§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

34. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями

Знаходити границі збіжних послідовностей за допомогою означення границі — задача трудомістка. Полегшити процес пошуку границі дають змогу теореми про границі суми, добутку й частки двох послідовностей.

Теорема 34.1 (границя суми). Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, то послідовність (а_n + b_n) також є збіжною, причому

Теорема 34.2 (границя добутку). Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, то послідовність (а_nb_n) також є збіжною, причому

Теорема 34.3 (границя частки). Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, причому то послідовність також є збіжною і

З доведенням теорем 34.1-34.3 ви зможете ознайомитися на с. 262-266, звернувшись до рубрики «Коли зроблено уроки».

ПРИКЛАД 1 Знайдіть

Розв’язання. Маємо:

Послідовність із загальним членом аn = подано у вигляді суми двох збіжних послідовностей із загальними членами х_n = 2 і y_n = .

Тоді можна записати:

ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю

Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на n:

У чисельнику та знаменнику отриманого дробу записано загальні члени збіжних послідовностей. Тоді

ПРИКЛАД З Обчисліть границю

Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на n³. Маємо:

ВПРАВИ

34.1. Обчисліть границю:

34.2. Обчисліть границю:

34.3. Обчисліть границю:

34.4. Обчисліть границю:

34.5. Обчисліть границю:

34.6. Обчисліть границю:

34.7. Обчисліть границю послідовності, заданої формулою:

34.8. Послідовність задано рекурентно: Знайдіть границю

34.9. Учитель запропонував обчислити границю Учень Василь Заплутайко розв’язав задачу так:

Чи погоджуєтесь ви з розв’язанням Василя?

34.10. Відомо, що Доведіть, що:

34.11. Відомо, що Знайдіть границю:

34.12. Послідовність (аn) прямує до числа 3. Знайдіть границю:

34.13. Послідовність (а_n) така, що існує границя Чи можна стверджувати, що послідовність (а_n) є збіжною?

34.14. 3 послідовності (х_n) утворили послідовність із загальним членом Відомо, що (у_n) — збіжна послідовність. Чи завжди є збіжною послідовність (х_n)?

34.15. За послідовністю (х_n) побудували послідовність (у_n) таку, що у_n = х_n - х_n+3. Виявилося, що послідовність (y_n) має границю. Чи обов’язково є збіжною послідовність (х_n)?

34.16. Члени послідовності (х_n) для всіх n ∈ ℕ задовольняють умову Чи існує таке х₁, що (х_n) — збіжна послідовність?

34.17. Доведіть, що послідовність (а_n), члени якої для всіх n ∈ ℕ задовольняють рівність 3а_n+2 (а_n+1 - 1) = 2а_n - 5, є розбіжною.

34.18. З послідовності (х_n) утворили нову послідовність (S_n) за формулою S_n =x₁ + x₂+... + x_n, n ∈ ℕ. ВИЯВИЛОСЯ, ЩО (S_n) — збіжна послідовність. Чи обов’язково

34.19. Знайдіть границю послідовності (х_n), заданої формулою:

34.20. Знайдіть границю послідовності (хn), заданої формулою:

34.21. Побудуйте графік функції

34.22. Дослідіть на збіжність послідовність (х_n), якщо:

1) x_n = sin6n; 2) х_n = sin₁ + sin₂ + ... +sin_n.

34.23. Чи існує границя послідовності із загальним членом хn = cos 7n?