то | х | ≤ 1. Тоді можна зробити заміну x = cosa, а ∈ [0;].

Тепер дане рівняння можна записати так:

Звідси | sin a | = cos 3a.

При а ∈ [0; ] є правильною нерівність sina ≥ 0. Маємо: sin a = cos 3а. Розв’язуючи це рівняння, отримуємо:

Із розв’язків сукупності оберемо ті, які задовольняють умову 0 ≤ а ≤ . Це числа

Відповідь:

ПРИКЛАД 4 Числа х1, х2,...,хn належать проміжку [-1; 1], при чому сума їхніх кубів дорівнює 0. Доведіть, що х1 + х2 +... + хn.

Розв’язання. Нехай х1 = cosa1, х2 = cosa2, ..., хn = cosan, де а1∈ [0; ], і = 1, 2, ..., n.

За умовою cos3 ax+ cos3 a2 +... + cos3 an = 0.

Скориставшись рівністю

отримуємо:

ПРИКЛАД 5 Доведіть, що при будь-яких х і у виконується нерівність

Розв’язання. Зробимо заміну: x = tga, y = tgβ, де  

Маємо:

Звідси випливає справедливість нерівності, що доводиться.

ПРИКЛАД 6 Доведіть, що

Розв’язання. Скористаємося заміною a = tga, b = tgβ, с = tg у, де a, β, у належать проміжку

Тотожність, що доводиться, стає такою: tg (а - β) + tg (β - у) + tg (у - а) = tg (а - β) tg (β - у) tg (у - а).

Зауважимо, що а - β + β - у + у - а = 0. Таким чином, задача звелася до доведення тотожності tg х + tg у + tg z = tg x tg у tg z при x + у + z = 0. Завершіть розв’язування самостійно.

ПРИКЛАД 7 Доведіть, що з будь-яких п’яти різних чисел завжди можна вибрати такі два числа х і у, що

Розв’язання. Нехай t1, t2, ..., t5 — довільні числа. Тоді в проміжку існують такі числа а1, а2, ..., а5, що t1 = tg а1, t2 = tg а2, ..., t5 = tg а5.

Розглянемо чотири проміжки:

Зрозуміло, що з п’яти чисел а1, а2, ..., а5 знайдуться щонайменше два числа аm і аnm > аn), які належать одному із цих проміжків. Тоді 0 < am - аn < .

Звідси 0 < tg (аm - аn) < tg ;

Позначивши tgam = х, tgan = у, отримаємо:

ПРИКЛАД 8 Відомо, що 1 ≤ х2 + y22. Доведіть нерівність ≤ х + ху + у ≤ 3.

Розв’язання. Позначимо х2 + у2 = r2, де r > 0. З умови 1 ≤ х2 + у2≤ 2 випливає, що точка М (х; у) належить колу х2 + у2 = r2, де 1 ≤ r ≤ (рис. 31.1). Тоді можна записати, що х = r cos a, y = r sin а, де a ∈ [0; 2).

Маємо:

Оскільки

то

Рис. 31.1

ВПРАВИ

31.1. Числа a, b, с, d задовольняють умови а2 + b2 = 1, с2+ d2 = 1. Доведіть, що | ac - bd | ≤ 1.

31.2. Розв’яжіть рівняння

31.3. Розв’яжіть рівняння

31.4. Розв’яжіть рівняння

31.5. Розв’яжіть рівняння 8х(1 - 2х2)(8х4 - 8х2 + 1) = 1.

31.6. При яких значеннях параметра а система рівнянь має розв’язок?

31.7. Скільки розв’язків має система рівнянь

31.8. Знайдіть найбільше і найменше значення виразу

31.9. Чи існує 100-елементна множина, яка має таку властивість: разом з кожним числом х вона містить число 2х2 - 1?

31.10. Послідовність (хn) задовольняє умови:

Чи існує таке а, що х101 = ?

31.11. Дано функцію f(х) = 2х2 - 1. Розв’яжіть рівняння f(f(f(х))) = х.

31.12. Послідовність (аn) задовольняє умови: щ = а, аn+1 = 2а2 - 1, n ∈ ℕ. Укажіть хоча б одне значення а, при якому а1000 = 0.

31.13. Послідовність (аn) задовольняє умови: а1 = 0, а2 = а, де n ≥ 2, а і b — такі числа, що а2 + b2= 1. Доведіть, що для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність |аn | ≤ 1.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити