§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Доведення теорем про арифметичні дії зі збіжними послідовностями

Означення. Послідовність (а_n) називають нескінченно малою, якщо

Наприклад, послідовності, які задано формулами   є нескінченно малими.

З означення границі послідовності випливає, що коли для будь-якого ε > 0 існує номер n₀ такий, що для всіх n ≥ n₀ виконується нерівність | β_n | < ε, то послідовність (β_n) є нескінченно малою.

Теорема 34.4. Число а є границею послідовності (а_n) тоді й тільки тоді, коли загальний член цієї послідовності можна подати у вигляді а_n = а + β_n, де (β_n) — нескінченно мала послідовність.

Доведення. Нехай

Розглянемо послідовність (β_n) таку, що β_n = а_n - а. Маємо: для будь-якого ε > 0 існує номер n₀ такий, що для всіх n ≥ n₀ виконується нерівність | а_n - а | < ε, тобто | β_n | < ε. Звідси отримуємо, що послідовність (βn) є нескінченно малою.

Нехай тепер виконується рівність а_n = а + β_n, тобто а_n - а = β_n, де (β_n) — нескінченно мала послідовність. Маємо: для будь-якого ε > 0 існує номер n₀ такий, що для всіх n ≥ n₀виконується нерівність | β_n | < ε, тобто | а_n - а | < ε. Звідси

Теорема 34.5. Добуток обмеженої послідовності і нескінченно малої послідовності є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай послідовність (а_n) є обмеженою, а послідовність (β_n) — нескінченно малою. Покажемо, що

Згідно з ключовою задачею 32.12 існує таке число С > 0, що для всіх натуральних чисел n виконується нерівність | а_n | < С.

Нехай ε — додатне число. Тоді для додатного числа існує номер n₀ такий, що для всіх n ≥ n₀ виконується нерівність |β_n | < .

Отже, для всіх n ≥ n₀ можна записати:

Це означає, що

Наслідок. Добуток нескінченно малої та збіжної послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведіть цей наслідок самостійно.

Теорема 34.6. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай (a_n) і (_n) — нескінченно малі послідовності, тобто

Покажемо, що

Нехай ε — задане додатне число. Тоді для додатного числа існує номер n₀ такий, що для всіх n ≥ n₀ виконуються нерівності

Тоді для всіх n ≥ n₀ можна записати:

Це означає, що

За допомогою методу математичної індукції можна показати, що сума скінченної кількості нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Користуючись означенням нескіченно малої послідовності та теоремами 34.4-34.6, доведемо теореми, сформульовані на початку п. 34.

Теорема 34.1 (границя суми). Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, то послідовність (а_n + b_n) також є збіжною, причому

Доведення. Нехай

Тоді за теоремою 34.4 можна записати:

а_n = а + a_n,

b_n = b + β_n,

де (а_n) і (β_n) — нескінченно малі послідовності.

Звідси а_n + b_n = а + b + (а_n + β_n).

За теоремою 34.6 послідовність (а_n + β_n) є нескінченно малою. Отже, згідно з теоремою 34.4 послідовність (а_n + b_n) є збіжною, при чому

ПРИКЛАД 1 Знайдіть

Розв’язання. Маємо:

Послідовність із загальним членом аn = подано у вигляді суми двох збіжних послідовностей із загальними членами х = 2 і y_n = .

Тоді можна записати:

Теорема 34.2 (границя добутку). Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, то послідовність (а_nb_n) також є збіжною, причому

Доведення. Нехай

Тоді згідно з теоремою 34.4 можна записати:

аn = а + a_n,

b_n = b + β_n,

де (а_n) і (β_n) — нескінченно малі послідовності.

Звідси а_nb_n = (а + а_n) (b + β_n) = ab + (аβ_n + bа_n + а_nβ_n).

За теоремою 34.5 послідовності (а_nβ_n), (bа_n) і (a_nβ_n) є нескінченно малими. Тоді за теоремою 34.6 послідовність (аβ_n + bа_n + а_nb_n) є нескінченно малою.

Отже, за теоремою 34.4 послідовність (а_nb_n) є збіжною, причому lіmа_nb_n = ab.

Теорема 34.3 (границя частки). Якщо послідовності (а_n) і (b_n) є збіжними, причому то послідовність також є збіжною і

Доведення. Нехай

Оскільки b ≠ 0, то, починаючи з деякого номера n₀, для членів послідовності (b_n) виконується нерівність | b_n | > r, де r — деяке додатне число. Тоді для всіх n ≥ n₀ виконується нерівність

Отже, послідовність є обмеженою.

За теоремою 34.4 можна записати:

а_n = а + a_n,

b_n = b + β_n,

де (а_n) і (β_n) — нескінченно малі послідовності.

Розглянемо послідовність (y_n), яку задано формулою

Маємо:

Згідно з теоремами 34.5 і 34.6 послідовність (bа_n - аβ_n) є нескінченно малою. Послідовність є обмеженою. Отже, послідовність (у_n) є нескінченно малою.

Тоді за теоремою 34.4 можна записати: