Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

32. Числові послідовності

З поняттям «числова послідовність» ви ознайомилися в 9 класі. Нагадаємо й уточнимо основні відомості.

Розглянемо функцію у = f(x), областю визначення якої є множина натуральних чисел. Тоді функція f задає нескінченну послідовність f(1), f(2), …, f(n), … . Або говорять так: нескінченна послідовність — це функція, областю визначення якої є множина N. Можна сказати, що нескінченна послідовність — це відображення множини N на деяку непорожню множину.

Нагадаємо також, що коли областю визначення функції у = f(х) є множина перших n натуральних чисел, то кажуть, що задано скінченну послідовність.

Надалі будемо розглядати тільки нескінченні послідовності. Випадки, коли розглядатимуться скінченні послідовності, будуть спеціально обумовлені.

Послідовність f(1), f(2), …, f(n), … традиційно записують, позначаючи аргументи функції f у вигляді індексів, тобто:

f1, f2, f3, …, fn, … .

Індекс указує порядковий номер члена послідовності. Для позначення самої послідовності використовують записи (fn), (аn), (bn) тощо. Наприклад, нехай (рn) — послідовність простих чисел. Тоді p1 = 2, р2 = 3, р3 = 5, р4 = 7, р5 = 11 і т. д.

Послідовність вважають заданою, якщо кожний її член можна визначити за його номером.

Повторимо основні способи задания послідовностей.

Розглянемо послідовність, перший член якої дорівнює 1, а кожний наступний член на 3 більший за попередній. Такий спосіб задания послідовності називають описовим. Його можна проілюструвати за допомогою запису з трьома крапками, виписавши кілька перших членів послідовності в порядку зростання номерів:

1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, … .

Цей запис доцільно застосовувати тоді, коли зрозуміло, які числа мають бути записані замість трьох крапок. Наприклад, у послідовності, яку ми розглядаємо, зрозуміло, що після числа 19 має бути записане число 22.

Послідовності можна задавати за допомогою формул. Наприклад, рівність хn = 2n, де змінна n набуває всіх натуральних значень, задає послідовність (хn) натуральних степенів числа 2:

2, 4, 8, 16, 32, … .

У таких випадках кажуть, що послідовність задано за допомогою формули n-го члена, або говорять, що послідовність задано формулою загального члена.

Розглянемо кілька прикладів.

Формула аn = 2n - 1 задає послідовність непарних натуральних чисел:

1, 3, 5, 7, 9, … .

Формула уn = (-1)n задає послідовність (уn), у якій усі члени з непарними номерами дорівнюють -1, а члени з парними номерами дорівнюють 1:

1, 1, 1, 1, 1, … .

Формула сn = 7 задає послідовність (сn), усі члени якої дорівнюють числу 7:

7 7 7 7 7, …. .

Послідовність, усі члени якої рівні, називають стаціонарною. Нерідко послідовність задають правилом, яке дає змогу знайти наступний член, знаючи попередній.

Розглянемо послідовність (аn), перший член якої дорівнює 1, а кожний наступний член послідовності в 3 рази більший за попередній. Маємо:

1, 3, 9, 27, 81, … .

Цю послідовність, задану описом, також визначають такі умови:

а1 = 1, аn+1 = 3аn, n ∈ ℕ.

Записані рівності вказують перший член послідовності та правило, користуючись яким за кожним членом послідовності можна знайти наступний член:

a1 = 1,

а2 = 3 а1 = 3,

a3 = 3а2 = 9,

а4 = 3а3 = 27,

Формулу, яка виражає член послідовності через один або кілька попередніх членів, називають рекурентною формулою (від латин. recurro — повертатися). У наведеному прикладі це формула аn+1 = 3аn. Умови, які визначають перший або кілька перших членів, називають початковими умовами. У розглядуваному прикладі початкова умова — це а1 = 1.

Зауважимо, що знання лише однієї рекурентної формули не дозволяє задати послідовність. Ще мають бути вказані початкові умови.

При рекурентному способі задания послідовності перший або кілька перших членів послідовності є заданими, а всі інші обчислюють один за одним. Із цієї точки зору спосіб задания послідовності формулою n-го члена видається більш зручним: за його допомогою можна безпосередньо знайти потрібний член послідовності, знаючи лише його номер.

Означення. Числову послідовність (аn) називають зростаючою (спадною), якщо для будь-якого натурального числа n виконується нерівність аn < аn+1n > аn+1).

Наприклад, послідовність, яку задано формулою аn = n2, є зростаючою, а послідовність із загальним членом аn = — спадною.

Означення. Числову послідовність (аn) називають неспадною (незростаючою), якщо для будь-якого натурального числа n виконується нерівність аn ≤ аn+1n ≥ аn+1).

Наприклад, послідовність (аn) така, що a1 = а2 = а3 = 1 і для всіх n ∈ ℕ, n ≥ 4 виконується рівність аn = 2, є неспадною.

Виходячи з означення, стаціонарну послідовність можна віднести як до неспадних, так і до незростаючих послідовностей.

Зростаючі, спадні, незростаючі, неспадні послідовності називають монотонними послідовностями.

Означення. Числову послідовність (аn) називають обмеженою зверху, якщо існує таке число С, що для будь-якого натурального числа п виконується нерівність аn ≤ С.

Означення. Числову послідовність (аn) називають обмеженою знизу, якщо існує таке число с, що для будь-якого натурального числа п виконується нерівність аn ≥ с.

Послідовність називають обмеженою, якщо вона обмежена і знизу, і зверху.

Наприклад, послідовність, яку задано формулою аn = , є обмеженою. Справді, для будь-якого натурального числа n виконується подвійна нерівність 0 < < 1.

Послідовності, задані формулами bn = n, сn = -n!, є прикладами необмежених послідовностей.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою є незростаючою.

Розв’язання. Маємо:

Отже, для будь-якого натурального числа п виконується нерівність аn ≥ аn+1

Зауважимо, що коли всі члени послідовності є додатними числами, то для дослідження послідовності на монотонність можна порівняти відношення з одиницею.

У нашому прикладі легко показати (зробіть це самостійно), що

Звідси з огляду на те, що аn+1 > 0, отримуємо: аn ≥ аn+1.

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність, яку задано формулою є обмеженою.

Розв’язання. Оскільки аn > 0 для будь-якого n ∈ ℕ, то дана послідовність є обмеженою знизу.

Покажемо, що ця послідовність обмежена зверху. Застосувавши нерівність Коші до чисел n і 25, отримуємо:

Отже, для будь-якого натурального числа n маємо: аn ≤ 1.

ПРИКЛАД 3 Доведіть, що послідовність, задана формулою хn =5n - 4n є необмеженою.

Розв’язання. За допомогою методу математичної індукції доведемо, що 5n - 4n ≥ n для всіх n ∈ ℕ.

База індукції: при n = 1 нерівність є правильною. Справді, 51 - 41 ≥ 1.

Індукційний перехід. Нехай при деякому n = k має місце нерівність 5k - 4K ≥ k. Доведемо, що при n = k + 1 виконується нерівність 5k+1 - 4k+1 ≥ k + 1. Маємо:

5k+1 - 4k+1 = 5 ⋅ 5k - 4 ⋅ 4k = 5k + 4(5k - 4k) ≥ 5k + 4k > k + 1.

За методом математичної індукції нерівність 5n - 4n ≥ n встановлено для всіх n ∈ ℕ.

Доведена нерівність означає, що послідовність (хn) необмежена зверху, тобто не можна вказати таку сталу С, для якої нерівність 5n - 4n < С виконувалася б для всіх n ∈ ℕ.

ВПРАВИ

32.1. Доведіть, що послідовність (аn) є зростаючою, якщо:

32.2. Доведіть, що послідовність (аn) є спадною, якщо:

32.3. Доведіть, що послідовність (аn) не є монотонною, якщо:

32.4. Доведіть, що послідовність (аn) не є монотонною, якщо:

32.5. Наведіть приклад послідовності (аn) з найменшим членом а15.

32.6. Наведіть приклад послідовності (аn) з найбільшим членом а25.

32.7. Дослідіть на монотонність послідовність, задану формулою:

32.8. Доведіть, що послідовність (аn) обмежена зверху:

32.9. Доведіть, що послідовність (аn) обмежена знизу:

32.10. Доведіть, що послідовність (хn) є необмеженою:

32.11. Чи є обмеженою послідовність (хn), задана формулою n-го члена:

32.12. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою тоді й тільки тоді, коли існує таке число М > 0, що для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність | аn | ≤ М.

32.13. Для членів послідовностей (аn) і (bn) при кожному n ∈ ℕ виконується нерівність аn ≤ bn. Чи є правильним твердження:

1) якщо послідовність (аn) обмежена знизу, то й послідовність (bn) обмежена знизу;

2) якщо послідовність (bn) обмежена знизу, то й послідовність (аn) обмежена знизу;

3) якщо послідовність (аn) обмежена зверху, то й послідовність (bn) обмежена зверху;

4) якщо послідовність (bn) обмежена зверху, то й послідовність (аn) обмежена зверху?

32.14. Послідовності (аn) і (bn) обмежені. Чи можна стверджувати, що обмеженою буде послідовність (сn), задана формулою:

32.15. Знайдіть найбільший член послідовності, заданої формулою:

32.16. Знайдіть найменший член послідовності, заданої формулою:

32.17. Чи існує необмежена послідовність, яка для кожного k ∈ ℕ містить k послідовних членів, рівних між собою?

32.18. Чи існує послідовність (аn) натуральних чисел така, що для кожного k ∈ ℕ усі члени послідовності (аn), крім, можливо, скінченної кількості, діляться наділо на k?

32.19. Чи є обмеженою послідовність:

1) хn = n4 - 7n3; 2)хn = 4n - 3n?

32.20. Доведіть, що дана послідовність є необмеженою:

1) хn = n - n3; 2) хn = 2n - 7n.

32.21. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою, якщо:

32.22. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою, якщо:

32.23. Чи є обмеженою послідовність (n), якщо n — кількість натуральних дільників числа n?

32.24. Нехай σn — сума всіх натуральних дільників числа n. Доведіть, що послідовність, задана формулою n-го члена є необмеженою.

32.25. Чи існує послідовність така, що кожне раціональне число є її деяким членом?

32.26. Чи існує послідовність така, що кожний проміжок (а; b) містить нескінченну кількість її членів?

32.27. Доведіть, що послідовність (аn) є обмеженою, якщо:

32.28. Нехай Знайдіть найбільший член послідовності (аn).

32.29. Чи є обмеженою послідовність, задана формулою





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити