Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

36. Теорема Вейєрштрасса

Важливою ознакою збіжності послідовності є така теорема.

Теорема 36.1 (теорема Вейєрштрасса). Кожна зростаюча й обмежена зверху (спадна й обмежена знизу) послідовність має границю.

Твердження цієї теореми має просту геометричну інтерпретацію. Справді, якщо послідовність (хn) зростає, то кожний наступний її член буде розташований на числовій прямій правіше всіх попередніх членів (рис. 36.1). Крім цього, за рахунок обмеженості послідовності (хn) зверху числом С її члени не можуть необмежено зростати. А отже, існує число х, до якого прямує послідовність (хn).

Рис. 36.1

Незважаючи на наочність геометричної інтерпретації, доведення теореми Вейєрштрасса вимагає точного розуміння таких складних понять як «числова пряма», «дійсне число» тощо. Пояснимо сказане.

Один із найпоширеніших способів побудови множини дійсних чисел пов’язаний з аксіоматичним описом її властивостей, на кшталт того, як у геометрії за допомогою аксіом було визначено основні властивості точки, прямої, площини. Серед аксіом дійсних чисел є, наприклад, такі:

1) а + b = b + а;

2) (а + b) с = ас + bc;

3) (ab) с = а (bc);

4) якщо а ≤ b і b ≤ с, то а ≤ с.

Повний перелік зазвичай містить більше 10 різних умов1 і сформований так, щоб описати всі характерні властивості дійсних чисел, тобто дати змогу відрізняти множину дійсних чисел від інших множин. Тому серед аксіом дійсних чисел має бути й така умова, яка відрізняє множину дійсних чисел від множини раціональних чисел. Зауважимо, що жодна з аксіом 1-4 не є такою умовою, оскільки раціональні числа також задовольняють аксіоми 1-4.

1 3 ним ви зможете ознайомитися у вищому навчальному закладі або в підручниках з математичного аналізу.

Карл Теодор Вільгельм Вейєрштрасс (1815-1897)

Німецький математик, член Берлінської академії наук, Паризької академії наук, почесний член Петербурзької академії наук. Його основні роботи присвячені математичному аналізу. Одним із найважливіших його здобутків є система логічного обґрунтування математичного аналізу, заснована на побудованій ним теорії дійсних чисел. Вейєрштрасс приділяв велику увагу застосуванню математики в механіці та фізиці й заохочував до цього своїх учнів.

Чим же принципово відрізняються у своїй будові множини дійсних і раціональних чисел? Говорячи неформально, сукупність раціональних чисел містить «прогалини»; множина ж дійсних чисел є повною, тобто не містить «дірок». Справді, якщо зобразити на прямій множину раціональних чисел, то отримаємо фігуру, яка складається з «окремих точок», у той час як дійсні числа «неперервно» заповнюють усю пряму.

Точного змісту ці глибокі та складні поняття набули лише в другій половині XIX ст. у роботах Карла Вейєрштрасса, Ріхарда Дедекінда, Едуарда Гейне, Георга Кантора, Огюстена Коші, Шарля Мере. Ці науковці знайшли кілька різних способів опису відмінностей між раціональними і дійсними числами.

Сформулюємо одну з можливих умов, що відрізняє множину дійсних чисел від раціональних.

Принцип вкладених відрізків1. Будь-яка послідовність вкладених відрізків [а1;b1]⊃[а2;b2]⊃[а3;b3]⊃… має непорожній перетин, тобто існує число х0, яке належить усім відрізкам [ak; bk].

Наприклад, послідовність вкладених відрізків

має непорожній перетин — відрізок [-1; 0], тобто існує число х0, наприклад х0 = 0, яке належить усім названим відрізкам.

1 Проміжки виду [а; b] називають також відрізками.

Розглянемо інший приклад. Як відомо, = 1,414… . Тоді послідовність вкладених відрізків

[1; 2] ⊃ [1,4; 1,5] ⊃ [1,41; 1,42] ⊃ [1,414; 1,415] ⊃ … (1)

має непорожній перетин — одноелементну множину {} (рис. 36.2).

Рис. 36.2

Зауважимо, що для множини раціональних чисел принцип вкладених відрізків не виконується. Наприклад, якщо на множині раціональних чисел розглянути послідовність вкладених відрізків (1), то не знайдеться жодного раціонального числа, яке належить усім цих відрізкам.

Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести важливі властивості множини дійсних чисел.

ПРИКЛАД 1 Доведіть, що не існує такої послідовності (хn), серед членів якої є кожне число відрізка [0; 1].

Розв’язання. Розглянемо довільну послідовність (хn). Оберемо на [0; 1] такий відрізок [a1; b1 ], який не містить х1 (зрозуміло, що такий відрізок існує). Далі на відрізку [а1; b1]оберемо такий відрізок [а2;b2], який не містить х2. Продовжуючи цей процес, побудуємо послідовність вкладених відрізків [0; 1]⊃[a1;b1]⊃[a2;b2][a3;b3]⊃…, у якій відрізок [ak;bk] не містить xk, тобто хk ∉ [ak;bk]. Тому жоден член послідовності (хn) не може належати перетину побудованих відрізків. Але цей перетин непорожній і містить деяке число x ∈ [0; 1]. Таким чином, доведено, що число х не представлене в послідовності (хn), тобто доведено, що відрізок [0; 1] — незліченна множина.

Використовуючи принцип вкладених відрізків, можна довести теорему Вейєрштрасса.

Доведення. Розглянемо випадок, коли (хn) — зростаюча й обмежена зверху послідовність (випадок спадної та обмеженої знизу послідовності можна розглянути аналогічно). Тоді існує таке число С, що хn ≤ С.

Побудуємо послідовність вкладених відрізків [a1;b1]⊃[a2;b2][a3;b3]⊃ … .

Нехай а1 = х1 і b1 = С. Тоді всі члени послідовності (хn) належать відрізку [a1;b1].

Розіб’ємо відрізок [a1;b1] точкою d1 навпіл. Можливі два випадки.

1) Нерівність хn ≤ d1 виконується для всіх n ∈ ℕ, тобто всі члени послідовності (хn) не більші за число d1 (рис. 36.3). У цьому випадку другий відрізок [а2;b2] виберемо так: а2 = а1, b2 = d1.

Рис. 36.3

2) Нерівність хn виконується не для всіх n ∈ ℕ, тобто існують члени послідовності (хn), більші за число d1 (рис. 36.4). У цьому випадку відрізок [а2;b2] виберемо так: а2 = d1, b2= b1.

Рис. 36.4

В обох розглянутих випадках відрізок [а2;b2] є частиною відрізка [a1;b1] і містить деякі члени послідовності (хn), причому для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність хn ≤ b2. Оскільки (хn) — зростаюча послідовність, то поза відрізком [а2;b2] знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хn).

Для побудови третього відрізка [а3;b3] повторимо описану процедуру. Розіб’ємо відрізок [а2;b2] точкою d2 навпіл. Тоді, якщо нерівність хn ≤ d2 виконується для всіх n ∈ ℕ, покладемо а3 = а2, b3 = d2; в іншому випадку — а3 = d2, b3 = b2.

Зрозуміло, що відрізок [а3;b3] є частиною відрізка [а2;n2] і містить деякі члени послідовності (хn), причому для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність хn ≤ b3. Оскільки (хn) — зростаюча послідовність, то поза відрізком [а3;n3] знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хn).

Міркуючи аналогічно, побудуємо послідовність вкладених відрізків [a1; b1]⊃[a2; b2][a3; b3]⊃… . Зауважимо, що поза кожним із цих відрізків знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хn). Крім цього, оскільки довжина відрізка [ak; bk] дорівнює то послідовність довжин відрізків [ak;bk] прямує до нуля.

Використовуючи принцип вкладених відрізків, доходимо висновку, що існує число х, яке належить усім побудованим відрізкам.

Доведемо, що

Справді, для будь-якого ε > 0 інтервал (х - ε; х + ε) міститиме деякий відрізок [ak;bk], Оскільки поза відрізком [ak; bk] знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хn), то й поза інтервалом (х - ε; х + ε) також знаходиться лише скінченна кількість членів послідовності (хn). Отже, доведено, що х — границя послідовності (хn).

Теорему Вейєрштрасса доведено.

Зазначимо, що твердження теореми Вейєрштрасса можна узагальнити для довільних монотонних послідовностей, тобто кожна монотонна й обмежена послідовність має границю (доведіть це самостійно).

Зробимо ще одне зауваження. Теорема Вейєрштрасса є прикладом так званої теореми існування. Ця теорема вказує умови, за яких існує границя послідовності. Проте ні формулювання, ні доведення теореми не задає скінченний алгоритм, який дав би змогу знайти цю границю.

ПРИКЛАД 2 Послідовність (аn) задано формулою

де (рn) — послідовність простих чисел. Чи існує границя

Розв’язання. Оскільки для всіх n ∈ ℕ мають місце нерівності 0 < аn < 1, то (аn) — обмежена послідовність. Зі співвідношень

випливає, що (аn) — спадна послідовність.

За теоремою Вейєрштрасса існує границя

ПРИКЛАД 3 Послідовність (аn) задано рекурентним способом:

n ∈ ℕ. Дослідіть послідовність (аn) на збіжність і в разі збіжності знайдіть границю. Розв’язання. Зазначимо, що аn > 0.

Запишемо:

Звідси

Очевидно, що а2 - а1 > 0. Водночас із припущення аn+1 - аn > 0 випливає, що тобто аn+2 - аn+1 > 0. За методом математичної індукції отримуємо, що (аn) — зростаюча послідовність.

Маємо:

Звідси

Тому (аn) — обмежена зверху послідовність.

За теоремою Вейєрштрасса існує границя Знайдемо значення границі а. Скористаємося рівністю Оскільки

то маємо рівняння a = . Звідси а = 2.

Відповідь:

ВПРАВИ

36.1. Послідовність (аn) є збіжною. Чи можна стверджувати, що послідовність (аn) є: 1) монотонною; 2) обмеженою?

36.2. Послідовність (аn) задано формулою Чи існує границя

36.3. Послідовність (аn) задано формулою Чи існує границя

36.4. Чи існує така послідовність вкладених відрізків що їхній перетин складається рівно з двох точок?

36.5. Чи обов’язково послідовність вкладених інтервалів (a1; b1) ⊃ (a2; b2) ⊃ (a3; b3)⊃ … має непорожній перетин?

36.6. Послідовність вкладених відрізків [а1; b1] ⊃ [а2; b2 ] ⊃ [а3; b3 ] ⊃… задовольняє умову Доведіть, що відрізки [аn;bn], n ∈ ℕ, містять лише одну спільну точку.

36.7. Послідовність (аn) складається з додатних чисел. Доведіть, що коли послідовність (bn) із загальним членом bn = а1 + а2 +… + аn є обмеженою, то вона є збіжною.

36.8. Доведіть збіжність послідовності:

36.9. Доведіть збіжність послідовності:

36.10. Послідовність (хn) задано рекурентним способом: х1 = 5, n ∈ ℕ. Дослідіть на збіжність послідовність (хn) і в разі збіжності знайдіть її границю.

36.11. Послідовність (хn) задано рекурентним способом: х1 = 1, n ∈ ℕ. Дослідіть на збіжність послідовність (хn) і в разі збіжності знайдіть її границю.

36.12. Для а > 1 розглянемо послідовність (хn) із загальним членом Знайдіть рекурентну формулу, що зв’язує хn+1 і хn. Використовуючи знайдену формулу та теорему Вейєрштрасса, доведіть, що

36.13. Розглянемо послідовність (хn) із загальним членом де а > 0. Знайдіть рекурентну формулу, що зв’язує хn+1 і хn. Використовуючи знайдену формулу та теорему Вейєрштрасса, доведіть, що

36.14. Послідовність задано рекурентним способом: а1 = 1, n ∈ ℕ. Чи є обмеженою послідовність (аn)?

36.15. Послідовність задано рекурентним способом: а1 = 0, n ∈ ℕ. Чи є ця послідовність обмеженою?

36.16. Послідовність задано рекурентним способом: а1 = 1, n ∈ ℕ. Чи є ця послідовність обмеженою?

36.17. Послідовність (хn) є обмеженою. Доведіть існування такого числа х, що при кожному ε > 0 проміжок (х - ε; х + ε) містить нескінченну кількість членів послідовності (хn).

36.18. Послідовність (аn) задано рекурентним способом: а1∈ (0; 1), n ∈ ℕ. Покладемо Доведіть, що послідовність (bn) є збіжною і

36.19. Послідовності (аn) і (bn) задовольняють умови: а1 = 1, b1 = 9, n ∈ ℕ. Доведіть, що послідовності (аn) і (bn) збігаються та

36.20. Доведіть, що послідовність, задана формулою має границю.





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити