Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Доведення теорем про арифметичні дії зі збіжними послідовностями

Означення. Послідовність (аn) називають нескінченно малою, якщо

Наприклад, послідовності, які задано формулами є нескінченно малими.

З означення границі послідовності випливає, що коли для будь-якого ε > 0 існує номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність | βn | < ε, то послідовність (βn) є нескінченно малою.

Теорема 34.4. Число а є границею послідовності (аn) тоді й тільки тоді, коли загальний член цієї послідовності можна подати у вигляді аn = а + βn, де (βn) — нескінченно мала послідовність.

Доведення. Нехай

Розглянемо послідовність (βn) таку, що βn = аn - а. Маємо: для будь-якого ε > 0 існує номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність | аn - а | < ε, тобто | βn | < ε. Звідси отримуємо, що послідовність (βn) є нескінченно малою.

Нехай тепер виконується рівність аn = а + βn, тобто аn - а = βn, де (βn) — нескінченно мала послідовність. Маємо: для будь-якого ε > 0 існує номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0виконується нерівність | βn | < ε, тобто | аn - а | < ε. Звідси

Теорема 34.5. Добуток обмеженої послідовності і нескінченно малої послідовності є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай послідовність (аn) є обмеженою, а послідовність (βn) — нескінченно малою. Покажемо, що

Згідно з ключовою задачею 32.12 існує таке число С > 0, що для всіх натуральних чисел n виконується нерівність | аn | < С.

Нехай ε — додатне число. Тоді для додатного числа існує номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0 виконується нерівність |βn | < .

Отже, для всіх n ≥ n0 можна записати:

Це означає, що

Наслідок. Добуток нескінченно малої та збіжної послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведіть цей наслідок самостійно.

Теорема 34.6. Сума двох нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Доведення. Нехай (an) і (n) — нескінченно малі послідовності, тобто

Покажемо, що

Нехай ε — задане додатне число. Тоді для додатного числа існує номер n0 такий, що для всіх n ≥ n0 виконуються нерівності

Тоді для всіх n ≥ n0 можна записати:

Це означає, що

За допомогою методу математичної індукції можна показати, що сума скінченної кількості нескінченно малих послідовностей є нескінченно малою послідовністю.

Користуючись означенням нескіченно малої послідовності та теоремами 34.4-34.6, доведемо теореми, сформульовані на початку п. 34.

Теорема 34.1 (границя суми). Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, то послідовність (аn + bn) також є збіжною, причому

Доведення. Нехай

Тоді за теоремою 34.4 можна записати:

аn = а + an,

bn = b + βn,

де (аn) і (βn) — нескінченно малі послідовності.

Звідси аn + bn = а + b + (аn + βn).

За теоремою 34.6 послідовність (аn + βn) є нескінченно малою. Отже, згідно з теоремою 34.4 послідовність (аn + bn) є збіжною, при чому

ПРИКЛАД 1 Знайдіть

Розв’язання. Маємо:

Послідовність із загальним членом аn = подано у вигляді суми двох збіжних послідовностей із загальними членами х = 2 і yn = .

Тоді можна записати:

Теорема 34.2 (границя добутку). Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, то послідовність (аnbn) також є збіжною, причому

Доведення. Нехай

Тоді згідно з теоремою 34.4 можна записати:

аn = а + an,

bn = b + βn,

де (аn) і (βn) — нескінченно малі послідовності.

Звідси аnbn = (а + аn) (b + βn) = ab + (аβn + bаn + аnβn).

За теоремою 34.5 послідовності (аnβn), (bаn) і (anβn) є нескінченно малими. Тоді за теоремою 34.6 послідовність (аβn + bаn + аnbn) є нескінченно малою.

Отже, за теоремою 34.4 послідовність (аnbn) є збіжною, причому lіmаnbn = ab.

Теорема 34.3 (границя частки). Якщо послідовності (аn) і (bn) є збіжними, причому то послідовність також є збіжною і

Доведення. Нехай

Оскільки b ≠ 0, то, починаючи з деякого номера n0, для членів послідовності (bn) виконується нерівність | bn | > r, де r — деяке додатне число. Тоді для всіх n ≥ n0 виконується нерівність

Отже, послідовність є обмеженою.

За теоремою 34.4 можна записати:

аn = а + an,

bn = b + βn,

де (аn) і (βn) — нескінченно малі послідовності.

Розглянемо послідовність (yn), яку задано формулою

Маємо:

Згідно з теоремами 34.5 і 34.6 послідовність (bаn - аβn) є нескінченно малою. Послідовність є обмеженою. Отже, послідовність (уn) є нескінченно малою.

Тоді за теоремою 34.4 можна записати:





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити