Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

32. Числові послідовності

З поняттям «числова послідовність» ви ознайомилися в 9 класі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.

Розглянемо функцію у = f(x), областю визначення якої є множина натуральних чисел. Тоді функція f задає нескінченну послідовність f(1), f(2), ..., f(n), ... . Або говорять так: нескінченна послідовність — це функція, областю визначення якої є множина N. Можна сказати, що нескінченна послідовність — це відображення множини N на деяку непорожню множину.

Нагадаємо також, що коли областю визначення функції у = f(х) є множина перших n натуральних чисел, то кажуть, що задано скінченну послідовність.

Надалі будемо розглядати тільки нескінченні послідовності. Випадки, коли розглядатимуться скінченні послідовності, будуть спеціально обумовлені.

Послідовність f(1), f(2), ..., f(n), ... традиційно записують, позначаючи аргументи функції f у вигляді індексів, тобто:

f1, f2, f3, ..., fn, ... .

Індекс указує порядковий номер члена послідовності. Для позначення самої послідовності використовують записи (fn), (аn), (bn) тощо. Наприклад, нехай (рn) — послідовність простих чисел. Тоді p1 = 2, р2 = 3, р3 = 5, р4 = 7, р5 = 11 і т. д.

Послідовність вважають заданою, якщо кожний її член можна визначити за його номером.

Повторимо основні способи задания послідовностей.

Розглянемо послідовність, перший член якої дорівнює 1, а кожний наступний член на 3 більший за попередній. Такий спосіб задания послідовності називають описовим. Його можна проілюструвати за допомогою запису з трьома крапками, виписавши кілька перших членів послідовності в порядку зростання номерів:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, ... .

Цей запис доцільно застосовувати тоді, коли зрозуміло, які числа мають бути записані замість трьох крапок. Наприклад, у послідовності, яку ми розглядаємо, зрозуміло, що після числа 19 має бути записане число 22.

Послідовності можна задавати за допомогою формул. Наприклад, рівність хn = 2n, де змінна n набуває всіх натуральних значень, задає послідовність (хn) натуральних степенів числа 2:

2, 4, 8, 16, 32, ... .

У таких випадках кажуть, що послідовність задано за допомогою формули n-го члена, або говорять, що послідовність задано формулою загального члена.

Розглянемо кілька прикладів.

Формула аn = 2n - 1 задає послідовність непарних натуральних чисел:

1, 3, 5, 7, 9, ... .

Формула уn = (-1)n задає послідовність (уn), у якій усі члени з непарними номерами дорівнюють -1, а члени з парними номерами дорівнюють 1:

1, 1, 1, 1, 1, ... .

Формула сn = 7 задає послідовність (сn), усі члени якої дорівнюють числу 7:

7 7 7 7 7, .... .

Послідовність, усі члени якої рівні, називають стаціонарною. Нерідко послідовність задають правилом, яке дає змогу знайти наступний член, знаючи попередній.

Розглянемо послідовність (аn), перший член якої дорівнює 1, а кожний наступний член послідовності в 3 рази більший за попередній. Маємо:

1, 3, 9, 27, 81, ... .

Цю послідовність, задану описом, також визначають такі умови:

а1 = 1, аn+1 = 3аn, n ∈ ℕ.

Записані рівності вказують перший член послідовності та правило, користуючись яким за кожним членом послідовності можна знайти наступний член:

a1 = 1,

а2 = 3 а1 = 3,

a3 = 3а2 = 9,

а4 = 3а3 = 27,

...

Формулу, яка виражає член послідовності через один або кілька попередніх членів, називають рекурентною формулою (від латин. recurro — повертатися). У наведеному прикладі це формула аn+1 = 3аn. Умови, які визначають перший або кілька перших членів, називають початковими умовами. У розглядуваному прикладі початкова умова — це а1 = 1.

Зауважимо, що знання лише однієї рекурентної формули не дозволяє задати послідовність. Ще мають бути вказані початкові умови.

При рекурентному способі задания послідовності перший або кілька перших членів послідовності є заданими, а всі інші обчислюють один за одним. Із цієї точки зору спосіб задания послідовності формулою n-го члена видається більш зручним: за його допомогою можна безпосередньо знайти потрібний член послідовності, знаючи лише його номер.

Означення. Числову послідовність (аn) називають зростаючою (спадною), якщо для будь-якого натурального числа n виконується нерівність аn < аn+1n > аn+1).

Наприклад, послідовність, яку задано формулою аn = n2, є зростаючою, а послідовність із загальним членом аn = — спадною.

Означення. Числову послідовність (аn) називають неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого натурального числа n виконується нерівність аn ≤ аn+1n ≥ аn+1).

Наприклад, послідовність (аn) така, що a1 = а2 = а3 = 1 і для всіх n ∈ ℕ, n ≥ 4 виконується рівність аn = 2, є неспадною.

Виходячи з означення, стаціонарну послідовність можна віднести як до неспадних, так і до незростаючих послідовностей.

Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні послідовності називають монотонними послідовностями.

Означення. Числову послідовність (аn) називають обмеженою зверху, якщо існує таке число С, що для будь-якого натурального числа п виконується нерівність аn ≤ С.

Означення. Числову послідовність (аn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число с, що для будь-якого натурального числа п виконується нерівність аn ≥ с.

Послідовність називають обмеженою, якщо вона обмежена і знизу, і зверху.

Наприклад, послідовність, яку задано формулою аn = , є обмеженою. Справді, для будь-якого натурального числа n виконується подвійна нерівність 0 < < 1.

Послідовності, задані формулами bn = n, сn = -n!, є прикладами необмежених послідовностей.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою є незростаючою.

Розв’язання. Маємо:

Отже, для будь-якого натурального числа п виконується нерівність аn ≥ аn+1 ...

Зауважимо, що коли всі члени послідовності є додатними числами, то для дослідження послідовності на монотонність можна порівняти відношення з одиницею.

У нашому прикладі легко показати (зробіть це самостійно), що

Звідси з огляду на те, що аn+1 > 0, отримуємо: аn ≥ аn+1.

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою є обмеженою.

Розв’язання. Оскільки аn > 0 для будь-якого n ∈ ℕ, то дана послідовність є обмеженою знизу.

Покажемо, що ця послідовність обмежена зверху. Застосувавши нерівність Коші до чисел n і 25, отримуємо:

Отже, для будь-якого натурального числа n маємо: аn ≤ 1.

ПРИКЛАД 3 Доведіть, що послідовність, задана формулою хn =5n - 4n є необмеженою.

Розв’язання. За допомогою методу математичної індукції доведемо, що 5n - 4n ≥ n для всіх n ∈ ℕ.

База індукції: при n = 1 нерівність є правильною. Справді, 51 - 41 ≥ 1.

Індукційний перехід. Нехай при деякому n = k має місце нерівність 5k - 4K ≥ k. Доведемо, що при n = k + 1 виконується нерівність 5k+1 - 4k+1 ≥ k + 1. Маємо:

5k+1 - 4k+1 = 5 ⋅ 5k - 4 ⋅ 4k = 5k + 4(5k - 4k) ≥ 5k + 4k > k + 1.

За методом математичної індукції нерівність 5n - 4n ≥ n встановлено для всіх n ∈ ℕ.

Доведена нерівність означає, що послідовність (хn) необмежена зверху, тобто не можна вказати таку сталу С, для якої нерівність 5n - 4n < С виконувалася б для всіх n ∈ ℕ.

ВПРАВИ

32.1. Доведіть, що послідовність (аn) є зростаючою, якщо:

32.2. Доведіть, що послідовність (аn) є спадною, якщо:

32.3. Доведіть, що послідовність (аn) не є монотонною, якщо:

32.4. Доведіть, що послідовність (аn) не є монотонною, якщо:

32.5. Наведіть приклад послідовності (аn) з найменшим членом а15.

32.6. Наведіть приклад послідовності (аn) з найбільшим членом а25.

32.7. Дослідіть на монотонність послідовність, задану формулою:

32.8. Доведіть, що послідовність (аn) обмежена зверху:

32.9. Доведіть, що послідовність (аn) обмежена знизу:

32.10. Доведіть, що послідовність (хn) є необмеженою:

32.11. Чи є обмеженою послідовність (хn), задана формулою n-го члена:

32.12. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою тоді й тільки тоді, коли існує таке число М > 0, що для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність | аn | ≤ М.

32.13. Для членів послідовностей (аn) і (bn) при кожному n ∈ ℕ виконується нерівність аn ≤ bn. Чи є правильним твердження:

1) якщо послідовність (аn) обмежена знизу, то й послідовність (bn) обмежена знизу;

2) якщо послідовність (bn) обмежена знизу, то й послідовність (аn) обмежена знизу;

3) якщо послідовність (аn) обмежена зверху, то й послідовність (bn) обмежена зверху;

4) якщо послідовність (bn) обмежена зверху, то й послідовність (аn) обмежена зверху?

32.14. Послідовності (аn) і (bn) обмежені. Чи можна стверджувати, що обмеженою буде послідовність (сn), задана формулою:

32.15. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою:

32.16. Знайдіть найменший член послідовності, заданої формулою:

32.17. Чи існує необмежена послідовність, яка для кожного k ∈ ℕ містить k послідовних членів, рівних між собою?

32.18. Чи існує послідовність (аn) натуральних чисел така, що для кожного k ∈ ℕ усі члени послідовності (аn), крім, можливо, скінченної кількості, діляться наділо на k?

32.19. Чи є обмеженою послідовність:

1) хn = n4 - 7n3; 2)хn = 4n - 3n?

32.20. Доведіть, що дана послідовність є необмеженою:

1) хn = n - n3; 2) хn = 2n - 7n.

32.21. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою, якщо:

32.22. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою, якщо:

32.23. Чи є обмеженою послідовність (n), якщо n — кількість натуральних дільників числа n?

32.24. Нехай σn — сума всіх натуральних дільників числа n. Доведіть, що послідовність, задана формулою n-го члена є необмеженою.

32.25. Чи існує послідовність така, що кожне раціональне число є її деяким членом?

32.26. Чи існує послідовність така, що кожний проміжок (а; b) містить нескінченну кількість її членів?

32.27. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою, якщо:

32.28. Нехай Знайдіть найбільший член послідовності (аn).

32.29. Чи є обмеженою послідовність, задана формулою





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити