Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

33. Границя числової послідовності

Розглянемо послідовність (аn), задану формулою n-го члена аn = . Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:

Можна помітити, що зі збільшенням номера n члени послідовності прямують до числа 1.

Якщо члени цієї послідовності зображати точками на координатній прямій, то ці точки будуть розміщуватися все ближче й ближче до точки з координатою 1 (рис. 33.1).

Рис. 33.1

Інакше кажучи, значення виразу | аn - 1 | зі збільшенням номера n стає все меншим і меншим. Маємо:

Тоді, наприклад, розв’язавши нерівність < 0,1, установлюємо, що | аn - 1 | < 0,1 при n ≥ 10, а розв’язавши нерівність < 0,0001, установлюємо, що | аn - 1 | < 0,0001 при n ≥ 10000 тощо. Узагалі, починаючи з деякого номера п0, значення виразу | аn - 1 | стає меншим від будь-якого наперед заданого додатного числа є (читають «епсилон»). Знайти n0 можна, розв’язавши не рівність < ε.

У такому разі говорять, що число 1 є границею послідовності (аn). Розглянемо послідовність (bn), задану формулою n-го члена

Випишемо кілька перших членів цієї послідовності:

Зі збільшенням номера n члени послідовності прямують до числа 2 (рис. 33.2).

Рис. 33.2

Це означає, що для будь-якого додатного числа є можна вказати такий номер n0, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність | bn - 2 | < ε. Оскільки

то номер n0 можна знайти, розв’язавши нерівність < ε.

Означення. Число а називають границею послідовності (аn), якщо для будь-якого додатного числа є існує такий номер n0, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність | аn - а | < ε.

Записують:

(тут lіm — це початкові літери французького слова limite — границя).

Для прикладів, що розглядали вище, можна записати:

Послідовність, яка має границю, називають збіжною. Говорять, наприклад, що послідовність (bn) збігається до числа 2.

Поняття границі послідовності має просту геометричну інтерпретацію.

Нерівність виду | аn - а | < ε рівносильна подвійній нерівності -ε < аn - а < ε, тобто - ε < аn < а + ε.

Це означає, що коли то для будь-якого ε > 0 знайдеться номер n0, починаючи з якого всі члени послідовності належать проміжку (а - ε; а + ε). Іншими словами, яким би малим не був проміжок (а - ε; а + ε), члени послідовності, яка збігається до числа а, рано чи пізно потраплять у цей проміжок1 і вже ніколи не вийдуть за його межі, тобто поза вказаним інтервалом може знаходитися лише скінченна кількість членів послідовності (аn).

Теорема 33.1. Числова послідовність може мати тільки одну границю.

Доведення. Припустимо, що існує послідовність, яка має дві границі, тобто де а ≠ b.

Оскільки а ≠ b, то можна обрати таке додатне число ε, щоб (а - ε; а + ε) ⋂ (ε - ε; b + ε) = ∅ (рис. 33.3).

Рис. 33.3

Число а є границею послідовності (аn), отже, починаючи з деякого номера n0, усі члени послідовності (аn) потраплять у проміжок (а - ε; а + ε), а поза цим проміжком знаходитиметься лише скінченна кількість членів послідовності. Отже, у проміжку (b - ε; b + ε) буде знаходитися лише скінченна кількість членів послідовності (аn). Це суперечить тому, що число b — границя послідовності (аn).

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що

Розв’язання. Нехай ε — довільне додатне число. Знайдемо номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність

Маємо:

З’ясуємо, при яких n ∈ ℕ виконується нерівність

1 Проміжки виду (а; b) називають також інтервалами.

Переходимо до рівносильних нерівностей:

Як номер n0 візьмемо, наприклад, число

Тоді, якщо n ≥ n0, то і, переходячи до рівносильної нерівності 4nε > 5 - 2ε, а потім 5 < 4nε + 2ε, отримаємо врешті, що

Тому

Послідовність, яка не має границі, називають розбіжною.

ПРИКЛАД 2 Доведіть, що послідовність (аn), яку задано формулою аn = (-1)n, є розбіжною.

Розв’язання. Припустимо, що послідовність (аn) є збіжною і

Тоді для ε = існує номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність | аn - а | < .

Отже, при n = 2n0 і n = 2n0 + 1 одночасно мають виконуватися дві нерівності:

тобто

Легко показати (зробіть це самостійно), що система

не має розв’язків. Отримали суперечність.

У математиці часто використовують два спеціальних символи які дають змогу значну кількість математичних тверджень записати в скороченому вигляді.

Символ (перевернута перша буква англійського слова Аll — кожний) називають квантором загальності. Він заміняє у словесних формулюваннях словосполучення: для довільного, для будь-якого, для кожного.

Символ (перевернута перша буква англійського слова Exist — існувати) називають квантором існування. Він заміняє у словесних формулюваннях слова: існує, знайдеться, хоча б для одного.

Означення границі послідовності містить слова: «для будь- якого», «існує», «для всіх». Тому, використовуючи квантори, його можна переписати так:

Наведемо ще один приклад використання кванторів. Означення обмеженої зверху послідовності можна записати так:

ВПРАВИ

33.1. Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею послідовності (хn):

33.2. Укажіть (без обґрунтування), яке число є границею послідовності (хn):

33.3. Відомо, що деяка послідовність, членами якої є тільки цілі числа, є збіжною. Що можна сказати про цю послідовність (обґрунтовувати відповідь необов’язково)?

33.4. Наведіть приклади трьох послідовностей, що збігаються до числа: 1) 3; 2) -.

33.5. Чи для кожного числа а існує послідовність, що збігається до а?

33.6. Використовуючи квантори, запишіть означення зростаючої послідовності.

33.7. Використовуючи квантори, запишіть означення обмеженої знизу послідовності.

33.8. Знайдіть принаймні одне число n0 таке, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність:

33.9. Знайдіть принаймні одне число n0 таке, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність:

33.10. Доведіть, що:

33.11. Доведіть, що:

33.12. Доведіть, що стаціонарна послідовність є збіжною. Чому дорівнює границя цієї послідовності?

33.13. Для довільного числа с і додатного раціонального r доведіть, що

33.14. Нехай при будь-якому ε > 0 в інтервалі (а - ε; а + ε) міститься безліч членів послідовності (аn). Чи можна стверджувати, що

33.15. Нехай при будь-якому ε > 0 поза інтервалом (а - ε; а + ε) міститься скінченна кількість членів послідовності (аn). Чи можна стверджувати, що

33.16. Нехай Чи можуть у цій послідовності:

1) бути члени більші, ніж 1 000 000;

2) усі члени бути від’ємними;

3) усі члени бути більшими, ніж 10-100 ?

33.17. Зі збіжної послідовності викреслили всі члени, які стоять на парних місцях. Чи буде послідовність, що утворилася, збіжною?

33.18. У збіжній послідовності змінили 100 перших членів. Чи залишиться послідовність збіжною? Чи може змінитися границя послідовності?

33.19. Відомо, що границею послідовності (аn) є число . Доведіть, що, починаючи з деякого номера, кожний член послідовності (аn) буде більшим за .

33.20. Покажіть, що коли в означенні границі замість «для будь- якого ε > 0» сказати «для будь-якого ε», то жодна послідовність не матиме границі.

33.21. Запропонуємо таке «означення» границі послідовності: число а називають границею послідовності (аn), якщо для будь-якого ε ≥ 0 існує такий номер n0, що для всіх n ≥n0 виконується нерівність | аn - а | ≤ ε. Які послідовності матимуть границю за такого «означення»?

33.22. Відомо, що Чи можна стверджувати, що

33.23. Відомо, що послідовність (| аn |) є збіжною. Чи можна стверджувати, що послідовність (аn) також є збіжною?

33.24. Доведіть, що тоді й тільки тоді, коли

33.25. Чи можна стверджувати, що коли послідовність (аn) є збіжною, то послідовність (| аn |) також є збіжною?

33.26. Послідовність (sin аn) є збіжною. Чи можна стверджувати, що послідовність (аn) також є збіжною?

33.27. Чи можна стверджувати, що коли послідовності (аn) і (bn) мають одну й ту саму границю, то цю саму границю має й послідовність а1, b1, а2, b2, а3, b3, …?

33.28. Доведіть, що послідовність із загальним членом а = (-1)n + є розбіжною.

33.29. Доведіть, що послідовність із загальним членом аn = n є розбіжною.

33.30. Нехай (хn) — розбіжна послідовність. Чи можна стверджувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом yn = (xn)n?

33.31. Нехай (хn) — розбіжна послідовність. Чи можна стверджувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом

33.32. Нехай (хn) — розбіжна послідовність. Чи можна стверджувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом y = nxn?

33.33. Нехай (хn) — розбіжна послідовність. Чи можна стверджувати, що розбіжною є послідовність із загальним членом

33.34. Нехай (хn) — така послідовність, що всі послідовності виду є збіжними. Чи можна стверджувати, що (хn) — збіжна послідовність?





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити