Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік
§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ
34. Теореми про арифметичні дії зі збіжними послідовностями
Знаходити границі збіжних послідовностей за допомогою означення границі — задача трудомістка. Полегшити процес пошуку границі дають змогу теореми про границі суми, добутку й частки двох послідовностей.
Теорема 34.1 (границя суми). Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, то послідовність (аn + bn) також є збіжною, причому
Теорема 34.2 (границя добутку). Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, то послідовність (аnbn) також є збіжною, причому
Теорема 34.3 (границя частки). Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, причому 
то послідовність 
також є збіжною і 
З доведенням теорем 34.1-34.3 ви зможете ознайомитися на с. 262-266, звернувшись до рубрики «Коли зроблено уроки».
ПРИКЛАД 1 Знайдіть 
Розв’язання. Маємо:
Послідовність із загальним членом аn = 
подано у вигляді суми двох збіжних послідовностей із загальними членами хn = 2 і yn = 
.
Тоді можна записати:
ПРИКЛАД 2 Обчисліть границю 
Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу 
на n:
У чисельнику та знаменнику отриманого дробу записано загальні члени збіжних послідовностей. Тоді
ПРИКЛАД З Обчисліть границю 
Розв’язання. Поділимо чисельник і знаменник дробу на n3. Маємо:
ВПРАВИ
34.1. Обчисліть границю:
34.2. Обчисліть границю:
34.3. Обчисліть границю:
34.4. Обчисліть границю:
34.5. Обчисліть границю:
34.6. Обчисліть границю:
34.7. Обчисліть границю послідовності, заданої формулою:
34.8. Послідовність задано рекурентно: 
Знайдіть границю 
34.9. Учитель запропонував обчислити границю 
Учень Василь Заплутайко розв’язав задачу так:
Чи погоджуєтесь ви з розв’язанням Василя?
34.10. Відомо, що 
Доведіть, що:
34.11. Відомо, що 
Знайдіть границю:
34.12. Послідовність (аn) прямує до числа 3. Знайдіть границю:
34.13. Послідовність (аn) така, що існує границя 
Чи можна стверджувати, що послідовність (аn) є збіжною?
34.14. 3 послідовності (хn) утворили послідовність із загальним членом 
Відомо, що (уn) — збіжна послідовність. Чи завжди є збіжною послідовність (хn)?
34.15. За послідовністю (хn) побудували послідовність (уn) таку, що уn = хn - хn+3. Виявилося, що послідовність (yn) має границю. Чи обов’язково є збіжною послідовність (хn)?
34.16. Члени послідовності (хn) для всіх n ∈ ℕ задовольняють умову 
Чи існує таке х1, що (хn) — збіжна послідовність?
34.17. Доведіть, що послідовність (аn), члени якої для всіх n ∈ ℕ задовольняють рівність 3аn+2 (аn+1 - 1) = 2аn - 5, є розбіжною.
34.18. З послідовності (хn) утворили нову послідовність (Sn) за формулою Sn =x1 + x2+… + xn, n ∈ ℕ. ВИЯВИЛОСЯ, ЩО (Sn) — збіжна послідовність. Чи обов’язково 
34.19. Знайдіть границю послідовності (хn), заданої формулою:
34.20. Знайдіть границю послідовності (хn), заданої формулою:
34.21. Побудуйте графік функції 
34.22. Дослідіть на збіжність послідовність (хn), якщо:
1) xn = sin6n; 2) хn = sin1 + sin2 + … +sinn.
34.23. Чи існує границя послідовності із загальним членом хn = cos 7n?