Підручник Алгебра і початки аналізу 10 клас (профільний рівень) - А. Г. Мерзляк - Гімназія 2018 рік

§5 ЧИСЛОВІ ПОСЛІДОВНОСТІ

Число Ейлера

Розглянемо послідовність із загальним членом і до ведемо її збіжність. Вибір цієї послідовності не є випадковим. Число, до якого прямує послідовність (хn), є фундаментальною константою, що відіграє особливу роль не тільки в математиці, а й у фізиці, хімії, біології, економіці тощо.

Дослідимо властивості послідовностей (хn) і (уn), які задано формулами

Для всіх n ∈ ℕ виконується нерівність хn < уn. Справді,

Послідовність (хn) є зростаючою. Достатньо довести нерівність

Застосуємо нерівність яку називають нерівністю Коші (рівність досягається при a1 = a2 = … ak).

Покладемо а1 = а2 = … = а1 = 1 + , аn + 1 =1. Тоді при k = n + 1 маємо:

Звідси

Тоді

Послідовність (уn) є спадною.

Доведіть це твердження самостійно, скориставшись нерівністю Коші для k = n + 2 і чисел а1 = а2 = … = аn+1 = , аn + 2 = 1.

Послідовності (хn) і (уn) є обмеженими.

Цей факт випливає з нерівностей х1 ≤ xn ≤ yn ≤ y1, n ∈ ℕ.

Отже, доведено, що (хn) і (уn) — монотонні й обмежені послідовності. Тому за теоремою Вейєрштрасса існують границі

Якщо в рівності

перейти до границі, то отримаємо:

Таким чином, доведено, що (хn) і (уn) — збіжні послідовності, причому Границю (або границю називають числом Ейлера та позначають буквою е. Рівність називають другою чудовою границею.

Можна довести, що е — число ірраціональне. Зазначимо, що при цьому всі члени послідовності (хn) — числа раціональні.

Оскільки (хn) — зростаюча, (yn) — спадна послідовності, що мають спільну границю, то для всіх n ∈ ℕ виконуються нерівності

xn < е < yn.

Наведені оцінки дають можливість знайти наближене значення числа Ейлера, обчисливши хn та уn при «великих» значеннях п.

Наприклад, х1000 = 2,716…, а y1000 = 2,719 … . Це означає, що е = 2,71… .

ПРИКЛАД Знайдіть границю

Розв’язання. Оскільки

то

Відповідь: .

ВПРАВИ

36.21. Знаходячи Василь Заплутайко записав: «Оскільки

Де помилився Василь?

36.22. Знайдіть границю:

36.23. Знайдіть границю

36.24. Доведіть, що Для якого значення n треба обчислити щоб отримати наближене значення числа Ейлера з точністю 10 ?

36.25. Доведіть збіжність послідовності (хn), яку задано формулою

36.26. Для всіх n ∈ ℕоведіть нерівності Знайдіть границю





Відвідайте наш новий сайт - Матеріали для Нової української школи - планування, розробки уроків, дидактичні та методичні матеріали, підручники та зошити